運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)題詳解-南昌一中

1、解圖4-1-1圓周運(yùn)動(dòng)和萬(wàn)有引力習(xí)題詳解1. 如圖4-21所示，AC為豎直轉(zhuǎn)動(dòng)軸，AB是長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩.BC為很輕的連桿，在C點(diǎn)由鉸鏈連接.在B點(diǎn)用另一長(zhǎng)也是L的細(xì)繩掛一小球m,此時(shí)AB和BC與軸的夾角分別為60o和30o,當(dāng)軸AC勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，懸掛小球的繩與豎直方向成30o角.求(1) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；(2) AB繩和BC桿所受的力.解(1)對(duì)小球受力分析：如解圖4-1-1所示。對(duì)小球列方程：02mgtan30mL求得一2goY(3+V3)l(2)以桿的B點(diǎn)為研究對(duì)象，盡管B點(diǎn)有向心加度,但因其質(zhì)量為0,故B點(diǎn)合力為0.可以求得：Fab=mg,FBCfmg2. 如圖4-21所示，轉(zhuǎn)架的水平橫桿上

2、套一質(zhì)量為m1的制動(dòng)件，它距轉(zhuǎn)軸中心的距離為R.在制動(dòng)件下方系有長(zhǎng)也是R的繩子.繩子的另一端栓一質(zhì)量為1m2的物體.m2=3m1，當(dāng)轉(zhuǎn)架以一定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí).懸線和豎直線的夾角為30o求(1)此時(shí)轉(zhuǎn)架的角速度(2) 繩的張力大?。?3) 制動(dòng)件與轉(zhuǎn)架橫桿間的靜摩擦因數(shù)至少是多m223R可以求得:二22g33R解(1)以m2為研究對(duì)象，受力分析，列方程:0m?gtan30(2)以m2為研究對(duì)象，受力分析，在豎直方向列方程:23Tcos30°=m2gTm2g(3)以mi為研究對(duì)象，受力分析如解圖m2示,列方程:N二m1gTcosf-Tsin30°呵，2R又f=可以求得:(原答案有

3、誤?)3.雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁演員騎摩托車從底部開(kāi)始運(yùn)動(dòng)隨著速度增加圈子越兜越大，最后在直壁上勻速率行駛.如圖4-23所示.如果演員和摩托車運(yùn)動(dòng)的速率為v,直壁半徑為R,每繞一周上升的高度為h,走壁時(shí)的加速度大小.解螺旋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng).在豎直方向上無(wú)加速度，水平方向有向心加速度所以摩托車的加速度即為水平方向上圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度求摩托車h2二R解圖4-3將摩托車的速度v分解,其水平分量為W=vcos則摩托加的加速度為a二(vcos)又tanR2兀R由可得:a=4二2Rv24二2R2h2PO圖4-244.如圖4-24所示,0A為一

4、輕桿，和豎直軸0P成一定角度.桿上套有一質(zhì)量為m的小環(huán)，可沿桿無(wú)摩擦滑動(dòng).當(dāng)輕桿繞OP軸以角速度勻速旋轉(zhuǎn)時(shí).環(huán)m在距O為L(zhǎng)處相對(duì)靜止，求桿與OP軸的夾角.解以小環(huán)為研究對(duì)象，受力分析，列方程：mgcot二m2lsin2解方程可得（舍掉負(fù)解）:v-arccos9-Lg22L5.如圖4-25所示一細(xì)線穿過(guò)一光滑細(xì)管兩端分別拴有質(zhì)量為mi和m2的小球，mi<m2，mi到管口的距離（繩長(zhǎng)）為L(zhǎng),管口半徑可忽略，管子不動(dòng).當(dāng)mi繞豎直管在水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),m2處于靜止，求（1）小球mi的速度大小.（2）小球mi的轉(zhuǎn)動(dòng)周期.解管繩間無(wú)摩擦，繩的拉力大小等m2g,以mi為研究對(duì)0象，受力分析列方

5、程:v2F向一(m；-mg二-Lsin日其中si”（5）9可以解得：v二22m2一口.gLmim2圖4-24F角軍圖4-5.m(2)T二vr=Lsinv可以解得:設(shè)當(dāng)小球與豎直方向成r角時(shí)，人對(duì)地面的壓力最Trm：g6.如圖1-26所示，一人手持繩的一端（圖中O點(diǎn)），繩另一端栓一質(zhì)量為m的小球，使之在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).繩長(zhǎng)為L(zhǎng).小球在最高點(diǎn)時(shí)速度為V0.則在什么位置,人對(duì)地面的壓力為最小？并對(duì)V0的取值進(jìn)行討論.解當(dāng)繩對(duì)人拉力的豎直向上的分量達(dá)到最大時(shí),人對(duì)地面的壓力最小。mgLmv：二mgLcos：mv222小，則有:vTmgcosr二mOyL整理得：T=mv°2mg-3mgco

6、sv22VoT在豎直方向的分量為：Tcost-mV0co2mgco-3mgcos2當(dāng)曲46gL因小球可以越過(guò)最高點(diǎn)，所以v0-審，又因cos8<1，故:(1)1v2若gl_V:4gl，當(dāng)v-arccos（）時(shí)，人對(duì)地面的壓力最小。36gl(2)若v,4gT，cost-1時(shí)，即v-00，小球在最高點(diǎn)時(shí)人對(duì)地面的壓力最小。7.如圖4-27所示，一小環(huán)套在半徑為R的豎直大圓環(huán)上，小環(huán)與大圓環(huán)間的靜摩擦因數(shù)為"，當(dāng)大環(huán)以角速度繞過(guò)圓心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若使兩環(huán)不相對(duì)滑動(dòng)，則的取值有何要求？解對(duì)小環(huán)受力分析，列方程:N圖4-27OR徑向方向：mgcostN=m2R又丄N-mgsinv由

7、得：進(jìn)sinv1cos-（證明過(guò)程略）由得：-1廠二)48.輛汽車在水平面內(nèi)以速率v沿半徑為R的圓周（汽車重心到圓心距離為R）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)汽車質(zhì)量為m,車輪與水平面間靜摩擦因數(shù)為X兩側(cè)車輪間距離為a，且a二R，重心離水平面高為h,則汽車運(yùn)動(dòng)中內(nèi)外側(cè)輪受到地面支持力各多大？討論汽車圓運(yùn)動(dòng)時(shí)的安全速度.解選汽車為參照物，受力分析，F(xiàn)慣為慣性力，左方為內(nèi)側(cè)，Ni是外輪受1到地面的支持力根據(jù)7F=0fM=0,以A點(diǎn)為2vF慣二mROF貫N24冷軸列方程:可以解得:*M+N2=GF慣h+N2a12,mvh-mg+2aR12,mvh-mg2aRg2NiN2“G解圖4-8當(dāng)汽車達(dá)到速度增大時(shí)，汽車內(nèi)輪對(duì)地

8、面壓力減小,當(dāng)壓力變?yōu)?時(shí)，汽mga22車達(dá)到最大安全速度。此時(shí)有：m±h二R整理得：vm=-gRa此時(shí)慣性力為2h(1)若叱mg，即J時(shí),2h2hmga2h車輪不會(huì)相對(duì)地面滑動(dòng)應(yīng)保證不翻車。即V-Rag。(2)若皎一叭，即r時(shí)，應(yīng)先確保車輪不能相對(duì)地面滑動(dòng),2h2mg_，即：v乞、JRg。9.一個(gè)很大的圓柱體.質(zhì)量為相同的物塊上，一個(gè)物塊固定不動(dòng),不太大的速度v向左勻速運(yùn)動(dòng)，如圖4-28所示。當(dāng)兩物塊相距為2R時(shí)，圓柱體對(duì)固定物塊的作用力大小為多少？不圖4-28m.半徑為R,放在兩個(gè)另一個(gè)物塊沿水平面以計(jì)摩擦，初始時(shí)刻兩物塊相距很近解當(dāng)物塊向外運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于圓柱體和物塊之間無(wú)摩擦,圓

9、柱體和物塊的接2可知，接觸點(diǎn)相對(duì)圓心的速度為V,”v72V_2cos45_TV所以物塊相對(duì)圓心的向心加速度為2V2R2_V-R物塊相對(duì)圓心不但有向心加速度，還有切向加速度，但由于物塊和圓柱中心在水平方向都做勻速運(yùn)動(dòng)，物塊相對(duì)圓柱中心的合加速度一定在豎方向上如解圖4-9-2所示:可以求得2R設(shè)物塊對(duì)圓柱的支持力為N，則:mgJ2N二ma可以求得：N=#mg-牛錯(cuò)誤辯析有些同學(xué)認(rèn)為，物塊對(duì)圓柱中心的加速G度只有向心加速度。這樣認(rèn)為是錯(cuò)誤的，物體相對(duì)圓柱中心不但有向心加速度，而且還有切向加速度。要求物塊對(duì)圓柱中心的切向加速度可從對(duì)速度表達(dá)式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得到。也可以通過(guò)加速度的分解來(lái)求.10.半徑為R的

10、圓環(huán)上固定著一小球m.小球體積不計(jì).圓環(huán)沿水平面勻速滾動(dòng)只滾不滑），其圓心速度為v如圖4-29所示.當(dāng)小球處在圖示位置時(shí).求小球受到圓環(huán)的作用力大小.解析當(dāng)圓環(huán)滾動(dòng)時(shí)，小球相對(duì)圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心向心加速度。圓心相對(duì)地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，圓心相對(duì)地面的加速度0。所以小球?qū)A心的向心加速度即為小球相對(duì)地面的加速度。解如解4-10-1所示，將小球相對(duì)地面的速度V1分解為相對(duì)圓心的速度V2和圓心相對(duì)地面的速度V.由圖示可知V2二V，則小球相對(duì)圓心的加速解軍圖4-10-2度為a訃，方向指向圓心。此加速度也是小球相對(duì)地面的加速度對(duì)小球受力分析，如4-10-2所示：Nx=F合cos30°0

11、Ny-mg=F合sin30（其中Nx為N的水平方向分量，Ny為N的豎直方向分量）N=,n2Nj與方程聯(lián)立，可以求得：半徑為I的圓.如解圖4-11所示AB兩點(diǎn)沿桿方向速度相等，即:vAsin：二vBcos：當(dāng)：=45°時(shí),va=vb=v而P點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，故有:171存A解圖4-11B2BP點(diǎn)的速度為2此時(shí)P點(diǎn)的向心加速度為寺叱而P點(diǎn)相對(duì)地面在水平方向上為勻速運(yùn)動(dòng).因此P點(diǎn)加速度一定在豎直方向上.（P點(diǎn)還有切向加速度同第9題）可以求得P點(diǎn)的加速度為a二亙2L設(shè)桿對(duì)P點(diǎn)的作用力為F,則有：mgF二ma,可以求得：V2mv2F=mg-2L12. 如圖4-31所示，半徑為R的豎直光滑大環(huán)上套

12、一質(zhì)量為m的小球，小球連接在勁度系數(shù)為K的輕彈簧一端，彈簧另一端系在圓環(huán)最高點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)恰為R;若將小球由彈簧原長(zhǎng)處P點(diǎn)自由釋放，求小球到達(dá)圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)環(huán)對(duì)球的壓力大小。并討論K的取值對(duì)壓力方向的影響.圖4-31解析若彈簧勁度系數(shù)太大，小球不能到達(dá)到達(dá)最低點(diǎn),應(yīng)首先確定小球到達(dá)最低點(diǎn)的條件小球到達(dá)最底端時(shí),圓環(huán)對(duì)球的作用力可能向下，向上，也可能沒(méi)有解若小球恰能到達(dá)到達(dá)最低點(diǎn).重力和彈簧彈力對(duì)小球作功:根據(jù)動(dòng)能定理，有：3mgR-KR2二丄mv2_0可以求得：K3.222R這是小球能到達(dá)最低點(diǎn)須滿足的條件.設(shè)小球到達(dá)圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)圓環(huán)對(duì)小球支持力向上，大小為N.3mgR-丄KR2二丄mv2（最低點(diǎn)

13、的速率為v）222v2_NKRmg=mR由可得:N=4mg-2KR由可以看出：當(dāng)K=2盹時(shí),無(wú)作用力.R當(dāng)K：亟時(shí),N>0,作用力向上.R當(dāng)亟：:K乞沁時(shí),N<0,作用力向下.RRK時(shí)，無(wú)法到達(dá)最低點(diǎn).R13. 如圖4-32所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球串在質(zhì)量可忽略的光滑細(xì)桿上，用兩根完全相同的輕彈簧相連，兩彈簧勁度系數(shù)均為K，原長(zhǎng)均為L(zhǎng)。，左彈簧的左端固定于細(xì)桿的端點(diǎn)0,細(xì)桿繞0在水平面內(nèi)以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)肘求(1)兩彈簧的長(zhǎng)度之比:mm圖4-32(2)系統(tǒng)若穩(wěn)定地勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則對(duì)，有何限制？解(1)設(shè)兩彈簧的形變量分別為X1,X2.分別以兩小球?yàn)檠芯繉?duì)象，列方程：2解方程得:Kx2二

14、m(2L0x-ix?)2a-Kx2=m，(L0x1)m224K-3KmmL0(3K-m2)2224K-3Kmm-m2L0(2K-m2)則：_1L0+x2K_m豹當(dāng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，0,x20即:3K-m2>0“K2_3Km2+m2時(shí)4>03K-m2vO«K2_3Km叮2+m占2K-m202K-m2:0故穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)是須滿足3-解方程可得0-32第二組方程無(wú)解。(原答案有誤?14. 用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng).角速度為；圓心為0,繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量可忽略,繩的另一端系著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，恰好也沿著一個(gè)以0點(diǎn)為圓心的大圓在桌面上運(yùn)動(dòng)，保持細(xì)繩與手所在的圓周始終相切

15、。小球和桌面間有摩擦，球的運(yùn)動(dòng)如圖4-33所r：0fm解圖4-14(2)小球與桌面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)m解(1)小球運(yùn)動(dòng)的半徑為2L2向心力為F向二mr2L2由于小球的速率不變，所以手做的功與摩擦力做功大小相等。要求手對(duì)細(xì)繩的功率，只要求出摩擦力的功率即可。由于f=F向tana=moo2二Jr2+L2LP=f二Jmg可得:gL15. 個(gè)質(zhì)量均勻分布的薄圓板，質(zhì)量為m，半徑為r在水平桌面上運(yùn)動(dòng)，圓板中心的速度大小為v,方向保持不變，如圖4-34所示。圓板對(duì)過(guò)其中心的垂直軸的旋轉(zhuǎn)角速度為：圓板與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為與速度無(wú)關(guān).試計(jì)算在v-r時(shí)，圓板運(yùn)動(dòng)中受到的摩擦阻力大小解當(dāng)圓板運(yùn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心

16、(相對(duì)地面靜止的點(diǎn))為解圖4-15所示的E點(diǎn)，對(duì)此點(diǎn)有-d則：d，因?yàn)関J汀所以-r即d-rco過(guò)圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心做速度v的平行線AB，關(guān)于AB對(duì)稱，做出ACB的對(duì)稱線ACB，根據(jù)對(duì)稱性，則圓板ACBC部分所受的摩擦力總和為0(關(guān)于E點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的摩擦力之和為0)，故圓板所受摩擦力即為月牙形部分ADBC所受力的摩擦力。該部分關(guān)C解圖4-15B于ED對(duì)稱，在左右兩邊取對(duì)稱的兩小面兀，所受的受擦力分別為fi，fi將fi,fi分解，則他們的y方向分量fiy,fiy的合力為0,故圓板所受的摩擦力為設(shè)圓板單位面積的質(zhì)量為則2fix=2dsin二r二gsinv-2L：grdsin二vJIJI仃2JL2f-y

17、Fix-'2jgrdsinvr-f=2丄：rdg二osinrdr00f=22rdgg-£2conr=Jmg16. 水平木板上放有一質(zhì)量為m=0.2kg的砝碼.手持木板使木板和砝碼在豎直面內(nèi)沿半徑為R=0.5m的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng).速率為v=Im/s運(yùn)動(dòng)中木板始終保持水平，如圖4-35S所示。已知砝碼與木板在運(yùn)動(dòng)中始終保持相對(duì)靜止.計(jì)算砝碼在圖中A,B,C,D位置時(shí)（O點(diǎn)為圓心，OA為豎直線），砝碼對(duì)木板的支持力和摩擦力大小。解當(dāng)木板做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其向心加速度大小始終A圖4-352不變，a二十=2ms。在各點(diǎn)將加速度分解為水平和豎直兩個(gè)方向，在兩個(gè)方向上列方程：以B點(diǎn)為例：設(shè)支

18、持力為Nb，摩擦力為fB0ax=asin600ay=acos60Nb-mg=mayfmaxNB=22N可以解得：.f：235N（原答案有誤）同理可解得:NA=2.4Na=0NNd-1.ffD=031517假如沿地球的直徑打通一個(gè)洞，將一小物體由洞口自由釋放，則小物體在洞內(nèi)如何運(yùn)動(dòng)？若已知地球質(zhì)量M，半徑R.萬(wàn)有引力恒量G,則小物體由洞口進(jìn)入到達(dá)另一端所用時(shí)間為多少？解小球處在如圖所示位置，設(shè)距地心為以地心為圓心，以為x半徑做球,將地球分成A,B兩部分，則外部球殼A對(duì)m的作用力為0.B對(duì)m的引力就是地球?qū)π∏虻娜f(wàn)有引力Mx3B部分的質(zhì)量為詮B對(duì)m的引力為:GMLxR3可以看出F的大小與x成正比.

19、規(guī)定從地心到小球的方向?yàn)檎较?，考慮到F的方向與x的方向相反，上式可以寫成F二一GM3mx,所以小球的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng).RGMm將K代入簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期公式：T=2二R3可以得出：T=2:GMR3部分的引力即可:從一端進(jìn)入到另一端需要q°gmMmF°G(1.5R)2挖去小球的體積為占全部體積的1，故其質(zhì)量8為隊(duì)，對(duì)m的引力為:F1-G22R2(1.5R)2用余弦定理，可求出F-只FGMm1.52wS215°.4GMmR2,2.25"2622.2526、.1.5212R219.在地球赤道上空離地面的距離等于地球半徑的地方有一人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星沿地球自轉(zhuǎn)方向繞地

20、球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求赤道上的觀測(cè)站可連續(xù)觀測(cè)到該衛(wèi)星的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？解衛(wèi)星的自轉(zhuǎn)角速度為=m.2（2R）又GM二gR2可得：一爲(wèi)地球自轉(zhuǎn)的角速度°一243600可觀測(cè)的時(shí)間為t二2：1將，R=6.3106代入可得：t=5741s320.以第一宇宙速度垂直于地面向上發(fā)射一枚導(dǎo)彈,導(dǎo)彈在距發(fā)射點(diǎn)不遠(yuǎn)的地方落地.若地球半徑為R，表面重力加速度為g,求導(dǎo)彈在空中飛行的時(shí)間.解設(shè)出射速度為V1 2MmMm根據(jù)機(jī)械能守恒：mv-GG2 RR+h得出h二RE:0軌道為橢圓IbI解圖4-20b:0a：c=Rv=.gR、1面積速度vsvb211:亠2:亠2sab2baabRb2222_1_解圖4-2

21、0-2tS2Rb1vb=Vs2-22,g21.太陽(yáng)系內(nèi)有一彗星.其軌道為拋物線，太陽(yáng)在它的焦點(diǎn)上該拋物線軌道與地球公轉(zhuǎn)軌道（認(rèn)為是圓形）有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)恰是地球圓軌道的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，求彗星在地球軌道內(nèi)的運(yùn)行時(shí)間.（提示：拋物線x2=2py與解4-21P道:CO二且AO=p(即地球公轉(zhuǎn)半徑為p)2若彗星的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，則其動(dòng)能與勢(shì)能之和為0.則有:>2-GMr0解得:vc24GMP1則彗星的面積速度為r:tF彗星在地球軌道內(nèi)的時(shí)間為16p3vs9GM以地球?yàn)檠芯繉?duì)象列方程有:G啤二m霽pPTo整理得:T-4GMP3地球公轉(zhuǎn)周期即To為一年t22“3（年）To3:22宇宙飛船

22、繞一行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑為R,速率為v船長(zhǎng)想把圓形軌道改為過(guò)B點(diǎn)的橢圓軌道，B點(diǎn)距行星中心為3R,如圖4-37所示.若飛船在A點(diǎn)由圓形軌道改為橢圓軌道，它的A速率應(yīng)增加多少？飛船由A到B的時(shí)間是多少？(3)飛船由A到C,由C到B各需多長(zhǎng)時(shí)間？2解(1)飛船在圓形軌道上時(shí)：G-Ml=mv得出:RRv=GM變?yōu)闄E圓軌道后，設(shè)在A點(diǎn)速度為vi,在B點(diǎn)速度為V2滿足:11v1Rv23R22可以求得:1 2Mm12Mmmv.-Gmv2-G-2 R23R26v2速度應(yīng)增加w二丐-1）v（2）變?yōu)闄E圓軌道后，其周期等于半徑為2R的圓形軌道的周期（半長(zhǎng)軸相等，周期相等）則有：G獸二m4R22廠2RT2得出T=4、2在原圓2Mm4二廠時(shí)，G2m亍RR2To2_T-2時(shí)間之比等于飛船掃過(guò)的面積之比。設(shè)由A到C的時(shí)間為Ti,由C到B從A到B的時(shí)間t的時(shí)間為T2.橢圓的半短軸為.3RTSdca_SCOASCODSdcbScoBS_codr3r42"2R_：3r1R、3r427-1，亠1由得：T,(二-1),2rvvN根據(jù)面積定律和機(jī)械能守恒定律得：ViM解圖4-2323一行星繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng)，已知軌道半長(zhǎng)