平方差公式教學案例分析

1、平方差公式教學案例分析一、設計理念新課程的一個基本理念就是：人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.這就需要我們在教學的過程中，利用教師的智慧，對教材和資源進行重新整合，并根據(jù)具體的學生的環(huán)境和接受能力，對課堂教學內(nèi)容進行合理設計，從而提高課堂教學的效率.把握知識核心是教師課堂設計的前提，只有教師本身對這節(jié)課的知識點吃得透，把握得準，然后在圍繞著這個中心進行教學設計，這樣的教學設計才能為學生創(chuàng)設更加真實的數(shù)學學習環(huán)境，也能激發(fā)學生積極參與的欲望，從而引起學生的興趣和共鳴.二教材分析（一）教學內(nèi)容本節(jié)屬于數(shù)學課程標準（修改稿）中“數(shù)與代數(shù)”領域的內(nèi)容，是學生在已經(jīng)學習了多項式

2、乘法的基礎上，再一次應用乘法公式對多項式乘法進行簡便運算的知識.平方差公式不僅是對乘法公式的進一步補充，它還為后面因式分解學習奠定了基礎.技能目標：掌握平方差公式，會運用平方差公式進行多項式的乘法運算及簡便運算.（二）、核心知識表述平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差.（三）、核心解析平方差公式是基于多項式乘以多項式的法則而提出的特殊情況下的簡便計算的法則，它是一種特殊的多項式乘以多項式.（四）、教學重點及難點（1）重點：平方差公式（2）難點：構造圖形來解釋平方差公式，需要較強的綜合運用數(shù)學的能力（五）、學情分析學生剛過多項式的乘法，學生在解題時由于思維定勢，往往還是用多項式乘法

3、的方法來作這節(jié)課的題目，因此在教學中要讓學生體驗應用平方差公式計算多項式乘法的簡便性.三、教學設計（一）、創(chuàng)設問題情境引入新課猜一猜：（1）在紙上寫出你最喜歡的一個幸運數(shù)字（10以內(nèi)）；（2）計算100與這個數(shù)的和，乘以100與這個數(shù)的差的積（屏幕打出，給學生半分鐘思考、計算的時間）師：同學們算得很投入，只要告訴我，你運算的結果，我就能馬上說出你的幸運數(shù)字是幾，信嗎？并請兩位學生來試驗.師：等我們學了今天的知識以后，大家也能像老師一樣，馬上猜出其他同學的幸運數(shù)字了.設計意圖通過游戲使學生產(chǎn)生對新知識的強烈求知欲.在游戲的過程中，學生的思維是活躍的，注意力是高度集中狀態(tài)，在游戲中能讓學生獲得知識

4、，發(fā)展能力，提高學習興趣.學生的興趣和情境一下子被調(diào)動起來了，有45名已經(jīng)預習過新課的學生，馬上能夠摸到題目中的門道，迅速的報出答案.新課講解（二）、新課講解引出并推導公式還記得多項式乘法嗎？下面讓我們運用多項式的乘法來進行計算：（如果有同類項進行合并）通過觀察思考相乘的兩個多項式之間有什么特點？它們相乘的結果有什么規(guī)律？（學生歸納，老師補充）期望得到結論：1）多項式均為兩項；2）這兩項有一項相同，有一項互為相反數(shù)；3）它們乘積的結果都是這兩個數(shù)的平方差.歸納平方差公式：.（板書課題：5.4乘法公式一一平方差公式）師：請大家在自己的紙上利用多項式乘法的法則，推導一下這個公式.（學生到黑板上板演

5、推導過程）下面老師這里有4塊紙片，下面按圖拼成兩個不同的圖形，我們分別計算出它們的面積：（指導學生通過拼圖的方法推導平方差公式）由左右兩個圖形面積相等，得.通過具體的圖形驗證，讓學生了解和體驗公式的幾何意義.設計意圖通過具體問題，歸納總結出平方差公式平方差公式是一種特殊的多項式乘以多項式，它可以用多項式乘以多項式的方法來證明.讓學生通過推導公式來體驗：原來兩個二項式相乘他們的積有四項，而現(xiàn)在這兩個特殊的二項式相乘，他們的積經(jīng)過整理以后只有兩項，這樣大大降低了計算的量.通過拼圖的方式和學生一起探索平方差公式的由來，讓學生對公式進行了解.同時給學生滲透數(shù)形結合的思想.1 .平方差公式是由多項式乘法

6、直接計算得出的：力）8一協(xié)=（?-而+而一力：二.射與一般式多項式的乘法一樣，積的項數(shù)是多項式項數(shù)的積，即四項.合并同類項后僅得兩項.2 .這一公式的結構特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方差.公式中的字母可以表示具體的數(shù)(正數(shù)和負數(shù))，也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式.只要符合公式的結構特征，就可運用這一公式.例如(100+2)(100-2)-1002-22tritt:tt：t(t(3m+2n)(3wa-2n)=(3m)2-(2n)2在運用公式的過程中，有時需要變形，例如匕-母，變形為”電須一畫,兩

7、個數(shù)就可以看清楚了.3 .關于平方差公式的特征，在學習時應注意：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩上二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).(2)右邊是乘式中兩項的平方差(相同項的平方減去相反項的平方)(3)公式中的和可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式.(4)對于形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘，就可以運用上述公式來計算.(三)、教法建議1 .可以將“兩個二項式相乘，積可能有幾項”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學生的學習興趣，使學生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特征，上升到一定的理論認識，加以實踐檢驗，從而培養(yǎng)學生觀察、概括的能力.2 .通過學生自己的試算、觀察、發(fā)

8、現(xiàn)、總結、歸納，得出為什么有的兩個二項式相乘，其積為兩項，因為其中兩項是兩個數(shù)的平方差，而另兩項恰是互為相反數(shù)，合并同類項時為零，即(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的實質(zhì)講清楚了.3 .通過例題、練習與小結，教會學生如何正確應用平方差公式.這里特別要求學生注意公式的結構，教師可以用對應思想來加強對公式結構的理解和訓練，如計算(1+2x)(1-2x),(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2；TT(a+b)(a-b)=a2-b2這樣，學生就能正確應用公式進行計算，不容易出差錯.另外，在計算中不一定用一種模式刻板地應用公式，可

9、以結合以前學過的運算法則，經(jīng)過變形后靈活應用公式，培養(yǎng)學生解題的靈活性.=1-4x2.教師引導學生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學生說出本題中a,b分別表示什么.例2計算(b2+2a3)(2a3-b2).解：(b2+2a3)(2a3-b2)=(2a3+b2)(2a3-b2)=(2a3)2-(b2)2=4a6-b4.教師引導學生發(fā)現(xiàn)，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式課堂練習(2)(m+n)(m-n)；運用平方差公式計算:(l)(x+a)(x-a)；(3)(a+3b)(a-3b);(4)(1-5y)(l+5y)例3計算(-4a-1)(-4a+1).讓學生在練習本上

10、計算，教師巡視學生解題情況，讓采用不同解法的兩個學生進行板演.解法1:(-4a-1)(-4a+1)=-(4a+l)-(4a-l)=(4a+1)(4a-l)=(4a)2-l2=16a2-1.解法2：(-4a-l)(-4a+l)=(-4a)2-l=16a2-1.根據(jù)學生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式，應用平方差公式，寫出結果.解法2把-4a看成一個數(shù)，把1看成另一個數(shù)，直接寫出(-4a)2-l2后得出結果.采用解法2的同學比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質(zhì)，運算簡捷.因此，我們在計算中，先要分析題目

11、的數(shù)字特征，然后正確應用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案.課堂練習1 .口答下列各題：(l)(-a+b)(a+b)；(a-b)(b+a)；(3)(-a-b)(-a+b);(4)(a-b)(-a-b).2 .計算下列各題：(1)(4x-5y)(4x+5y);(2)(-2x2+5)(-2x2-5);(班X：漏十%，(溫"須弓R教師巡視學生練習情況，請不同解法的學生，或發(fā)生錯誤的學生板演，教師和學生一起分析解法.三、小結1 .什么是平方差公式？2 .運用公式要注意什么？(1)要符合公式特征才能運用平方差公式；(2)有些式子表面不能應用公式，但實質(zhì)能應用公式，要注意變形.四、作業(yè)1 .運用平方差公式計算：