三角形內(nèi)角和定理及推論

1、 三 角 形內(nèi) 角和定理及推論閱讀下列文字，結(jié)合本章學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，按要求在橫線上補(bǔ)全內(nèi)容。一、三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于_.在小學(xué)，我們已通過(guò)下列三種實(shí)驗(yàn)，觀察猜想得到。 折疊 本冊(cè)教材P70圖_示意。（填圖序號(hào)。下同）（2）剪拼 本冊(cè)教材P70圖_示意或本冊(cè)教材 P75圖_示意。（3）度量實(shí)際上，有可能：折疊時(shí)，邊縫不易平齊，難以拼成一個(gè)平角;剪拼時(shí)，發(fā)現(xiàn)三個(gè)內(nèi)角難以拼成一個(gè)平角，只是接近180°的某個(gè)角；度量三個(gè)角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很準(zhǔn)確地都得180°。以致于懷疑我們的猜想：三角形的內(nèi)角的和等于18

2、0°。事實(shí)上，它是真命題，并且曾多次運(yùn)用它求三角形內(nèi)角的度數(shù)。要判斷它的“真“，必須進(jìn)行 _。二、證明三角形的內(nèi)角的和等于180°1、分析 要想求得三角形的內(nèi)角的和等于180°，三角形紙片的折疊、剪拼過(guò)程給我們這樣的提示：把三角形三個(gè)分散的角，全部或部分適當(dāng)?shù)丶衅饋?lái)，利用平角定義或兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)來(lái)證明。這就需要在原來(lái)的圖形上，添畫一些線，轉(zhuǎn)化為易于證明的情況。為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫的線，叫做_.為了區(qū)別于原圖形中的線，輔助線一般畫成_線。A由剪、拼角給我們的提示，得到輔助線的添法，如圖（1）、（2）、（3）、（4） 所示。B C EFABC

3、DE1D（2）（1）圖（1）：剪掉三個(gè)角，拼接在它的一邊BC上，B放在CDF上，C放在BDE上圖（2）剪掉兩個(gè)角（A與B），拼接在它的頂點(diǎn)C處，其中A放在1上圖（3）剪掉兩個(gè)角（B與C）,拼接在它的頂點(diǎn)A處，B放在BAD上 DABCDEBADC（3） （4）圖（4）剪掉C放在DAC上。作輔助線是幾何證明常用的方法，在書寫幾何證明時(shí)，首先應(yīng)該寫明輔助線的畫法。上面四個(gè)圖輔助線的添法，可用下面的幾何語(yǔ)言表達(dá)：1、作BC的延長(zhǎng)線CD，在ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊，畫1=A。< > 2、作BC的延長(zhǎng)線CD，過(guò)C點(diǎn)作CEAB。 < >3、過(guò)A點(diǎn)作DEBC。 <

4、 >4、過(guò)A點(diǎn)作射線ADBC。 < >5、在BC上任取點(diǎn)D，過(guò)D作DEAC交AB于E，DFAB交AC于F。 < > 請(qǐng)?jiān)谏厦嫖寰湓捄竺娴?lt; >內(nèi)填上對(duì)應(yīng)的圖號(hào)。2.證明：請(qǐng)你根據(jù)圖（4）證明“三角形的內(nèi)角的和等于180°”至此，我們明白，“三角形的內(nèi)角的和等于180°”是一個(gè)真命題，并且，常被選作解決其他問(wèn)題的依據(jù)，所以課本上，把它稱之為_(kāi)。三角形內(nèi)角和定理表達(dá)式： ABC中A+B+C=180°（三角形內(nèi)角和定理）根據(jù)圖（3），證明三角形內(nèi)角和定理：_.三 三角形內(nèi)角和定理的推論推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。 表達(dá)式在

5、RtACB中，C=90°（已知） A+B=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）推論2：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。表達(dá)式：ACB中，A +B=90°C=90°（即 ACB 是直角三角形） 推論3：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。表達(dá)式：ACB中，ACD=A +B 推論4：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 表達(dá)式：ACB中，ACDA，ACDB結(jié)合教材P82內(nèi)容，解決下列問(wèn)題：1._叫做三角形的外角。注意：同一頂點(diǎn)處雖然有兩個(gè)外角，但我們通常指一個(gè)。 在上圖中，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)E,得到內(nèi)角BAC相鄰的外角BAE，再根據(jù)推論3、推論

6、4，分別寫出它們各自的幾何表達(dá)式。推論3的：_推論4的：_2證明上面四個(gè)推論：推論1：_推論2：_推論3：_推論4：_四 三角形內(nèi)角和定理及其推論的應(yīng)用1.三角形內(nèi)角和定理及推論的作用1）在三角形中，利用三角形內(nèi)角和定理，已知兩角求第三角或已知各角之間的關(guān)系求各角。2）在直角三角形中，已知一個(gè)銳角利用推論1求另一個(gè)銳角或已知兩個(gè)銳角的關(guān)系，求這兩個(gè)銳角。另外，推論1常與同角（等角）的余角相等結(jié)合來(lái)證角相等。3）利用推論4證三角形中角的不等關(guān)系。2.閱讀例題例1.已知：如圖02-13ABC中，C=90°，BAC，ABC的平分線AD、BE交于點(diǎn)O，求：AOB的度數(shù)。  

7、;  另解：同上可得到1+2=45°3=1+2=45°（三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）AOB+3=180°（平角定義）AOB=180°-3=180°-45°=135°AOB=135° 例2AB與CD相交于點(diǎn)O，求證：A+C=B+D思路分析：在AOC中， A+C+AOC=180°（三角形內(nèi)角定理） 在 BOD中，B+D+BOD=180°（三角形內(nèi)角和定理） A+C+AOC=B+D+BOD（等量代換） AOC=BOD（對(duì)頂角相等）, A+C=B+D 這道幾何題是一對(duì)對(duì)頂三角形組成的

8、幾何圖形因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)了兩個(gè)三角形，所以便聯(lián)想到三角形內(nèi)角和定理，探索思路，使問(wèn)題解決了可是這道題的應(yīng)用價(jià)值很值得開(kāi)發(fā)，它是一類幾何題打開(kāi)思路的“橋梁”，借助它可順利到達(dá)“彼岸”，請(qǐng)看實(shí)例如圖，A+B+C+D+E= 揭示思路：從圖形中觀察出現(xiàn)對(duì)頂三角形，此時(shí)便使我們?cè)O(shè)法把5個(gè)分散的角轉(zhuǎn)化在一個(gè)圖形中，在這種想法趨使下，使我們想到對(duì)頂三角形這“橋梁”結(jié)合圖形，連CD，立即可發(fā)現(xiàn)，B+E=1+2A+B+C+D+E=A+ACD+ADC=180°（三角形內(nèi)角和定理）3.教材p83例5可歸納出一個(gè)定理：_.。五專題檢測(cè) 填空1、直角三角形的兩個(gè)銳角相等，則每一個(gè)銳角等于_度。2、ABC中，A=B

9、+C，這個(gè)三角形是三角形。3、國(guó)旗上的五角星中，五個(gè)銳角的和等于度。4、三角形的三個(gè)內(nèi)角中最多有個(gè)銳角，最多有個(gè)直角，個(gè)鈍角。5、一個(gè)三角形的最大內(nèi)角不能超過(guò)度，最小內(nèi)角不能大于度。6、已知三角形的一個(gè)外角是88°，按角分，這個(gè)三角形是（）7、已知ABC，若A=50°B=60°, 則C=_。若A=50°B = C , 則C =_.若A=50°，B-C=10°，則B =_ 若A+B=130°，A-C=25°，則A =_，B =_，C=_。已知：C=2B，B比A大20°，A=_,B=_,C=_。9、在ABC中

10、，A是B的2倍，C比A+B還大30°，求C的外角。9、ABC中，A=40°，B=60°，則與C相鄰的外角等于_10、ABC中，B=C=50°，AD平分BAC，則BAD=_. 選擇11、已知，在ABC中與最大的內(nèi)角相鄰的外角是120°，則這個(gè)三角形是()A、等邊三角形B、等腰三角形C、不等邊三角形D、等腰直角三角形12、ABC中，ABC=123，則B=（）A、30° B、60° C、90°D、120°13、一個(gè)三角形有一內(nèi)角大于其相鄰的外角，這個(gè)三角形是（）A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、斜三角形