全等三角形輔助線之截長補短和倍長中線原題+解析

1、全等三角形輔助線之截長補短與倍長中線一.填空題（共1小題）1. （2015秋?宿遷校級月考）如圖，在RltAABC中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于D.若BD:DC=3:2,點D至UAB的距離為6,貝UBC的長是.二.解答題（共10小題）2. （2010秋？函江區(qū)期末）如圖所示，在RtABC中，/C=90°,BC=ACAD平分/BAC交BC于D,求證：AB=AC+CD3. 如圖，AD是4ABC中BC邊上的中線，求證：AD<（AB+AQ.4. （2013秋?藁城市校級期末）在4ABC中，/ACB=90,AC=BC直線，MN經(jīng)過點C,且ADXMN于點D,B已MN于

2、點E.（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，求證：DE=AD+BE（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，求證：DE=AABE;（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系請你直接寫出這個數(shù)量關(guān)系，不要證明.5. 已知4ABC中,/A=60°,BD,CE分別平分/ABC和/ACB,BDCE交于點O,試判斷BE,CD,BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.6. （2012秋?西城區(qū)校級期中）已知：如圖，4ABC中，點D,E分別在AB,AC邊上，F(xiàn)是CD中點，連BF交AC于點E,/ABE+ZCEB=180,判斷BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

3、論.7. （2010秋?豐臺區(qū)期末）已知：如圖，在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90,AC=BC點D是4ABC內(nèi)的一點，且AD=AQ若/DAC=30,試探究BD與CD的數(shù)量關(guān)系并加以證明.8. 已知點M是等邊4ABD中邊AB上任意一點（不與A、B重合），作/DMN=60,交/DBA外角平分線于點N.（1）求證：DM=MN;（2）若點M在AB的延長線上，其余條件不變，結(jié)論"DM=MN是否依然成立請你畫出圖形并證明你的結(jié)論.9. （2015春?閔行區(qū)期末）如圖所示，在正方形ABCD中，M是CD的中點，E是CD上一點，且/BAE=±DAM.求證：AE=BC+CE10. 已知：

4、如圖，ABCD正方形，/FAD=/FAE求證：BE+DF=AE11. （2010秋?巢湖期中）如圖，CECB分別是AABC4ADC的中線，且AB=AC求證：CD=2CI全等三角形輔助線之截長補短與倍長中線參考答案與試題解析一.填空題（共1小題）1. （2015秋?宿遷校級月考）如圖，在RltAABC中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于D.若BD:DC=3:2,點D到AB的距離為6,則BC的長是15.【考點】角平分線的性質(zhì).【專題】計算題.【分析】作DELAB于E,如圖，則DE=q根據(jù)角平分線定理得到DC=DE=6再由BD:DC=3:2可計算出BD=9,然后禾用BC=BD+DCS

5、行計算即可.【解答】解：作DE±AB于E,如圖，貝UDE=6,.AD平分/BAC,DC=DE=6廣、0.BD:DC=3:2,BD三X6=9:三BC=BD+DC=9+6=1.5故答案為15.【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.二.解答題（共10小題）2. （2010秋？函江區(qū)期末）如圖所示，在RtABC中，/C=90°,BC=ACAD平分/BAC交BC于D,求證：AB=AC+CD【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】證明題.【分析】利用已知條件，求得/B=/E,/2=/1,AD=AD,得出ABgAED（AAS）,aAE=ABvAE=AC+

6、CE=AC+CD；AB=AC+CD【解答】證法一：如答圖所示，延長AC,到E使CE=CD連接DE.vZACB=90,°AC=BCCE=CD/B=/CAB,（180-ZACB）=45；/E=/CDE=45,°/B=/E.AD平分/BAC,a/1=/2在AABD和AAED中，1¥國，4ad二ADf/5BAABDAAED（AASJ./AE=AB-vAE=AC+CE=AC+CDAB=AC+CD證法二：如答圖所示，在AB上截取AE=AC連接DE,vAD平分/BAC,/1=/2.在4ACD和4AED中，AC=AEZ1=Z2,AD=ADAACDAAED(SAS.ZAED=/C=

7、90,CD=ED又.AC=BC/B=45:丁/EDB叱B=45:DE=BECD=BEvAB=AE+BEAB=AC+CD【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；通過SAS的條件證明三角形全等,利用三角形全等得出的結(jié)論來求得三角形各邊之間的關(guān)系.3 .如圖，AD是4ABC中BC邊上的中線，求證：AD<1(AB+AQ.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.【專題】計算題.【分析】可延長AD至ijE,使AD=DE連BE,貝lJAC*EBD得BE=AC進而在4ABE中利用三角形三邊關(guān)系，證之.【解答】證明：如圖延長AD至E,使AD=DE連接BE在4ACD和4EBD中：AACDAEBD(

8、SAS,.AC=BE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，在4ABE中，由三角形的三邊關(guān)系可得AE<AB+BE即2AD<AB+ACAD<-(AB+AC.【點評】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問題，能夠熟練掌握.4 .(2013秋?藁城市校級期末)在4ABC中，/ACB=90,AC=BC直線，MN經(jīng)過點C,且ADXMN于點D,BEXMN于點E.(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，求證：DE=AD+BE(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，求證：DE=AABE;(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系請你

9、直接寫出這個數(shù)量關(guān)系，不要證明.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.【專題】證明題.【分析】(1)利用垂直的定義得ZADC=ZCEB=90,則根據(jù)互余得/DAC+ZACD=90,0再根據(jù)等角的余角相等得至I/DAC=ZBCE然后根據(jù)“AAS”可判斷ADCCEB所以CD=BEAD=CE再利用等量代換得到DE=AD+BE(2)與(1)一樣可證明AD*CEB貝UCD=BEAD=CE于是有DE=CE-CD=AD-BE(3)與(1)一樣可證明AADCCEB貝UCD=BEAD=CE于是有DE=CDCE=BE-AD.【解答】(1)證明：VADIMN,BEXMN,ZADC=ZCEB=90,

10、6;丁/DAC吆ACD=90,°v/ACB=90,°ZBCEVACD=90,°丁/DAC之BCE在ADC和CEBZADC=ZCEBZDAC=ZECB,AC=CBAADCACEB(AAS),.CD=BEAD=CEDE=CE+CD=AD+BE(2)證明：與(1)一樣可證明ADCCEB.CD=BEAD=CEDE=CECD=AD-BE;(3)解：DE=BEAD.【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS“SA9”ASA(”AA§全等三角形的對應(yīng)邊相等.5.已知4ABC中,5A=60°,BD,CE分別平分/ABC和/ACB,

11、BDCE交于點O,試判斷BE,CD,BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).【分析】在CB上取點G使得CG=CD可證BO94BOG彳3BE-BG,可證CDOACGCO彳#CD=CG可以求得BE+CD=BC【解答】解：在BC上取點G使得CG=CDvZBOC=180-(/ABC吆ACB)=180二(180-60)=120； .ZBOE=/COD=60,° 在ACOD和ACOG中，(mcoZdco=Zgco,CD=CG .COD衿MOG(SAS,丁/COG力COD=60；ZBOG=120-60=60=/BOE 在ABOE和ABOG中，(ZBOG=ZBOEBO=BO,ZE

12、BO=ZGBOABOEABOG(ASA)，BE=BGBE+CD=BG+CG=BC【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證CD=CGffiBE=B班解題的關(guān)鍵.6. （2012秋?西城區(qū)校級期中）已知：如圖，4ABC中，點D,E分別在AB,AC邊上，F(xiàn)是CD中點，連BF交AC于點E,/ABE+ZCEB=180,判斷BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】探究型.【分析】延長BF至點G,使FG=BF連CG,證GF84BFD,/CGF4FBD,CG=DB求出/CGF之CEG推出CG=CE即可得出答案.【解答】結(jié)論：

13、BD=CE證明：延長BF至點G,使FG=BF連CG.F為CD中點,CF=DF在GFCffiBFD中.GFCBFD（SAS,./CGFWFBD,CG=DB又/ABE+ZCEB=180,/CEG吆CEB=180,丁/CGFWCEGCG=CEBD=CE【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用.7. （2010秋?豐臺區(qū)期末）已知：如圖，在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90,AC=BC點D是4ABC內(nèi)的一點，且AD=AQ若/DAC=30,試探究BD與CD的數(shù)量關(guān)系并加以證明.【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).【專題】探究型.【分析】作BE，BC,AE±

14、AC,兩線相交于點E,則四邊形AEBC是正方形，由/DAC=30,°得/DAE=60,°由AD=AQ彳4AD=AE,所以，三角形AED是等邊三角形，可得/AED=60,/DEB=30,所以，AADCAEDE,可得BD=CD【解答】解：BD=CD證明：作BEXBC,AE±AC,兩線相交于點E,.ABC是等腰直角三角形，即AC=BC四邊形AEBC是正方形，v/DAC=30,°丁./DAE=60,°vAD=ACAD=AE.AED是等邊三角形，丁./AED=60,°丁./DEB=30,°AD二ED在AADC和AEDB中，NDAC=/

15、D時二3lZAC=BEAADCAEDB(SAS,.BD=CD【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建正方形，通過證明三角形全等得出線段相等，是解答本題的基本思路.8.已知點M是等邊ABD中邊AB上任意一點(不與A、B重合)，作/DMN=60,交/DBA外角平分線于點N.(1)求證：DM=MN;(2)若點M在AB的延長線上，其余條件不變，結(jié)論"DM=MN是否依然成立請你畫出圖形并證明你的結(jié)論.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).【分析】(1)在AD上截取AF=AM,證明DFMzXMBN即可；(2)在AD的延長線上截

16、取AF=AM,證明DFMzMBN即可.【解答】證明：(1)如圖1,在AD上截取AF=AM,V4ABD是等邊三角形，4AMF是等邊三角形，.DF=MR/DFM=120；BN是/DBA外角平分線,丁./MBN=120；丁./DFM=/MBN,v/DMN=60；ZBMN+ZAMD=120:/A=60；丁./FDM+/AMD=120;丁./FDM=/BMN,AFDMffiABMN中，ZFDM=ZBNNDFBNDFM:NMENaAFDMABMN(ASQ,DM=MN.(2)點M在AB的延長線上，如圖在AD的延長線上截取AF=AM,:ABD是等邊三角形，4AMF是等邊三角形，D部B.VE.DF=MR/DFM

17、=60；.BN是/DBA外角平分線，丁./MBN=60；丁./DFM=/MBN,vZBMN=ZAMD+ZDMN,/FDM=/A+/AMD,/DMN=/A=60；丁./FDM=/BMN,在FDM和ABMIN中，NFDM二NBMNDF二MB,ZDn=ZNBNAFDMABMN（ASQ,DM=MN.【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，通過輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵.9.（2015春?閔行區(qū)期末）如圖所示，在正方形ABCD中，M是CD的中點，E是CD上一點，且/BAE=±DAM.求證：AE=BC+CE【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】

18、證明題.【分析】延長AB到F,使BF=CE連接EF與BC相交于點N,利用角角邊”證明BFN和ACENr等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BN=CNEN=FN再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得/BAN=/DAM,然后求出/BAN=/EAN,再根據(jù)等腰三角形三線合一可得AE=AF從而得證.【解答】證明：如圖，延長AB到F,使BF=CE連接EF與BC相交于點N,在4BFN和4CEN中,NFBN=NC=90”ZBNF=ZCNE,BF=CE.BFNCEN(AAS),.BN=CNEN=FN又M是CD的中點,丁./BAN=/DAM,v/BAE=2ZDAM,丁./BAN=/EAN,AN既是AAEF的角平分線也是中線,AE=

19、AFvAF=AB+BFAE=BC+CE【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和全等三角形.10.已知：如圖，ABCD是正方形，/FAD=/FAE求證：BE+DF=AE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).【專題】證明題.【分析】延長CB到G,使BG=DF連接AG,由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質(zhì)得至|JAB=AD,AB/CD,/D=/ABC=90,進而得至I/5=/BAF叱1+/3,/ABG=180/ABC=90,°利用SAS得到三角形ABG與三角形ADG全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到ZG

20、=Z5,/1=/2=/4,等量代換得到ZG=ZEAQ利用等角對等邊得到AE=GE由GE=BE+BG等量代換即可得證.【解答】解：延長CB到G,使BG=DF連接AG,V四邊形ABCD為正方形，AB=ADAB/CD,/D=/ABC=90,°./5=/BAF=/1+Z3,/ABG=180;/ABC=90,°狷在AABG和AADG中，AB=ADBG=DFAABGAADF(SAS,；/G=/5,Z1=Z2=/4,/G=/5=/1+Z3=/4+/3=/EAGAE=GE=BE+GB=BE+DF【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.11.(

21、2010秋?巢湖期中)如圖，CECB分別是AABC4ADC的中線，且AB=AC求證：CD=2CI【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】證明題.【分析】延長CE至ijF,使CE=EF連接FB,由AE®BEF得出對應(yīng)的邊角相等，進而求證4CB/CBD,即可得出結(jié)論.【解答】證明：延長CE到F,使EF=CE連接.CE是4ABC的中線，.AE=EB又;ZAEC=zBEF.AECBEF(SASZA=ZEBFAC=FBvAB=AC丁/ABC玄ACB,丁/CBD玄A+/ACB之EBF吆ABC之CBF.CB是AADC的中線， .AB=BD又.AB=AGAC=FBFB=BD又CB=CBACBfACB

22、D(SAS, .CD=CF=CE+EF=2CE【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是通過延長中線構(gòu)造全等三角形.FB.等腰三角形的性質(zhì).解決此題的考點卡片1.三角形三邊關(guān)系(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.(2)在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.(3)三角形的兩邊差小于第三邊.(4)在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略.2,全等三角形的判定與性質(zhì)(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)

23、證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形.3 .角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.注意：這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，.0在/AOB的平分線上，CD±OA,CELOB；CD=CE4 .等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的兩腰相等等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱