《指數(shù)函數(shù)·冪函數(shù)·對數(shù)函數(shù)增長的比較》

1、nyxxyalogayx例題：例題：例例1、假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方、假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一方案一：每天回報：每天回報40元；元；方案二方案二：第一天回報：第一天回報10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多 回報回報10元；元；方案三方案三：第一天回報：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前元，以后每天的回報比前 一天翻一番。一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案呢？請問，你會選擇哪種投資方案呢？投資方案選擇原則：投資方案選擇原則：(1) 比較三種方案每天回報量比較三種方案每天回

2、報量 哪個方案在某段時間內(nèi)的總回報量最哪個方案在某段時間內(nèi)的總回報量最多，我們就在那段時間選擇該方案。多，我們就在那段時間選擇該方案。(2) 比較三種方案一段時間內(nèi)的總回報量比較三種方案一段時間內(nèi)的總回報量投入資金相同，回報量多者為優(yōu)投入資金相同，回報量多者為優(yōu)解：設第解：設第x天所得回報為天所得回報為y元，則元，則 方案二：第一天回報方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回元，以后每天比前一天多回 報報10元；元； y=10 x (xN*)方案三：第一天回報方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前元，以后每天的回報比前一天翻一番。一天翻一番。 y=0.42x-1 (xN*)方案一

3、：每天回報方案一：每天回報40元；元； y=40 (xN*)三種方案的回報情況x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增長量增長量/元元y/元元增長量增長量/元元y/元元增長量增長量/元元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4圖112-1從每天的回報量來看：從每天的回報量來看： 第第14天，方案一最多：

4、天，方案一最多： 每每58天，方案二最多：天，方案二最多： 第第9天以后，方案三最多；天以后，方案三最多；有人認為投資有人認為投資14天選擇方案一；天選擇方案一；58天選擇方案二；天選擇方案二；9天以后選擇方案天以后選擇方案三？三？畫畫圖圖累積回報表累積回報表 天數(shù)天數(shù)方案方案1234567891011一一4080120160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8結論結論 投資投資16天，應選擇第一種投資方案；投資天，應選擇第一種投資方案；投資

5、7天，應選擇第一或二種投資方案；投資天，應選擇第一或二種投資方案；投資810天，應選擇第二種投資方案；投資天，應選擇第二種投資方案；投資11天（含天（含11天）以上，應選擇第三種投資方案。天）以上，應選擇第三種投資方案。 問題提出問題提出 1.1.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x (a (a1)1)，對數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù) y=logy=loga ax(ax(a1)1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)y=xy=xn n (n (n0)0)在區(qū)在區(qū)間（間（0 0，+）上的單調(diào)性如何？）上的單調(diào)性如何？ 2.2.利用這三類函數(shù)模型解決實際問利用這三類函數(shù)模型解決實際問題，其增長速度是有差異的，我們怎樣題，其增長速度

6、是有差異的，我們怎樣認識這種差異呢？認識這種差異呢？ 探究（一）：特殊冪、指、對函數(shù)模型的差異探究（一）：特殊冪、指、對函數(shù)模型的差異 對于函數(shù)模型對于函數(shù)模型 ：y=2y=2x x, y=x, y=x2 2, y=log, y=log2 2x x 其中其中x x0. 0. y=logy=log2x xy=xy=x2y=2y=2xx x思考思考1:1:觀察三個函數(shù)的自變量與函數(shù)值對應觀察三個函數(shù)的自變量與函數(shù)值對應 表表, , 這三個函數(shù)增長的快慢情況如何？這三個函數(shù)增長的快慢情況如何？ 1.7661.7661.5851.5851.3791.3791.1381.1380.8480.8480.4

7、850.4850 0-0.737-0.73711.5611.569 96.766.764.844.843.243.241.961.961 10.360.3610.55610.5568 86.0636.0634.5954.5953.4823.4822.6392.6392 21.5161.5163.43.43.03.02.62.62.22.21.81.81.41.41 10.60.6y=2xy=x2y=log2x思考思考2:2:對于函數(shù)模型對于函數(shù)模型y=2y=2x x和和y=xy=x2 2，觀察下列，觀察下列自變量與函數(shù)值對應表：自變量與函數(shù)值對應表： 當當x x0 0時，你估計函數(shù)時，你估計函

8、數(shù)y=2y=2x x和和y=xy=x2 2的圖象共的圖象共有幾個交點？有幾個交點？ 思考思考3:3:在同一坐標系中這三個函數(shù)圖象的相對位置關系如在同一坐標系中這三個函數(shù)圖象的相對位置關系如何？請畫出其大致圖象何？請畫出其大致圖象. . xyo11 24y=2xy=x2y=log2x思考思考4:4:根據(jù)圖象，不等式根據(jù)圖象，不等式loglog2 2x x2 2x xx x2 2和和loglog2 2x xx x2 21 1和和n n0 0，在區(qū)間，在區(qū)間(0,+(0,+) )上上a ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? ? a ax x是否恒小于是否恒小于x xn n? ?思考思考2:2:

9、當當a a1 1，n n0 0時，在區(qū)間時，在區(qū)間(0,+(0,+) )上上, a, ax x與與x xn n的大小關系應如何闡述？的大小關系應如何闡述？ 思考思考3:3:一般地，指數(shù)函數(shù)一般地，指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x (a(a1)1)和冪函和冪函數(shù)數(shù)y=xy=xn n(n(n0)0)在區(qū)間在區(qū)間(0,+(0,+) )上，其增長的快上，其增長的快慢情況是如何變化的？慢情況是如何變化的？思考思考4:4:對任意給定的對任意給定的a a1 1和和n n0 0，在區(qū)間，在區(qū)間 (0,+)(0,+)上上,log,loga ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? log? loga ax x是否是

10、否恒小于恒小于x xn n? ?思考思考5:5:隨著隨著x x的增大的增大,log,loga ax x增長速度的快慢增長速度的快慢程度如何變化程度如何變化? x? xn n增長速度的快慢程度如何增長速度的快慢程度如何變化？變化？思考思考6:6:當當x x充分大時充分大時,log,loga ax(ax(a1)1)與與x xn n (n(n0)0)誰的增長速度相對較快？誰的增長速度相對較快？思考思考7:7:一般地，對數(shù)函數(shù)一般地，對數(shù)函數(shù)y=logy=loga ax(ax(a1)1)和冪和冪函數(shù)函數(shù)y=xy=xn n(n(n0) 0) 在區(qū)間在區(qū)間(0,+)(0,+)上，其增長的上，其增長的快慢情

11、況是如何變化的？快慢情況是如何變化的？xyo1y=log=logax xy=x=xn思考思考8:8:對于指數(shù)函數(shù)對于指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x(a(a1)1)，對數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù) y=logy=loga ax(ax(a1)1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)y=xy=xn n(n(n0)0)，總存在一，總存在一個個x x0 0，使，使x xx x0 0時時,a,ax x,log,loga ax,xx,xn n三者的大小關系三者的大小關系如何？如何？思考思考9:9:指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x (0(0a a1)1)，對數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)y=logy=loga ax(0 x(0a a1)1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)y=xy=xn n(n(n1)，y=logax (a1)和和y=xn (n0)都是增函數(shù)。都是增函數(shù)。(2)、隨著、隨著x的增大，的增大， y=ax (a1)的增長速度越來越的增長速度越來越快，會遠遠大于快，會遠遠大于y=xn (n0)的增長速度。的增長速度。(3)、隨著、隨著x的增大，的增大， y=logax (a1)的增長速度越來的增長速度越來越慢，會遠遠小于越慢，會遠遠小于y=xn (n0)的增長速度。的增長速度?？偞嬖谝粋€總存在一個x0，當，當xx0時，就有時，