高等數(shù)學(xué)考研復(fù)習(xí)試題及答案

1、高等數(shù)學(xué)考研復(fù)習(xí)題及答案兩種積分次序?yàn)楹鸵?、填空題ax+a-x1設(shè)f(x)="J，則函數(shù)的圖形關(guān)于.對(duì)稱。Isinx一2<x<02.若y=1x2+10<x<2，則1x2sin3.極限limx=xT0sinxx2+ax+b4.已知lim=2，則a=xT2x2-x-2i5.已知xT0時(shí)，(1+ax2)3-1與cosx1是等價(jià)無窮小,則常數(shù)a二zQz6設(shè)x2+z2=y()，其中9可微，則=yQy7.設(shè)u=exyz2,其中z=z(x,y)由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則四=Qxk0,1)8設(shè)z=f(xy)+y申(x+y),f,申具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則xd2z=Q

2、xQy9.函數(shù)f(x,y)二xy-xy2-x2y的可能極值點(diǎn)為10.設(shè)f(x,y)=x2siny+(x2-1)1則f'y(1,0)=11.Jx2sin2xdx=12.在區(qū)間0,兀上曲線y=cosx,y=sinx之間所圍圖形的面積為f113.若JFe-kxdx=，則k=0214.設(shè)D：x2+y2<1，則由估值不等式得.<JJ(x2+4y2+1)dxdy<15.設(shè)D由y=x2,y=2x2,y=1,y=2圍成(x0)，貝UD,y)db在直角坐標(biāo)系下的則H16.設(shè)D為0<y<1-x,0<x<1,17.設(shè)級(jí)數(shù)£收斂，則常數(shù)p的最大取值圍是.n2

3、+pn=11x2x4x618Jx(1+)dx=01!2!3!dxdy19方程.+=0的通解為1一x21一y220. 微分方程4y"-20y'+25=0的通解為.21. 當(dāng)口=時(shí)，方程y'+p(x)y二q(x)yn為一階線性微分方程。22. 若4x4階矩陣A的行列式為丨AI二3,A*是A的伴隨矩陣，則IA*I二.(A0)23. 設(shè)A與B均可逆，則C=門“也可逆，且C-1=.nxnmxm(0B24. 設(shè)A=卩”，且AX-E=3X'則X=.23_2-12_25. 矩陣402的秩為.0-3326. 向量a=(1,0,3,5),卩=(4,2,0，1),其積為.27. n

4、階方陣A的列向量組線性無關(guān)的充要條件.28. 給定向量組a=G1l)a=(a0b),a=G32)，若a,a,a線性相關(guān),123123貝qa,b滿足關(guān)系式.29. 已知向量組(I)與由向量組(II)可相互線性表示，則r(I)與r(II)之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是.30向量Y=(2,1)t可以用a=(0,1)t與0=(1,3)t線性表示為.31. 方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB=b有無窮組解的條件.32. 設(shè)A為mXn矩陣，非齊次線性方程組Ax=b有唯一解的充要條件是r(A)r(A|b)=.33已知n元線性方程組AX=b有解，且r(A)<n，則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為,3

5、4. 設(shè)九°是方陣A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組(X0E-A)x=0的都是A的屬于九的特征向量.035. 若3階矩陣A的特征值為1,2,-3，則A-1的特征值為.36. 設(shè)A是n階方陣，|A|HO,A*為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣，若A有特征值九。，則C*)+2E必有特征值九=.37. a,卩分別為實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同特征值”,代所對(duì)應(yīng)的特征向量，則Q與卩的積(卩)38. 二次型f(x,x,x,x)=xx+xx的秩為.12341423廠420、39. 矩陣A=24九為正定矩陣，則九的取值圍是.0九1丿40. 二次型f(x,x,x)=2x2+3x2+tx2+2xx+2xx是正定

6、的，則t的取值圍是.123123121341. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為.42. 事件A、B相互獨(dú)立，且知P(A)=0.2,P(B)=0.5則P(AB)=.43. 若隨機(jī)事件A和B都不發(fā)生的概率為p,則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為.44. 在相同條件下，對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊，如果每次射擊命中率為0.6，那么擊中目標(biāo)k次的概率為(0<k<5).45. 設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且PX=1=PX=2,則PX=3)=.x0<x<146. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)=<a-x1<x<2，則a=.0其它47. 若二

7、維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為且X,Y相互獨(dú)立，則常數(shù)a=,b=48. 設(shè)X的分布密度為f(x)，則Y=X3的分布密度為49. 二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為50.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且XN(1,2),YN(0,1).令Z=-Y+2X+3，則D(Z)=.51.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)二1,E(X2)二4.令Y=2X-3,則D(Y)=.二、單項(xiàng)選擇題1. 設(shè)f(x)=x+1,則f(f(x)+1)=().AxBx+1Cx+2Dx+32. 下列函數(shù)中,()不是基本初等函數(shù).1 sinxA.y=(一)xb.y二Inx2c.y=ecosx3.下列各對(duì)函數(shù)中,()中的兩個(gè)函數(shù)相等.

8、xln(1-x)ln(1-x)a.y=與g=x2xB.y=lnx2與g=2lnxC.y=V1-sin2x與g=cosxD.y=Jx(x-1)與y=yxJ(x-1)4.設(shè)f(x)在x=x0處間斷，則有()(A) f(x)在x=x0處一定沒有意義；(B) f(x0)豐f(x+0)；(即limf(x)豐limf(x)；0xx兀陀(C) limf(x)不存在，或limf(x)=x；(D) 若f(x)在x=x0處有定義，則xTx0時(shí)，f(x)f(x0)不是無窮小'1-J1+2xcx05.函數(shù)f(x)=x'在x=0處連續(xù)，則k=().k,x=0A.-2B.-1C.1D.2exa6若f(x)

9、=,x=0為無窮間斷點(diǎn)，x=1為可去間斷點(diǎn)，則a=().x(x1)(A) 1(B)0(C)e(D)e-17函數(shù)z=ln(x2+y22)+4x2y2的定義域?yàn)?)ABDxy28.二重極限hm-x2+y4xtO丿ytO(A)等于0(B)等于1(0等于2(D)不存在9利用變量替換u=x,v=f，一定可以把方程xlx+y呈=z化為新的方程().(A) u=z(B)v一=z(C)u一=z(D)lulvlvlzv=zlu10. 若f(x)=f(x)，在(0,+8)f'(x)>0,f''(x)>0,則f(x)在(8,0)()(A) f'(x)<0,f'

10、;'(x)<0;(B)f'(x)<0,f''(x)>0;(C) f'(x)>0,f''(x)<0,(D)f'(x)>0,f''(x)>0,11. 設(shè)f(x)在x=0的某個(gè)鄰域連續(xù)，且f(0)=0，lim丄色一=1，則在點(diǎn)x=0處xt02sin22f(x)().(A)不可導(dǎo)(B)可導(dǎo)，且f'(0)豐0(C)取得極大值(D)取得極小值12. 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f'(x)g(x)f(x)g'(x)<0，則當(dāng)a<x&l

11、t;b時(shí)，有().(A) f(x)g(b)>f(b)g(x)(B)f(x)g(a)>f(a)g(x)(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)13.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且F(x)=J心/(t)dt,則F'(x)=().x(A)-e-xf(e-x)f(x)(B) -e-xf(e-x)+f(x)C)e-xf(e-x)-f(x)(D) e一xf(e一x)+f(x)14.設(shè)f(x)在1,2上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1,f=1f(x)dx=-1,1則Jxf'(x)dx=().1(A)2(B)1(C)-1(D)-215.設(shè)f

12、(x)在L,b上二階可導(dǎo)，且f(x)>0,f'(x)<0,f"(x)<0記S1=Jbf(皿S2=f(b)(b-a)，S3=(b-幾a則有().A)S<S<S(B)123S<S<S(C)S<S<S(D)231312S<S<S132在x=1處收斂.則此級(jí)數(shù)在x=2處().16. 設(shè)冪級(jí)數(shù)另a(x1)nnn=1(A)絕對(duì)收斂(C) 發(fā)散17. 下列命題中,正確的是(B) 條件收斂(D) 收斂性不能確定).若級(jí)數(shù)藝u與無vnnn=1n=1<藝vnn=1的一般項(xiàng)有u<v(n=1,2),則有藝unnnn=1B)

13、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)另un=1滿足仝卄>1(n=1,2,),則蘭u發(fā)散unnn=1C)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)另un=1收斂，則lim士卄<1nTgunD)若冪級(jí)數(shù)另axnnn=1的收斂半徑為R(0<R<+8),則limnTganan+118.設(shè)級(jí)數(shù)另(-1)na2n收斂，則級(jí)數(shù)另a().nnn=1(D)斂散性不確定n=1(A)絕對(duì)收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散19微分方程(x+y)dx-dy)=dx+dy的通解是(A)x+y+ln(x+y)=c;(B) x-y+ln(x+y)=c;(C)x+y-ln(x+y)=c;(D)x-y-ln(x+y)c.20.設(shè)y二f(X)滿足微分方程y"5

14、y'+5y二0，若fGJv0,廣()=0，則函數(shù)fC)在點(diǎn)x(0取極大值附近單調(diào)增加；21.函數(shù)y二y(x)在點(diǎn)x處的增量滿足A)C)B)D)取極小值；附近單調(diào)減少.勺=r+xi+o(Ax)念-0)且y(0)=兀，則yG)=(D)(A)2兀；(B)兀；(C)若含有s個(gè)向量的向量組線性相關(guān)，r=s(B)r>s(C)r=s+122.(A)e4；且該向量組的秩為r,則必有(D)r<s(D)兀e4.).23.已知向量組a1=(1,1,1,0),a2=(0,k,0,1),a3=(2,2,0,1),a4=(0,0,2,1)線性相關(guān),則k=()(A)-124(A)(B)(C)(D)(B)

15、-2(C)0,a線性相關(guān)的充分必要條件是(s中含有零向量(D)1向量組a,a,1a,a,12a,a,12a,a,12.a,a,12.25.對(duì)于向量組.(a,a,a),，因?yàn)?a+0a+0a=0，所以a,a,a是.-2r12,a中有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例s<,a中每一個(gè)向量都可由其余s-1個(gè)向量線性表示s,a中至少有一個(gè)向量可由其余s-1個(gè)向量線性表示s26.(A)27(A(C設(shè)A,)全為零向量；)線性無關(guān)；B均為n階矩陣，且AB=O,則必有(C)b的()線性相關(guān);)任意.28A=O或B=O(B)|A|=0或|B|=0若非齊次線性方程組AX=mnA.秩(A)=n()A+B=O(D)|A|

16、+|B|=0)，那么該方程組無解.秩(A)=mBC.秩(A)豐秩(A)D.秩(A)=秩(A)若線性方程組的增廣矩陣為A=多解。A.1B.4，則當(dāng)九=(C.2D)時(shí)線性方程組有無窮29.設(shè)入=2是非奇異矩陣A的特征值，則斗A2)-1有一個(gè)特征值是4(A)330若二次型f(X,x2,x3)=(k+1)x2+(k-2)x|+(k-3)x2正定則(A)k>-1(C)34(D)B)k>1(231.已知a=(1,k,1)T是矩陣A=1I1(B)-1或-2(C)k>21D)1的特征向量，則k=(2J(C)1或-2(A)1或232.在隨機(jī)事件A,B,C中，A和B兩事件至少有一個(gè)發(fā)生而C事件不

17、發(fā)生的隨機(jī)事件可表(D)-1或2n=1示為(A)ACBC(B)ABC(C)ABCABCABC(d)ABC33.袋中有5個(gè)丿黑球，3個(gè)白球，大小相同,一次隨機(jī)地摸出4個(gè)球，其中恰有3個(gè)白球的概率為(34.35.36.3(A)8B)設(shè)A、B互為對(duì)立事件,(A)P(BIA)=0(3)(c)C418J5(D)C48且P(A)>0,P(B)>0,則下列各式中錯(cuò)誤的是(B)P(AIB)=0(C)P(AB)=0(D)P(AB)=1離散型隨機(jī)變量X的分布列為PX=k=ak,k=1,2,3,4.則a=()A)0.05(B)0.1(C)0.2(D)0.25設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=a+丄arc

18、tanx(g<x<©a為常數(shù))則兀11631(C)22(d)337.設(shè)隨機(jī)變量X服從N(卩,4)，則PX<2+卩,的值(A)隨卩增大而減小;(B) 隨卩增大而增大;(C) 隨卩增大而不變;(D) 隨卩減少而增大.38.設(shè)隨機(jī)變量XN(PQ2)，則Y=aX+b服從()(A)N(卩Q2)(B)N(0,1)(C)N,(：)2(D)N(ap+b,a2Q2)Vab丿39.對(duì)目標(biāo)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊，每次射擊的命中率相同，如果擊中次數(shù)的方差為0.72，則每次射擊的命中率等于()(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.41|Ixl<a40.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)

19、=a2-x2,a>0，則E(X)=().0Ixl>a(A)-1(B)0(C)1(D)以上結(jié)論均不正確三、解答題a+x2x<01.設(shè)f(x)=1x=0,已知f(x)在x=0處連續(xù)可導(dǎo),ln(b+x2)x>0試確立a,b并求f'(x)2.設(shè)z=f(2x-y,ysinx),其中f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.oxoyxy小3設(shè)“、,x2+y2豐0討論f(x,y)在(0,0)f(x,y)=p'x2+y20,x2+y2=0(1) 偏導(dǎo)數(shù)是否存在。(2) .是否可微。4在過點(diǎn)P(l,3,6)的所有平面中，求一平面，使之與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面體的體積最小.52xc

20、os2xdx06.UIx2+y2-4Ide，其中D為圓域x2+y2<9o7.設(shè)f(x,y)在x2+y2<1上連續(xù)，求證：limJJf(x,y)da=nf(0,0)。R2Rx2+y2<R2證明D=(x,y)|x2+y2<R28求冪級(jí)數(shù)蘭(-1)"T(x-4)n收斂區(qū)間及和函數(shù)S(x):,1+y29. 求解y=,y=0;xy+x3yy兀10. 求解xy+xtan-y=0,y=.x211.求解4y"+4y'+y=0滿足y（0）=2,y'（0）=0.12. 求解y"-3y'+2y二2ex滿足yG）=1,y'G）=-1

21、；13. 設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y"+ay'+Py二丫ex的一個(gè)特解為y二e2x+（1+xh,試確定a,卩,Y,并求該方程的通解.cosa-sina14.計(jì)算下列行列式sinacosa2 1413 -121123215.計(jì)算下列行列式50621 11abc=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)10,求x.1>a1b1-67已知矩陣-=a00b263'1017.設(shè)AX+E=A2+X，且A=02<1018.求常數(shù)a，b.19.將向量0表示成a1'a2。3的線性組合：a=(1,1,-1),a=(1,2,1),a=(0,0,1),0=(1,0,-

22、2)(1)12320. 問九,卩取何值時(shí)，齊次方程組九x+x+x=0123<x+yx+x=0123x+2yx+x=0123有非零解？21. 設(shè)線性方程組2 x-x+x=1123<x2x+x=1123x3x+2x=c123試問c為何值時(shí)，方程組有解？若方程組有解時(shí)，求一般解。22. 求一個(gè)正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：/八f=2x2+3x2+3x2+4xx(1)1232323某工人看管甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)器，在1小時(shí)，這3臺(tái)機(jī)器不需照管的概率分別為0.80.9，0.6，設(shè)這三臺(tái)機(jī)器是否需照管是相互獨(dú)立的，求在1小時(shí)(1)有機(jī)床需要工人照管的概率；(2)機(jī)床因無人照管而停工的概率.A24設(shè)

23、隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)=(g<x<+s)1 +x2求常數(shù)A；(2)X的分布函數(shù)；.25.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域0<x<1,y2<x服從均勻分布.求(1)(X,Y)的聯(lián)合分布密度;(2)X與Y的邊緣分布密度，并問它們是否相互獨(dú)立?26設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為ey,y>00,y<0|1,0<x<1fx(x)=0,其它求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度函數(shù).27一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X(以年計(jì))服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為f(x)=<0<xx<0為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年

24、損壞可以調(diào)換，若售出一臺(tái)設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元.求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.28.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從正態(tài)分布，且X和Y分別服從正態(tài)分布N(1,32)1 XY和N(0,42)，x與Y的相關(guān)系數(shù)P=-只,Z=+，求Z的數(shù)學(xué)期望E(Z)和方差XY232D(Z)；參考答案一、填空題1設(shè)f(x)=ax+a-x2，則函數(shù)的圖形關(guān)于.對(duì)稱。解：f(x)的定義域?yàn)?也+)，且有f(-x)=a-+a-(-)a-+axax+a-2=f(x)即f(x)是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于y軸對(duì)稱。|sinx一2<x<02若y=L2+10<x<2，則x23.極限limxt

25、O1smxsmx1x2smii解：lim=lim(xsin)=limxsin-lim=0x1=0xtosinxxtoxsinxxoxxosinx注意：limxsin-=0(無窮小量乘以有界變量等于無窮小量)xtoxlimx=lim-xosinxxtosinxlimsinx1xxt0x1sinx=1=1，其中l(wèi)im=i是第一個(gè)重要極限。1xt0xx2+ax+b4.已知lim=2，則a二xt2x2-x-2由所給極限存在知，4+2a+b=0得b二-2a-4又由x2+ax+bx+a+2a+4lim=lim=2,知a二2,b=-8xt2x2-x-2xt2x+1315.已知xT0時(shí)，(1+ax2)3-1與

26、cosx-1是等價(jià)無窮小，則常數(shù)a=.2ax2一2a=1,.a一3321+ax221解.lim=limxt0cosx-1xt0-x2zdz6.設(shè)x2+z2=y9()，其中9可微，則7-二y°y解2z=9+y9-dy竺-y-z-1dyy2z口9-一0dz=ydy2z一97.設(shè)u二exyz2,其中z=z(x,y)由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則duIdxL0,1)解=exyz2+2zexy-dxdx10°zdz01+0+yz+xy=0，dxdxdz-1yzdx1+xydu1-yz=exyz2+2zex-ydx1xyx=0,y=1時(shí)，z=1dzdx=1(0,1)1d2z8

27、-設(shè)z=xf(xy)+y9(x+y)，f'9具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則話=解:dz=dxd2z1yf(xy)+f'(xy)+y9'(x+y)x2x11=f'(xy)+f'(xy)+yf''(xy)+9'(x+y)+y9”(x+y)dxdyxx=yf''(xy)9''(xy)9'(xy)9.函數(shù)f(x,y)二xy-xy2-x2y的可能極值點(diǎn)為f=yy22xy=y(12xy)=0xf=x2xyx2=x(1x2y)=0yfxx=-2y，fxy=1-2y-2x，fyy=-2x-2yJ2y2x1x=31y=

28、3/01'-2-1、(0,0)H=不是，(0,1)H=10丿-10丿(1,0)/H=0-1不是-1-2丿(1,1)H='-2/3-1/3、負(fù)定，極大值331/3-2/3丿不是(1,1)3310.設(shè)f(x,y)=x2siny+(x2-1)1則f'y(1,0)二解：因?yàn)閒(1,y)=siny,故廣(1,0)yy=011.Jx2sin2xdx=解：原式=Jx2d(-2cos2x)=-2x2cos2x+Lcos2xdx11111=-x2cos2x+Jxd(sin2x)=-x2cos2x+xsin2x-Jsin2xdx2 2222=-x2cos2x+xsin2x+cos2x+C2

29、 2412.在區(qū)間0,兀上曲線y=cosx,y=sinx之間所圍圖形的面積為解：A=cosx-sinx|dx=J4(cosx-sinx)dx+0JK(sinx-cosx)dx4=(sinx+cosx)4+(-cosx-sinx)=p'2-1+1+J2=2j2.0413.若J+®e-kxdx=，則k=02答案：/=J*®e-kxdx=lim-1Jbe-kxd(-kx)20bT+8k01b111=lim-ekxb=-limekb=,kck,kkbT+8e0ebT+8ee/.k=214.設(shè)D：x2+y2<1，則由估值不等式得<JJ(x2+4y2+1)dxdy&

30、lt;解f(x,y)=x2+4y2+1<4(x2+y2)+1，又D:x2+y2<1nmaxf(x,y)=4x1+1=5，minf(x,y)=1(x,y)gD(x,y)gD由mQ<JJf(x,y)dc<MQ，g=冗1=冗DDJJf(x,y)db在直角坐標(biāo)系下的兀<I<5兀15.設(shè)D由y=x2,y=2x2,y=1,y=2圍成(x>0)，則兩種積分次序?yàn)榻釪：(X型)=D1+D2I=J11dxJ2x2f(x,y)dy+f(x,y)dy11x2D:(Y型)<1<y<21十ym(x'y)dxv216.設(shè)D為0<y<1-x,0

31、<x<1，則Hf+y2的極坐標(biāo)形式的二次積分為解：D：<0<9<-210<r<sin0+cos0，I=J2d0Jsin0+cos0f(r)rdr0017設(shè)級(jí)數(shù)藝丄收斂，則常數(shù)p的最大取值圍是.n2+pn=1解：由P級(jí)數(shù)的斂散性知，僅當(dāng)2+p>1即p>-1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，其他情形均發(fā)n2+pn=1散.18J1x(1-乂+蘭-蘭+)dx=01!2!3!x2x4x6因?yàn)?-IT+習(xí)-IT+=e-x，所以原積分xe-x2dx=-lJe-x2d(-x2)=-匕-x21220o=-2(e-1-D19.dxdy方程.1x2+.=0的通解為arcsinx+a

32、rcsiny=c;v1-y2微分方程4y"20y'+25=0的通解為y=C+cx11221.當(dāng)n=時(shí)，方程y'+P(x)y二q(x)yn為一階線性微分方程。解n=0或1.2022.若4x4階矩陣A的行列式為IA1=3,A*是A的伴隨矩陣，則IA*1=答案：27(A0)23.設(shè)A與B均可逆，則C=也可逆，且C-1=nxnmxmI0B答案：24.設(shè)AJ3123，且AXE=3X，則X二答案：1021225. 矩陣402的秩為.033解答：將矩陣化成階梯形，可知填寫：2。26. 向量a=(1,0,3,5),卩=(4,2,0，1),其積為.答案：927. n階方陣A的列向量組線

33、性無關(guān)的充要條件.答案：r=n,或|A|MO；28. 給定向量組a=61l)a=(a0b),a=G32)，若a,a,a線性相關(guān),123123貝qa,b滿足關(guān)系式.答案：a-2b=029. 已知向量組(I)與由向量組(II)可相互線性表示，則r(I)與r(II)之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是.答案：相等；30向量Y=(2,1)t可以用a=(0,1)t與0=(1,3)t線性表示為.答案：Y=5a+2卩；31. 方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB=b有無窮組解的條件.答案：必要不充分；32. 設(shè)A為mXn矩陣，非齊次線性方程組Ax=b有唯一解的充要條件是r(A)r(A|b)=.答案：r(A)二r(A

34、b)二n；33已知n元線性方程組AX=b有解，且r(A)<n，則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為解答：n-r(A)34. 設(shè)九°是方陣A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組(X0E-A)x二0的都是A的屬于九的特征向量.0答案：非零解;35. 若3階矩陣A的特征值為1,2,-3，則A-1的特征值為.答案：11_丄；2336. 設(shè)A是n階方陣，|A|HO,A*為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣，若A有特征值九。，則C1*)+2E必有特征值九=.|A|答案：()3+2.X037. a,卩分別為實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同特征值”,代所對(duì)應(yīng)的特征向量，則Q與卩的積(卩)答案：038. 二次型f

35、(x,x,x,x)=xx+xx的秩為.12341423答案：4.廠420、39. 矩陣A=24九為正定矩陣，則九的取值圍是.10九1丿答案：-運(yùn)40. 二次型f(x,x,x)=2x2+3x2+tx2+2xx+2xx是正定的，則t的取值圍是.12312312133答案：t>541. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為42. 事件A、B相互獨(dú)立，且知P(A)=0.2,P(B)=0.5則P(AB)=.解：TA、B相互獨(dú)立，.P(AB)二P(A)P(B)UP(AUB)二P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.5-0.1=0.643. 若隨機(jī)事件A和B都不發(fā)生的概率為

36、p,則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為解：P(A+B)=1-P(A+B)=1-P(AB)=1-p44. 在相同條件下，對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊，如果每次射擊命中率為0.6，那么擊中目標(biāo)k次的概率為(0<k<5).解：設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，其分布律為：45.設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且PX=l=PX=2,則PX=3=解：X服從泊松分布，其分布律為PX=k=e一九九kk!k=0,1,2，九>0)e一九九1e一九九2宀由已知得：飛=2T，求得九=2PX=3=e一2233!4e-246.x設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)=<a-x00<x<11<

37、;x<2，則a=其它解：由性質(zhì)卜f(x)dx=1即J00dx+J*1xdx+f2(a一x)dx+f+80dx128(、x2x211+ax一202丿01=+2a2a+=a1=122解得：a=2解：X，Y相互獨(dú)立P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)即：116+1616人+a1616Wp二1ijij13+-1616+a+b1648.設(shè)X的分布密度為f(x)，則Y二X3的分布密度為解：PYWy=P(X3Wy)=P(XW岱)=FJ3汀)Y=X3的分布密度為，1_219(y)=F(3y)二y_3/(y3),yoxw3則*與卩應(yīng)滿足的條件是，當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，*=.解XZP=1二*+卩+0

38、.2+0.3=1即有*+卩=0.5ijlj當(dāng)X,Y相互獨(dú)立.P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)a=(a+0.2)(a+卩)；.a=0.250. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且XN(1,2),YN(0,1).令Z=-Y+2X+3,則D(Z)=.解/X與Y相互獨(dú)立，D(Z)=D(-Y+2X+3)=D(-Y)+D(2X+3)=(-l)2D(Y)+4D(X)=1+4X2=9o51. 已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)二1,E(X2)二4.令Y=2X-3，則D(Y)=.解D(Y)=D(2X-3)=4D(X)=4E(X2)-E(X)2=4(4-12)=12。二、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)f(x)=x+1,則

39、f(f(x)+1)=().AxBx+1Cx+2Dx+3解由于f(x)=x+1，得f(f(x)+1)=(f(x)+1)+1=f(x)+2將f(x)=x+1代入，得f(f(x)+1)=(x+1)+2=x+3正確答案：D2下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù)1sinx1A.y=(一)xB.y二Inx2c.y=D.y=3x5ecosx解因?yàn)閥二Inx2是由y=Inu,u=x2復(fù)合組成的，所以它不是基本初等函數(shù).正確答案：B3. 下列各對(duì)函數(shù)中，()中的兩個(gè)函數(shù)相等.xln(1-x)ln(1-x)、A.y=與g=B.y二Inx2與g=2lnxx2xC.y二1sin2x與g=cosxD.y=Jx(x-1)與y

40、=xj(x-1)解：A4. 設(shè)f(x)在x=x0處間斷，則有()(A)f(x)在x=x0處一定沒有意義;(B)(C)f(x00)豐f(x+0)；(即limf(x)豐limf(x)；xTx0-xTx0+limf(x)不存在，或limf(x)=g；xTx0XTx0(D)若f(x)在x=x0處有定義,則xTx0時(shí)，f(x)-f(x)不是無窮小答案：D5.函數(shù)f(x)=<k,x豐0亠在xx=00處連續(xù)，則k=().A.-2答案：BB.-1C.1D.26.若f(x)x(x一1)x=0為無窮間斷點(diǎn)，x=1為可去間斷點(diǎn)，).A)1B)0C)eD)e-1解：由于x=0為無窮間斷點(diǎn)，所以(ex一a)豐0,

41、故a主1.若a=0,則x=1也是無窮x=0間斷點(diǎn).由x=1為可去間斷點(diǎn)得a=e故選(C).7函數(shù)z=ln(x2+y2一2)+、.；4-x2-y2的定義域?yàn)?)ABCD解：z的定義域?yàn)?8.二重極限limxy2()xT0x2+y4yt0(c)等于2(A)等于0(B)等于1(D)不存在D)解:limxy2=-與k相關(guān)，因此該極限不存在x=ky2x2+y4y01+k2x2+y2-2>04-x2-y2>0n2<x2+y2<4選D9.利用變量替換u=x,v=，一定可以把方程x|Z+y$=z化為新的方程xexdy()(A)u=z(B)v=z(C)u=z(D)euevevezv=ze

42、u解Z是x,y的函數(shù)，從u=x，v=-可得x=u，y=uv，故z是u,v的函數(shù)，又u=x，xv=-故Z是x,y的復(fù)合函數(shù),xexez、ez-yezez-1+-，=euevx2eyeuo+生丄evx，從而左邊=ez+y=xezeu2生xev+丄生=x生=u翌xeveueu19微分方程(x+y)dx-dy)=dx+dy的通解是()因此方程變?yōu)椋簎竺=zeu選A10.若f(x)=-f(-x)，在(0,+Qf'(x)>0,f''(x)>0,則f(x)在(©0)().(A)f'(x)<0,f''(x)<0;(B) f

43、9;(x)<0,f''(x)>0;解：選(C).11. 設(shè)f(X)在x=0的某個(gè)鄰域連續(xù)，且f(0)=0,limX)=1，則在點(diǎn)x=0處xt02sin2X2f(x)().(A)不可導(dǎo)(B)可導(dǎo)，且f'(0)豐0(C)取得極大值(D)取得極小值解：因?yàn)閘imf(X)=1,則f(x)>0=f(0)在x=0的鄰域成立，所以f(0)為f(x)的xt02sin22極小值.故選(D).12. 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，則當(dāng)a<x<b時(shí)，有().(A)f(x)g(b)&

44、gt;f(b)g(x)(B)f(x)g(a)>f(a)g(x)(C) f(x)g(x)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)解：考慮輔助函數(shù)F(x)=眾,則F'(x)=廣(x)g(x:fx)g'(x)<0,g(x)g2(x)貝UF(x)嚴(yán)格單調(diào)減少函數(shù).當(dāng)x<b時(shí)，凹>型，g(x)g(b)即有f(x)g(b)>g(x)f(b)應(yīng)選(A).13.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且F(x)=Je-xf(t)dt,則F'(x)=().x(A)e-xf(e-x)f(x)(B)e-xf(e-x)+f(x)(C) e-xf(e-x

45、)-f(x)(D)e-xf(e-x)+f(x)解：由積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得F'(x)=-e-xf(e-x)-f(x)，故選(A).14.設(shè)f(x)在1,2上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f=1,f=1Jf(x)dx=T，1貝汀xf'(x)dx=().1(A)2(B)1(C)-1(D)-2解：因?yàn)镴2xf'(x)dx=J2xdf(x)=xf(x)|2-J2f(x)dx=2ff(1)-J2f(x)dxii1ii=21(-1)=2，故應(yīng)選(A)15.設(shè)f(x)在L,b上二階可導(dǎo)，且f(x)>0,f'(x)<0,f"(x)<0記S1=Jbf(x)dxS2=

46、f(b)(b-a人aS3=f(a)f(b)(b-a),則有().(A)S<S<S(B)S<S<S123231解：依題意,函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)減少(C)S<S<S(D)312,且其圖形是向上凸的曲線32依據(jù)幾何圖形可得S<S<S,故選(B).23116. 設(shè)冪級(jí)數(shù)另a(x1)nn=1(A)絕對(duì)收斂(C)發(fā)散解：選(A).17. 下列命題中,正確的是在x=1處收斂.則此級(jí)數(shù)在x=2處(B)條件收斂(D)收斂性不能確定).).B)C)D)若級(jí)數(shù)藝u與無vnnn=1n=1若正項(xiàng)級(jí)數(shù)另un=1若正項(xiàng)級(jí)數(shù)另un=1的一般項(xiàng)有u<v(n=1,2),則有藝un

47、nnn=1滿足仝卄>1(n=1,2,),則蘭u發(fā)散unnn=1收斂，則lim仔心<1nfgun若冪級(jí)數(shù)另axn的收斂半徑為R(0<R<+g),nn=1則limnfganan+1<藝vnn=1u解：由'1(n=1,2,)有u>u>0(n=1,2,)，un1n故選(B).因此limunnfg豐0，從而另u發(fā)散.nn=118設(shè)級(jí)數(shù)另(1)na2n收斂，則級(jí)數(shù)另a().nnn=1n=1(D)斂散性不確定(B)條件收斂(A)絕對(duì)收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散解：因?yàn)樗?1)na2n收斂，即冪級(jí)數(shù)藝axn在x=2處收斂，由Able定理知，冪級(jí)數(shù)nnn=1n=

48、1在x=1處絕對(duì)收斂，亦即另a絕對(duì)收斂.故選(A).nn=1(A)x+y+ln(x+y)=c；B)x-y+ln(x+y)=c;(C)x+y-+y)=c;D)x-y-ln(x+y)c.解：D20. 設(shè)y二f(x)滿足微分方程y"-5y'+5y二0，若f60)<0,ff(x)=0，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0()(B)取極小值;(D)附近單調(diào)減少.(A)取極大值;(C) 附近單調(diào)增加；解：B21. 函數(shù)y二y(x)在點(diǎn)x處的增量滿足Ay=且y6)=兀，則yG)=(D)a(A)2兀；(B)兀；(C)e4；aD)ae4.y1+x2y=Cearctanx，C=aa=ae4，故選(D)。

49、22. 若含有s個(gè)向量的向量組線性相關(guān)，且該向量組的秩為r，則必有().(A)r=s(B)r>s(C)r=s+1(D)r<s答案：D;23.已知向量組d1=(1,1,1,0),d2=(0,k,0,1),d3=(2,2,0,1),d4=(0,0,2,1)線性相關(guān),則k=()(A)-1答案：(C)(B)-2(C)0(D)124向量組d,d,12(A)d,d,d12s(B)d,d,d12s,(C)d,d,d12.s(D)d,d,d12.s答案：(D),d線性相關(guān)的充分必要條件是(s中含有零向量中有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例中每一個(gè)向量都可由其余s-1個(gè)向量線性表示中至少有一個(gè)向量可由其余s

50、-1個(gè)向量線性表示,a),，因?yàn)?a+0a+0a=0，所以a,a,r12r12,a是r.(A)全為零向量;(B)線性相關(guān)；(C)線性無關(guān)；(D)任意.答案：D；26.設(shè)A,B均為n階矩陣，且AB=O,則必有()25對(duì)于向量組.叫a2,(A)A=0或B=O(B)|A|=O或|B|=0(C)A+B=O(D)|A|+|B|=0答案：B27若非齊次線性方程組AX=b的()，那么該方程組無解.mXnA.秩(A)=nB.秩(A)=mC.秩(A)豐秩(A)D.秩(A)=秩(A)解根據(jù)非齊次線性方程組解的判別定理，得AX=b無解o秩(A)豐秩(A)mXn正確答案：C-(1九2)28若線性方程組的增廣矩陣為A=

51、宀1,，則當(dāng)九=()時(shí)線性方程組有無窮(214丿多解。1A.lB.4C.2D.乂2解將增廣矩陣化為階梯形矩陣，(1九2、(1尢2A=<21幻f1-2尢0?此線性方程組未知量的個(gè)數(shù)是2，若它有無窮多解，則其增廣矩陣的秩應(yīng)小于2，即12尢=0，從而九=2，即正確的選項(xiàng)是Do29. 設(shè)入=2是非奇異矩陣A的特征值，則£A2)-1有一個(gè)特征值是()4 11(A)了(B)£(C)3(D)-3 244答案：C30. 若二次型f(X,x2,x3)二(k+l)xf+(k-2)x2+(k3)x正定，則()(A)k>-1(B)k>1(C)k>2(D)k>3答案：(D)(21131.已知a二(1,k,1)T是矩陣A=121的特征向量，則k=()J12丿(A)1或2(B)-1或-2(C)1或-2(D)-1或2答案：(C)32. 在隨機(jī)事件A,B，C中，A和B兩事件至少有一個(gè)發(fā)生而C事件不發(fā)生的隨機(jī)事件可表示為()(A)ACBC(B)AB&(c)ABCABCABC(d)ABC解由事件間的關(guān)系及運(yùn)算知，可選(A)UUUU33. 袋中有5個(gè)