固體物理 電子教案 3.6晶體比熱ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 晶體的比熱晶體的比熱3.6.1 3.6.1 晶體比熱的一般理論晶體比熱的一般理論本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容：3.6.2 3.6.2 晶體比熱的愛因斯坦模型晶體比熱的愛因斯坦模型3.6.3 3.6.3 晶體比熱的德拜模型晶體比熱的德拜模型3.6 晶體的比熱 下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來解釋晶體比熱的規(guī)律。下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來解釋晶體比熱的規(guī)律。晶體比熱的實驗規(guī)律晶體比熱的實驗規(guī)律 (1) (1)在高溫時，晶體的比熱為在高溫時，晶體的比熱為3NkB( (N為晶體中原子的個為晶體中原子的個數(shù)數(shù), , k kB B= =1.38 10-23J K- -1為玻爾茲曼常為玻爾茲曼

2、常量量) ) ； (2) (2)在低溫時，晶體的比熱按在低溫時，晶體的比熱按T3 3趨于零。趨于零。晶體的定容比熱定義為：晶體的定容比熱定義為：3.6.1 晶體比熱的一般理論VVTEC E-晶體的平均內(nèi)能晶體的平均內(nèi)能eVaVVCCC 晶格振動比熱晶格振動比熱晶體電子比熱晶體電子比熱aVVCC e通常情況下，通常情況下， 本節(jié)只討論晶格振動比熱。本節(jié)只討論晶格振動比熱。1.杜隆-珀替定律(經(jīng)典理論) 根據(jù)能量均分定理，每一個自由度的平均能量是根據(jù)能量均分定理，每一個自由度的平均能量是kBT, ,若晶若晶體有體有N N個原子，則總自由度為：個原子，則總自由度為： 3N。TNkEB3 VVTEC

3、B3Nk 低溫時經(jīng)典理論不再適用。它是一個與溫度無關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆它是一個與溫度無關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆-珀替定律。珀替定律。2.晶格振動的量子理論 晶體可以看成是一個熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下，晶格中晶體可以看成是一個熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下，晶格中原子的熱振動可以看成是相互獨立的簡諧振動。每個諧振子的原子的熱振動可以看成是相互獨立的簡諧振動。每個諧振子的能量都是量子化的。能量都是量子化的。iiinE 21第第i個諧振子的個諧振子的能量為：能量為：ni是是頻率為頻率為 i的諧振子的平均聲子數(shù)：的諧振子的平均聲子數(shù)：1e1B Tkiin iTkiiiE 211eB 第第i個諧振子的

4、個諧振子的能量為：能量為： 晶體由晶體由N個原子組成，晶體中包含個原子組成，晶體中包含3N個簡諧振動，總振個簡諧振動，總振動能為動能為 NiiEE31 NiiTkii31211eB NiNiiTkii3131211eB 0)(EET TECV 2B312B1eeBB TkkiNiTkTkii 對于宏觀晶體對于宏觀晶體, ,原胞數(shù)目原胞數(shù)目N很大，波矢很大，波矢q在簡約布里淵區(qū)中在簡約布里淵區(qū)中有有N個取值，所以波矢個取值，所以波矢q近似為準(zhǔn)連續(xù)的近似為準(zhǔn)連續(xù)的，頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的。，頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的。上式可以用積分來表示：上式可以用積分來表示： )d(211e0B mTkE mTkTE 0)d(

5、1e)(B )d(2100 mE )d( d 間的振動模式數(shù)。間的振動模式數(shù)。表示在表示在 )d(1ee2B02BBB TkkCmTkTkV3.頻率分布函數(shù)(模式密度) nlim0)( m 0)d(設(shè)晶體有設(shè)晶體有N個原子個原子, ,則則N3(1)(1)定義定義: :其中其中 m是最高頻率，又稱截止頻率。是最高頻率，又稱截止頻率。 n )d(2)(2)計算計算 因為頻率是波矢的函數(shù)，所以我們可以在因為頻率是波矢的函數(shù)，所以我們可以在波矢空間內(nèi)求出模內(nèi)求出模式密度的表達(dá)式。式密度的表達(dá)式。包含在包含在 內(nèi)的振動模式數(shù)為：內(nèi)的振動模式數(shù)為： d 單位頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)。單位頻率間隔內(nèi)的振動模式

6、數(shù)。波矢波矢密度密度3)2(CV兩個等頻率兩個等頻率面間的體積面間的體積每一支格波的每一支格波的振動模式數(shù)振動模式數(shù)每一支格波的模每一支格波的模式密度式密度)( 晶格總的模晶格總的模式密度式密度)( n )d(兩個等頻率面兩個等頻率面間的波矢數(shù)間的波矢數(shù)qyqx sdqdqsvddd 體積元：體積元：dq：兩等頻面間的垂直距離兩等頻面間的垂直距離, ,ds：面積元。面積元。體積元包含的波矢數(shù)目：體積元包含的波矢數(shù)目：qsVCdd)2(3 的的等等頻頻率率面面間間的的體體積積和和頻頻率率為為 d23 cVn qsVncdd23由梯度定義知由梯度定義知: : qqqdd 代入上式得代入上式得 dd

7、23 qsVnqc sqcqsVd23 nsqcqsV313d2 證明：證明：( (法一法一) ) 例例1 1：證明由：證明由N個質(zhì)量個質(zhì)量為為m、相距為相距為a的原子組成的的原子組成的一維單原子一維單原子鏈的模式密度鏈的模式密度2122)(2)(/mN 2sin2aqm 2sinaqm 一維單原子鏈一維單原子鏈aqa 共共有有N個值個值222)(LNaa/Nq d dq間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為: :qLd2 d 間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為：間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為： ddd22qLn ( (因子因子2是因為一個是因為一個 對應(yīng)于正負(fù)兩個波矢對應(yīng)于正負(fù)兩個波矢q，即一個即一個 對應(yīng)對應(yīng)兩

8、個振動模式。兩個振動模式。) ) qqdd 2cos2aqam 2/12212 mma 2/1222 ma ddd22qLn d21222122/maL d22122/maL 2sin2aqm 2sinaqm 21222/m)(N)( ( (式中式中 m為截止頻率為截止頻率) )( (法二法二) )一維單原子鏈只有一支格波，且一維單原子鏈只有一支格波，且2sin2aqm 2sinaqm 對于一維單原子鏈波矢空間的波矢密度為對于一維單原子鏈波矢空間的波矢密度為2L q 2cos2aqam 2/12212 mma 2/1222 ma 212222222)(/mqaLL 2122)(2/mN nsq

9、cqsV313d2 Na sqcqsVd23解解: :cq 例例2 2：三維晶體，：三維晶體，cq 求求)( 其中其中c c為常量，為常量，qxqy 在波矢空間，等頻率面為球面，球在波矢空間，等頻率面為球面，球半徑為半徑為q。 cqVc2342 2342 ccVc 3222cVc 3.6.2 晶體比熱的愛因斯坦模型(1)(1)晶體中原子的振動是相互獨立的；晶體中原子的振動是相互獨立的；(2)(2)所有原子都具有同一頻率所有原子都具有同一頻率 。1.模型 設(shè)晶體由設(shè)晶體由N個原子組成，因為每個原子可以沿三個方向振動，個原子組成，因為每個原子可以沿三個方向振動，共有共有3N個頻率為個頻率為 的振動

10、的振動。 NiiEE31iiinE 212.計算(1)(1)比熱表達(dá)式比熱表達(dá)式2B2B1ee3BB TkNkTkTk TECV 1e1B Tkn 211e3BTkN NiiinE3121 213nN TfNkEB3 TkfNkBEB3 TfNkCVEB3 通常用愛因斯坦溫度通常用愛因斯坦溫度 E代替頻率代替頻率 ，定義為，定義為kB E= ，22EE1eeEE TTTTf 愛因斯坦比熱函數(shù)愛因斯坦比熱函數(shù)。愛因斯坦溫度愛因斯坦溫度 E如何確定呢？如何確定呢？ 選取合適的選取合適的 E值，使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，理值，使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與試驗數(shù)據(jù)相當(dāng)好的符合。論曲

11、線與試驗數(shù)據(jù)相當(dāng)好的符合。對于大多數(shù)固體材料，對于大多數(shù)固體材料， E在在100300k的范圍內(nèi)。的范圍內(nèi)。22EE1eeEE TTTTf 12212EE2E TTT 高溫時，當(dāng)高溫時，當(dāng)T E時，時，(1)(1)2222EEEEEeeee TTTTT ! 3! 21e32xxxx2EE2E)21()21(1 TTT 3.高低溫極限討論B3Nk TfNkCVEB3 22EE1eeEE TTTTf (2)(2)低溫時，當(dāng)?shù)蜏貢r，當(dāng)T D時，時，x11， xxTTfTxxd1ee34023DDD xxTTxxdee13402223DD 3.高低溫極限情況討論xxxxTTd22134023DD ! 3! 21e32xxxx1d3D023D xxTT B3Nk 高溫時與實驗規(guī)律相吻合。高溫時與實驗規(guī)律相吻合