運動學(xué)習(xí)題詳解-南昌一中

1、解圖4-1-1圓周運動和萬有引力習(xí)題詳解1. 如圖4-21所示，AC為豎直轉(zhuǎn)動軸，AB是長為L的細(xì)繩.BC為很輕的連桿，在C點由鉸鏈連接.在B點用另一長也是L的細(xì)繩掛一小球m,此時AB和BC與軸的夾角分別為60o和30o,當(dāng)軸AC勻速轉(zhuǎn)動時，懸掛小球的繩與豎直方向成30o角.求(1) 軸的轉(zhuǎn)動角速度；(2) AB繩和BC桿所受的力.解(1)對小球受力分析：如解圖4-1-1所示。對小球列方程：02mgtan30mL求得一2goY(3+V3)l(2)以桿的B點為研究對象，盡管B點有向心加度,但因其質(zhì)量為0,故B點合力為0.可以求得：Fab=mg,FBCfmg2. 如圖4-21所示，轉(zhuǎn)架的水平橫桿上

2、套一質(zhì)量為m1的制動件，它距轉(zhuǎn)軸中心的距離為R.在制動件下方系有長也是R的繩子.繩子的另一端栓一質(zhì)量為1m2的物體.m2=3m1，當(dāng)轉(zhuǎn)架以一定角速度轉(zhuǎn)動時.懸線和豎直線的夾角為30o求(1)此時轉(zhuǎn)架的角速度(2) 繩的張力大?。?3) 制動件與轉(zhuǎn)架橫桿間的靜摩擦因數(shù)至少是多m223R可以求得:二22g33R解(1)以m2為研究對象，受力分析，列方程:0m?gtan30(2)以m2為研究對象，受力分析，在豎直方向列方程:23Tcos30°=m2gTm2g(3)以mi為研究對象，受力分析如解圖m2示,列方程:N二m1gTcosf-Tsin30°呵，2R又f=可以求得:(原答案有

3、誤?)3.雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁演員騎摩托車從底部開始運動隨著速度增加圈子越兜越大，最后在直壁上勻速率行駛.如圖4-23所示.如果演員和摩托車運動的速率為v,直壁半徑為R,每繞一周上升的高度為h,走壁時的加速度大小.解螺旋運動可以分解為水平方向上的勻速圓周運動和豎直方向上的勻速直線運動.在豎直方向上無加速度，水平方向有向心加速度所以摩托車的加速度即為水平方向上圓周運動的向心加速度求摩托車h2二R解圖4-3將摩托車的速度v分解,其水平分量為W=vcos則摩托加的加速度為a二(vcos)又tanR2兀R由可得:a=4二2Rv24二2R2h2PO圖4-244.如圖4-24所示,0A為一

4、輕桿，和豎直軸0P成一定角度.桿上套有一質(zhì)量為m的小環(huán)，可沿桿無摩擦滑動.當(dāng)輕桿繞OP軸以角速度勻速旋轉(zhuǎn)時.環(huán)m在距O為L處相對靜止，求桿與OP軸的夾角.解以小環(huán)為研究對象，受力分析，列方程：mgcot二m2lsin2解方程可得（舍掉負(fù)解）:v-arccos9-Lg22L5.如圖4-25所示一細(xì)線穿過一光滑細(xì)管兩端分別拴有質(zhì)量為mi和m2的小球，mi<m2，mi到管口的距離（繩長）為L,管口半徑可忽略，管子不動.當(dāng)mi繞豎直管在水平面內(nèi)勻速圓周運動時,m2處于靜止，求（1）小球mi的速度大小.（2）小球mi的轉(zhuǎn)動周期.解管繩間無摩擦，繩的拉力大小等m2g,以mi為研究對0象，受力分析列方

5、程:v2F向一(m；-mg二-Lsin日其中si”（5）9可以解得：v二22m2一口.gLmim2圖4-24F角軍圖4-5.m(2)T二vr=Lsinv可以解得:設(shè)當(dāng)小球與豎直方向成r角時，人對地面的壓力最Trm：g6.如圖1-26所示，一人手持繩的一端（圖中O點），繩另一端栓一質(zhì)量為m的小球，使之在豎直面內(nèi)做圓周運動.繩長為L.小球在最高點時速度為V0.則在什么位置,人對地面的壓力為最?。坎0的取值進(jìn)行討論.解當(dāng)繩對人拉力的豎直向上的分量達(dá)到最大時,人對地面的壓力最小。mgLmv：二mgLcos：mv222小，則有:vTmgcosr二mOyL整理得：T=mv°2mg-3mgco

6、sv22VoT在豎直方向的分量為：Tcost-mV0co2mgco-3mgcos2當(dāng)曲46gL因小球可以越過最高點，所以v0-審，又因cos8<1，故:(1)1v2若gl_V:4gl，當(dāng)v-arccos（）時，人對地面的壓力最小。36gl(2)若v,4gT，cost-1時，即v-00，小球在最高點時人對地面的壓力最小。7.如圖4-27所示，一小環(huán)套在半徑為R的豎直大圓環(huán)上，小環(huán)與大圓環(huán)間的靜摩擦因數(shù)為"，當(dāng)大環(huán)以角速度繞過圓心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動時，若使兩環(huán)不相對滑動，則的取值有何要求？解對小環(huán)受力分析，列方程:N圖4-27OR徑向方向：mgcostN=m2R又丄N-mgsinv由

7、得：進(jìn)sinv1cos-（證明過程略）由得：-1廠二)48.輛汽車在水平面內(nèi)以速率v沿半徑為R的圓周（汽車重心到圓心距離為R）做勻速圓周運動汽車質(zhì)量為m,車輪與水平面間靜摩擦因數(shù)為X兩側(cè)車輪間距離為a，且a二R，重心離水平面高為h,則汽車運動中內(nèi)外側(cè)輪受到地面支持力各多大？討論汽車圓運動時的安全速度.解選汽車為參照物，受力分析，F(xiàn)慣為慣性力，左方為內(nèi)側(cè)，Ni是外輪受1到地面的支持力根據(jù)7F=0fM=0,以A點為2vF慣二mROF貫N24冷軸列方程:可以解得:*M+N2=GF慣h+N2a12,mvh-mg+2aR12,mvh-mg2aRg2NiN2“G解圖4-8當(dāng)汽車達(dá)到速度增大時，汽車內(nèi)輪對地

8、面壓力減小,當(dāng)壓力變?yōu)?時，汽mga22車達(dá)到最大安全速度。此時有：m±h二R整理得：vm=-gRa此時慣性力為2h(1)若叱mg，即J時,2h2hmga2h車輪不會相對地面滑動應(yīng)保證不翻車。即V-Rag。(2)若皎一叭，即r時，應(yīng)先確保車輪不能相對地面滑動,2h2mg_，即：v乞、JRg。9.一個很大的圓柱體.質(zhì)量為相同的物塊上，一個物塊固定不動,不太大的速度v向左勻速運動，如圖4-28所示。當(dāng)兩物塊相距為2R時，圓柱體對固定物塊的作用力大小為多少？不圖4-28m.半徑為R,放在兩個另一個物塊沿水平面以計摩擦，初始時刻兩物塊相距很近解當(dāng)物塊向外運動時，由于圓柱體和物塊之間無摩擦,圓

9、柱體和物塊的接2可知，接觸點相對圓心的速度為V,”v72V_2cos45_TV所以物塊相對圓心的向心加速度為2V2R2_V-R物塊相對圓心不但有向心加速度，還有切向加速度，但由于物塊和圓柱中心在水平方向都做勻速運動，物塊相對圓柱中心的合加速度一定在豎方向上如解圖4-9-2所示:可以求得2R設(shè)物塊對圓柱的支持力為N，則:mgJ2N二ma可以求得：N=#mg-牛錯誤辯析有些同學(xué)認(rèn)為，物塊對圓柱中心的加速G度只有向心加速度。這樣認(rèn)為是錯誤的，物體相對圓柱中心不但有向心加速度，而且還有切向加速度。要求物塊對圓柱中心的切向加速度可從對速度表達(dá)式求時間導(dǎo)數(shù)得到。也可以通過加速度的分解來求.10.半徑為R的

10、圓環(huán)上固定著一小球m.小球體積不計.圓環(huán)沿水平面勻速滾動只滾不滑），其圓心速度為v如圖4-29所示.當(dāng)小球處在圖示位置時.求小球受到圓環(huán)的作用力大小.解析當(dāng)圓環(huán)滾動時，小球相對圓心做勻速圓周運動，相對圓心向心加速度。圓心相對地面做勻速直線運動，圓心相對地面的加速度0。所以小球?qū)A心的向心加速度即為小球相對地面的加速度。解如解4-10-1所示，將小球相對地面的速度V1分解為相對圓心的速度V2和圓心相對地面的速度V.由圖示可知V2二V，則小球相對圓心的加速解軍圖4-10-2度為a訃，方向指向圓心。此加速度也是小球相對地面的加速度對小球受力分析，如4-10-2所示：Nx=F合cos30°0

11、Ny-mg=F合sin30（其中Nx為N的水平方向分量，Ny為N的豎直方向分量）N=,n2Nj與方程聯(lián)立，可以求得：半徑為I的圓.如解圖4-11所示AB兩點沿桿方向速度相等，即:vAsin：二vBcos：當(dāng)：=45°時,va=vb=v而P點是AB的中點，故有:171存A解圖4-11B2BP點的速度為2此時P點的向心加速度為寺叱而P點相對地面在水平方向上為勻速運動.因此P點加速度一定在豎直方向上.（P點還有切向加速度同第9題）可以求得P點的加速度為a二亙2L設(shè)桿對P點的作用力為F,則有：mgF二ma,可以求得：V2mv2F=mg-2L12. 如圖4-31所示，半徑為R的豎直光滑大環(huán)上套

12、一質(zhì)量為m的小球，小球連接在勁度系數(shù)為K的輕彈簧一端，彈簧另一端系在圓環(huán)最高點，彈簧原長恰為R;若將小球由彈簧原長處P點自由釋放，求小球到達(dá)圓環(huán)最低點時環(huán)對球的壓力大小。并討論K的取值對壓力方向的影響.圖4-31解析若彈簧勁度系數(shù)太大，小球不能到達(dá)到達(dá)最低點,應(yīng)首先確定小球到達(dá)最低點的條件小球到達(dá)最底端時,圓環(huán)對球的作用力可能向下，向上，也可能沒有解若小球恰能到達(dá)到達(dá)最低點.重力和彈簧彈力對小球作功:根據(jù)動能定理，有：3mgR-KR2二丄mv2_0可以求得：K3.222R這是小球能到達(dá)最低點須滿足的條件.設(shè)小球到達(dá)圓環(huán)最低點時圓環(huán)對小球支持力向上，大小為N.3mgR-丄KR2二丄mv2（最低點

13、的速率為v）222v2_NKRmg=mR由可得:N=4mg-2KR由可以看出：當(dāng)K=2盹時,無作用力.R當(dāng)K：亟時,N>0,作用力向上.R當(dāng)亟：:K乞沁時,N<0,作用力向下.RRK時，無法到達(dá)最低點.R13. 如圖4-32所示，兩個質(zhì)量均為m的小球串在質(zhì)量可忽略的光滑細(xì)桿上，用兩根完全相同的輕彈簧相連，兩彈簧勁度系數(shù)均為K，原長均為L。，左彈簧的左端固定于細(xì)桿的端點0,細(xì)桿繞0在水平面內(nèi)以角速度勻速轉(zhuǎn)動肘求(1)兩彈簧的長度之比:mm圖4-32(2)系統(tǒng)若穩(wěn)定地勻速轉(zhuǎn)動，則對，有何限制？解(1)設(shè)兩彈簧的形變量分別為X1,X2.分別以兩小球為研究對象，列方程：2解方程得:Kx2二

14、m(2L0x-ix?)2a-Kx2=m，(L0x1)m224K-3KmmL0(3K-m2)2224K-3Kmm-m2L0(2K-m2)則：_1L0+x2K_m豹當(dāng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時，0,x20即:3K-m2>0“K2_3Km2+m2時4>03K-m2vO«K2_3Km叮2+m占2K-m202K-m2:0故穩(wěn)定轉(zhuǎn)動是須滿足3-解方程可得0-32第二組方程無解。(原答案有誤?14. 用手握著一繩端在水平桌面上做半徑為r的勻速圓周運動.角速度為；圓心為0,繩長為L，質(zhì)量可忽略,繩的另一端系著一個質(zhì)量為m的小球，恰好也沿著一個以0點為圓心的大圓在桌面上運動，保持細(xì)繩與手所在的圓周始終相切

15、。小球和桌面間有摩擦，球的運動如圖4-33所r：0fm解圖4-14(2)小球與桌面間的滑動摩擦因數(shù)m解(1)小球運動的半徑為2L2向心力為F向二mr2L2由于小球的速率不變，所以手做的功與摩擦力做功大小相等。要求手對細(xì)繩的功率，只要求出摩擦力的功率即可。由于f=F向tana=moo2二Jr2+L2LP=f二Jmg可得:gL15. 個質(zhì)量均勻分布的薄圓板，質(zhì)量為m，半徑為r在水平桌面上運動，圓板中心的速度大小為v,方向保持不變，如圖4-34所示。圓板對過其中心的垂直軸的旋轉(zhuǎn)角速度為：圓板與水平桌面間的動摩擦因數(shù)為與速度無關(guān).試計算在v-r時，圓板運動中受到的摩擦阻力大小解當(dāng)圓板運動時，其轉(zhuǎn)動瞬心

16、(相對地面靜止的點)為解圖4-15所示的E點，對此點有-d則：d，因為vJ汀所以-r即d-rco過圓板的轉(zhuǎn)動瞬心做速度v的平行線AB，關(guān)于AB對稱，做出ACB的對稱線ACB，根據(jù)對稱性，則圓板ACBC部分所受的摩擦力總和為0(關(guān)于E點對稱的兩點的摩擦力之和為0)，故圓板所受摩擦力即為月牙形部分ADBC所受力的摩擦力。該部分關(guān)C解圖4-15B于ED對稱，在左右兩邊取對稱的兩小面兀，所受的受擦力分別為fi，fi將fi,fi分解，則他們的y方向分量fiy,fiy的合力為0,故圓板所受的摩擦力為設(shè)圓板單位面積的質(zhì)量為則2fix=2dsin二r二gsinv-2L：grdsin二vJIJI仃2JL2f-y

17、Fix-'2jgrdsinvr-f=2丄：rdg二osinrdr00f=22rdgg-£2conr=Jmg16. 水平木板上放有一質(zhì)量為m=0.2kg的砝碼.手持木板使木板和砝碼在豎直面內(nèi)沿半徑為R=0.5m的圓周做勻速圓周運動.速率為v=Im/s運動中木板始終保持水平，如圖4-35S所示。已知砝碼與木板在運動中始終保持相對靜止.計算砝碼在圖中A,B,C,D位置時（O點為圓心，OA為豎直線），砝碼對木板的支持力和摩擦力大小。解當(dāng)木板做圓周運動時，其向心加速度大小始終A圖4-352不變，a二十=2ms。在各點將加速度分解為水平和豎直兩個方向，在兩個方向上列方程：以B點為例：設(shè)支

18、持力為Nb，摩擦力為fB0ax=asin600ay=acos60Nb-mg=mayfmaxNB=22N可以解得：.f：235N（原答案有誤）同理可解得:NA=2.4Na=0NNd-1.ffD=031517假如沿地球的直徑打通一個洞，將一小物體由洞口自由釋放，則小物體在洞內(nèi)如何運動？若已知地球質(zhì)量M，半徑R.萬有引力恒量G,則小物體由洞口進(jìn)入到達(dá)另一端所用時間為多少？解小球處在如圖所示位置，設(shè)距地心為以地心為圓心，以為x半徑做球,將地球分成A,B兩部分，則外部球殼A對m的作用力為0.B對m的引力就是地球?qū)π∏虻娜f有引力Mx3B部分的質(zhì)量為詮B對m的引力為:GMLxR3可以看出F的大小與x成正比.

19、規(guī)定從地心到小球的方向為正方向，考慮到F的方向與x的方向相反，上式可以寫成F二一GM3mx,所以小球的運動為簡諧振動.RGMm將K代入簡諧振動周期公式：T=2二R3可以得出：T=2:GMR3部分的引力即可:從一端進(jìn)入到另一端需要q°gmMmF°G(1.5R)2挖去小球的體積為占全部體積的1，故其質(zhì)量8為隊，對m的引力為:F1-G22R2(1.5R)2用余弦定理，可求出F-只FGMm1.52wS215°.4GMmR2,2.25"2622.2526、.1.5212R219.在地球赤道上空離地面的距離等于地球半徑的地方有一人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星沿地球自轉(zhuǎn)方向繞地

20、球做勻速圓周運動，求赤道上的觀測站可連續(xù)觀測到該衛(wèi)星的最長時間為多少？解衛(wèi)星的自轉(zhuǎn)角速度為=m.2（2R）又GM二gR2可得：一爲(wèi)地球自轉(zhuǎn)的角速度°一243600可觀測的時間為t二2：1將，R=6.3106代入可得：t=5741s320.以第一宇宙速度垂直于地面向上發(fā)射一枚導(dǎo)彈,導(dǎo)彈在距發(fā)射點不遠(yuǎn)的地方落地.若地球半徑為R，表面重力加速度為g,求導(dǎo)彈在空中飛行的時間.解設(shè)出射速度為V1 2MmMm根據(jù)機(jī)械能守恒：mv-GG2 RR+h得出h二RE:0軌道為橢圓IbI解圖4-20b:0a：c=Rv=.gR、1面積速度vsvb211:亠2:亠2sab2baabRb2222_1_解圖4-2

21、0-2tS2Rb1vb=Vs2-22,g21.太陽系內(nèi)有一彗星.其軌道為拋物線，太陽在它的焦點上該拋物線軌道與地球公轉(zhuǎn)軌道（認(rèn)為是圓形）有兩個交點，這兩個交點恰是地球圓軌道的一條直徑的兩個端點，求彗星在地球軌道內(nèi)的運行時間.（提示：拋物線x2=2py與解4-21P道:CO二且AO=p(即地球公轉(zhuǎn)半徑為p)2若彗星的運動軌跡為拋物線，則其動能與勢能之和為0.則有:>2-GMr0解得:vc24GMP1則彗星的面積速度為r:tF彗星在地球軌道內(nèi)的時間為16p3vs9GM以地球為研究對象列方程有:G啤二m霽pPTo整理得:T-4GMP3地球公轉(zhuǎn)周期即To為一年t22“3（年）To3:22宇宙飛船

22、繞一行星做勻速圓周運動,軌道半徑為R,速率為v船長想把圓形軌道改為過B點的橢圓軌道，B點距行星中心為3R,如圖4-37所示.若飛船在A點由圓形軌道改為橢圓軌道，它的A速率應(yīng)增加多少？飛船由A到B的時間是多少？(3)飛船由A到C,由C到B各需多長時間？2解(1)飛船在圓形軌道上時：G-Ml=mv得出:RRv=GM變?yōu)闄E圓軌道后，設(shè)在A點速度為vi,在B點速度為V2滿足:11v1Rv23R22可以求得:1 2Mm12Mmmv.-Gmv2-G-2 R23R26v2速度應(yīng)增加w二丐-1）v（2）變?yōu)闄E圓軌道后，其周期等于半徑為2R的圓形軌道的周期（半長軸相等，周期相等）則有：G獸二m4R22廠2RT2得出T=4、2在原圓2Mm4二廠時，G2m亍RR2To2_T-2時間之比等于飛船掃過的面積之比。設(shè)由A到C的時間為Ti,由C到B從A到B的時間t的時間為T2.橢圓的半短軸為.3RTSdca_SCOASCODSdcbScoBS_codr3r42"2R_：3r1R、3r427-1，亠1由得：T,(二-1),2rvvN根據(jù)面積定律和機(jī)械能守恒定律得：ViM解圖4-2323一行星繞太陽做橢圓運動，已知軌道半長