二次函數(shù)2612

1、北京市大望路中學北京市大望路中學 丁博丁博26.1.2 26.1.2 二次函數(shù)的圖像和性質二次函數(shù)的圖像和性質二次函數(shù)的定義：二次函數(shù)的定義： 注意：注意：1 1、其中，、其中，x x是自變量，是自變量，axax2 2是二次項，是二次項，a a是是二次向系數(shù)二次向系數(shù) bxbx是一次項，是一次項，b b是一次項系數(shù)是一次項系數(shù) c c是常數(shù)項。是常數(shù)項。 一般地，形如一般地，形如 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a,b,ca,b,c是常數(shù)，是常數(shù)，a 0a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 2 2、函數(shù)的右邊最高次數(shù)為、函數(shù)的右邊最高次數(shù)為2 2, ,可以沒有一次項

2、和常數(shù)項可以沒有一次項和常數(shù)項, ,但不能沒有二次項但不能沒有二次項. .1 1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)2 2、當、當m m為何值時，函數(shù)為何值時，函數(shù)y y(m(m2)x2)xm m2 22 24x4x5 5是是x x的二次函數(shù)的二次函數(shù). .3 3、已知關于、已知關于x x的二次函數(shù)的二次函數(shù), , 當當x=x=1 1時時, ,函數(shù)值為函數(shù)值為10,10, 當當x=1x=1時時, , 函數(shù)值為函數(shù)值為4,4, 當

3、當x=2x=2時時, ,函數(shù)值為函數(shù)值為7,7, 求這個二次函數(shù)的解析試求這個二次函數(shù)的解析試. .噴泉(1)創(chuàng)設情境，導入新課 （2 2）你們知道：投籃時，）你們知道：投籃時，籃球運動的籃球運動的路線是什么曲線？路線是什么曲線？怎樣計算籃球達到怎樣計算籃球達到最高點時的高度？最高點時的高度？（1 1）你們喜歡打籃球嗎？你們喜歡打籃球嗎？問題：問題：26.1.2 二次函數(shù)的圖像和性質二次函數(shù)的圖像和性質下面我們將通過畫二次函數(shù)的圖象來下面我們將通過畫二次函數(shù)的圖象來探索二次函數(shù)的性質探索二次函數(shù)的性質-2-20 01 1-1-12 2x xy=xy=x2 2y=-xy=-x2 23 3-3-3

4、例例1. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=xy=x2 2的圖象：的圖象：1.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：與與 y=-xy=-x2 2的圖像：的圖像：y=xy=x2 2y=-xy=-x2 2二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c ( (a,b,ca,b,c是常數(shù)，是常數(shù)，a a0)0)圖象是一條拋物線圖象是一條拋物線函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2的圖像拋物的圖像拋物線開口向上；線開口向上；函數(shù)函數(shù)y=-xy=-x2 2的圖像拋的圖像拋物線開口向下。物線開口向下。函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)圖象拋物線開口向上；圖象拋物線開口

5、向上；函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)圖象拋物線開口向下。圖象拋物線開口向下。頂點坐標頂點坐標1X234567-2 -1-5 -4 -3-7 -68123-1465Y79-20yx2t x( ) = xxu x( ) = 2xx1.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：x xy=2xy=2x2 2-2-20 01 1-1-12 2y=xy=x2 2y= xy= x2 21 12 2頂點坐標頂點坐標例例2. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=xy=x2 2、y=2xy=2x2 2、y= xy= x2 2的圖象：的圖象：1 12 2y=xy=x2 2y=2x

6、y=2x2 2y= xy= x2 21 12 2f1x( ) = -2xxg1x( ) = -12xx1.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：x xy=-2xy=-2x2 2-2-20 01 1-1-12 2y=-xy=-x2 2y=- xy=- x2 21 12 2頂點坐標頂點坐標例例3. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=-xy=-x2 2、y=-2xy=-2x2 2、y=- xy=- x2 2的圖象：的圖象：1 12 2y=-xy=-x2 2y=-2xy=-2x2 2y=- xy=- x2 21 12 2y=xy=x2 2y=2xy=2x2 2y= xy= x2 21 12 2函

7、數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)中，中，|a|a|越大，拋物線開口越??；越大，拋物線開口越??；|a|a|越小，拋物線開口越大。越小，拋物線開口越大。f x( ) = xxf x( ) = xxf x( ) = xxx xy=xy=x2 2+2+2-2-20 01 1-1-12 2y=xy=x2 2頂點坐標頂點坐標y=xy=x2 2-2-21.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：例例4. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=xy=x2 2、y=xy=x2 2+2+2、y=xy=x2 2-2-2的圖象：的圖象：y=xy=x2 2+2+2y=xy=x2 2y=x

8、y=x2 2-2-21.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：例例5. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=- xy=- x2 2、y=- xy=- x2 2+3+3、y=- xy=- x2 2-3-3的圖象：的圖象：1 12 21 12 21 12 2x x-3-30 02 2-2-23 3頂點坐標頂點坐標y=- xy=- x2 2-3-31 12 2y=- xy=- x2 21 12 2y=- xy=- x2 2+3+31 12 2形如形如y=axy=ax2 2+n+n這樣的二次函數(shù)，這樣的二次函數(shù)，( (這與這與y=ax2+c不是一個意義，不是一個意義，n不是不是c)當當n n0 0

9、時，時，圖象是函數(shù)圖象是函數(shù)y=axy=ax2 2圖圖象向上平移象向上平移|n|n|個單位；個單位；當當n n0 0時，圖象是函數(shù)時，圖象是函數(shù)y=axy=ax2 2圖圖象向下平移象向下平移|n|n|個單位；個單位；y=- xy=- x2 2-3-31 12 2y=- xy=- x2 21 12 2y=- xy=- x2 2+3+31 12 2形如形如y=axy=ax2 2+n+n這樣的二次函數(shù)，這樣的二次函數(shù)，( (這與這與y=ax2+c不是一個意義，不是一個意義，n不是不是c)頂點坐標為（頂點坐標為（0 0，n n）f x( ) = xxf x( ) = xxf x( ) = xx1.1.

10、列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：例例6. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=xy=x2 2、y=(x+2)y=(x+2)2 2、y=(x-2)y=(x-2)2 2的圖象：的圖象：x xy=(x+2)y=(x+2)2 2-2-20 01 1-1-12 2y=xy=x2 2-4-44 4y=(x-2)y=(x-2)2 23 3-3-3y=(x+2)y=(x+2)2 2y=xy=x2 2y=(x-2)y=(x-2)2 21.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：例例7. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=-2xy=-2x2 2、y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2、y=-2(x-

11、1)y=-2(x-1)2 2的圖象：的圖象：x xy=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2-2-20 01 1-1-12 2y=-2xy=-2x2 2-4-44 4y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 23 3-3-3y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2y=-2xy=-2x2 2y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2這樣的二次這樣的二次函數(shù)，函數(shù)，當當m m0 0時，時，圖象是函數(shù)圖象是函數(shù)y=axy=ax2 2圖象向左平移圖象向左平移|m|m|個個單位；單位；當當m m0 0時，圖象是函數(shù)時，圖象是函數(shù)y=axy=ax2 2圖象向右

12、平移圖象向右平移|m|m|個個單位；單位；形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2這樣的二次函這樣的二次函數(shù)，數(shù)，頂點坐標為（頂點坐標為（-m-m，0 0）對稱軸為對稱軸為x=-mx=-m1.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：例例8. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點坐標頂點坐標x xy=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2y=xy=x2 2x x頂點坐標頂點坐標f x( ) = xxf x( ) = xxf x( ) = xxy=(x+3)y=(x+3)2 2y=xy=x2 2y=

13、(x+3)y=(x+3)2 2+2+2f x( ) = xx1.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：例例9. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點坐標頂點坐標x xy=(x+3)y=(x+3)2 2+2+2y=xy=x2 2x x頂點坐標頂點坐標f x( ) = xxf x( ) = xxy=xy=x2 2+2+2y=xy=x2 2y=(x+3)y=(x+3)2 2+2+21.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：例例10. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=-2(x-1)y=-2(x-1)

14、2 2+3+3的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點坐標頂點坐標x xy=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3y=-2xy=-2x2 2x x頂點坐標頂點坐標y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2y=-2xy=-2x2 2y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+31.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：例例11. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點坐標頂點坐標x xy=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3y=-2xy=-2x2 2x x頂點

15、坐標頂點坐標y=-2xy=-2x2 2+3+3y=-2xy=-2x2 2y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+3+3形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+n+n這樣的二次這樣的二次函數(shù)，函數(shù)，a a決定拋物線的開口和形狀決定拋物線的開口和形狀m m決定圖像上下平移決定圖像上下平移n n決定圖像左右平移決定圖像左右平移形如形如y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+n+n這樣的二次這樣的二次函數(shù)，函數(shù)，頂點坐標為（頂點坐標為（-m-m，n n）對稱軸為對稱軸為x=-mx=-m解析式解析式分情況討論分情況討論變換過程變換過程頂點坐標頂點坐標對稱軸對稱軸形如：形如：y=a(x+m)y

16、=a(x+m)2 2+n+n（a a、m m、n n都是常數(shù)，都是常數(shù)，a a0 0）m m0,n0,n0 0m m0,n0,n0 0m m0,n0,n0 0m m0,n0,n0 0由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移|m|m|個單位，個單位，向上平移向上平移|n|n|個單位。個單位。由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移|m|m|個單位，個單位，向下平移向下平移|n|n|個單位。個單位。由由y=axy=ax2 2向右平移向右平移|m|m|個單位，個單位，向上平移向上平移|n|n|個單位。個單位。由由y=axy=ax2 2向右平移向右平移|m|m|個單位，個單位，向下平移向下平移|n

17、|n|個單位。個單位。(-m,n(-m,n) )(-m,n(-m,n) )(-m,n(-m,n) )(-m,n(-m,n) )x=-mx=-mx=-mx=-mx=-mx=-mx=-mx=-m1.1.列表：列表：2.2.描點：描點：3.3.連線：連線：例例10. .畫出函數(shù)畫出函數(shù)y=2xy=2x2 2-12x+16-12x+16的圖象：的圖象：-2-20 01 1-1-12 2頂點坐標頂點坐標x xy=2(x-3)y=2(x-3)2 2-2-2y=2xy=2x2 2x x頂點坐標頂點坐標y=2(x-3)y=2(x-3)2 2-2-2y=2(x-3)y=2(x-3)2 2y=2xy=2x2 2y

18、=2(x-3)y=2(x-3)2 2-2-2y=2xy=2x2 2-12x+16-12x+16解析式變形解析式變形分情況討論分情況討論變換過程變換過程y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a a、b b、c c都是常數(shù)，都是常數(shù)，a a0 0）y=a(xy=a(x+ )+ )2 2+ +b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a解析式解析式0 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 00 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 00 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 00 0b b2a2a4ac-b4ac-b2 24a4a0 0由由y=axy=ax2 2向左平移向左平移| | |個單個單位，位，向上平移向上平移| | |個單位。個單位。4ac-b4ac-b2 24a4ab b2a2a由由y=axy=ax2 2向左