無(wú)窮大量和無(wú)窮小量

1、2.5 2.5 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 研究函數(shù)極限時(shí),有兩種變量非常重要. 一種是在極限過(guò)程中變量可以無(wú)限變小, 而且要多么小就有多小; 一種是在極限過(guò)程中, 變量可以無(wú)限變大, 而且要多么大就有多大.我們分別將它們稱為無(wú)窮小量和無(wú)窮大量.一一. . 無(wú)窮小量無(wú)窮小量定義定義 以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量. 例1 .xx 是時(shí)的無(wú)窮小量0limsin0sin 0 .xxxx 是時(shí)的無(wú)窮小量1lim0lim0lim0 xxxxxxee .xex 是時(shí)的無(wú)窮小量 .xex 是時(shí)的無(wú)窮小量lim0(1) .nnnqqqn 是時(shí)的無(wú)窮小量1lim(2)1,12.xxxx 時(shí)不是無(wú)窮小量

2、注注1 很小很小的非零常量不是無(wú)窮小量,但數(shù)“0” 是無(wú)窮小量; 而無(wú)窮小量卻不一定是數(shù)“0”, 僅極限值為0.無(wú)窮小量的性質(zhì)無(wú)窮小量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 i0(1,2, ),in 設(shè)在某一極限過(guò)程下有則在此極限過(guò)程下有注注2 無(wú)窮小量與自變量的變化過(guò)程有關(guān).1(1).0;nii 1(2).0.nii 性質(zhì)性質(zhì)2 有界變量(x)與無(wú)窮小量(x)之積仍為無(wú)窮 小量.證 ( ) ,0,(), ( );f xMxD ff xM 因有界 則恒有例例011limsin0,limsin1.sin( 1)lim0;lim0.xxnxnxxxxxxn 但但 ( ) , x 因?yàn)闊o(wú)窮小量( ) ( ).( ) (

3、).f xxMf xxM 為無(wú)窮小量0,( ),xMM 則某個(gè)時(shí)刻，在此時(shí)刻后,定理定理8 (函數(shù)與其極限間的關(guān)系)函數(shù)(x)的極限為A 的充要條件是函數(shù)(x )等于A與無(wú)窮小量的 和, 即 (x) = A + . 設(shè)lim(x) =A,則0 0 設(shè)(x) = A +,且為無(wú)窮小量,則證明 故lim (x) =A.總存在一個(gè)時(shí)刻,在此時(shí)刻以后,就恒有|(x)A|, 從而 (x )A為無(wú)窮小量, 記為,則(x)=A+總存在 一個(gè)時(shí)刻, 在此時(shí)刻以后,就恒有| |= | (x)A|M, 則稱函數(shù)(x)為該變化過(guò)程下的無(wú)窮大量. 記為 0M 0lim( ) lim( )xxxf xf x （或）注注

4、1 1 無(wú)窮大量是一個(gè)絕對(duì)值可以任意變大的變量, 而不是一個(gè)很大的常量.當(dāng)(x)取正值無(wú)限增大 (取負(fù)值絕對(duì)值無(wú)限增大)時(shí),稱為正無(wú)窮大量(負(fù) 無(wú)窮大量). 記為lim ( ) lim ( )f xf x （或或）注注2 2 通常lim( ) f x ( 1) n 011lim 0 .xxxx 是是時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮大大量量例lim .xxxeex 是時(shí)的無(wú)窮大量是極限不存在的記號(hào); 但它又不同于變量(無(wú)限增大的趨勢(shì)).無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系：無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系：定理定理9 在自變量的同一變化趨勢(shì)下,無(wú)窮大量的倒 數(shù)為無(wú)窮小量;非零無(wú)窮小量（不為零）的 倒數(shù)為無(wú)窮大量. 由此定理可知,

5、要證lim ( ) f x 1lim0 ( )f x 例例21 求2213lim.54xxxx 222211543lim =0,lim354xxxxxxxx 解只需證即可.三三. . 無(wú)窮小量階的比較無(wú)窮小量階的比較 無(wú)窮小量都是以0為極限,但它們趨于0的“速度”卻不一定相同.例2 0 , ,2 , ,xxx x當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小量y=2xy=x2 20 ,0 .xxxx但的速度比“慢”的速度比“快” 為了描述這種情況,有下述定義:設(shè)(x), (x)是同一極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量(3).若 ,則稱(x)是比(x)更低階的無(wú)窮 小量, 記為( )lim0( )xCx ( )lim( )xx (2).

6、若 ,則稱(x)與(x)是同階的無(wú)窮 小量.特別地特別地, 當(dāng)當(dāng)C = 1時(shí)時(shí), 則稱則稱(x)與與(x)是等是等 價(jià)的無(wú)窮小量?jī)r(jià)的無(wú)窮小量, 記為記為(x) (x) (x) = O( (x).( )lim0( )xx (1)若 ,則稱(x)是比(x)更高階的無(wú)窮 小量,記為 (x) = o()011.lim.22xxx 故當(dāng) x0時(shí), x與2 x 是同階的無(wú)窮小量. 故當(dāng)故當(dāng) x時(shí)時(shí), x2是比是比 x 更高階的無(wú)窮小量更高階的無(wú)窮小量.故當(dāng)故當(dāng) x時(shí)時(shí), 1/x 是比是比 1/x 更高階的無(wú)窮小量更高階的無(wú)窮小量.故當(dāng)故當(dāng) x0時(shí)時(shí), ,sin x與與x是等價(jià)的無(wú)窮小量是等價(jià)的無(wú)窮小量.0

7、sin4.lim1.xxx 202.lim0.xxx 213.lim0.1xxx 定理定理10. 與是等價(jià)的無(wú)窮小量的充要條件 是 = + o().定理定理11. 若在同一極限過(guò)程中, , 均為無(wú)窮 小量,則 (1) ; (反身性) (2)若 ; 則 ; (對(duì)稱性) (3)若 , ; 則 ; (傳遞性) (4)若 ; 則 .四四. . 無(wú)窮小量代換原理無(wú)窮小量代換原理定理定理12. (等價(jià)代換原理)設(shè)，, , ，為 同一極限過(guò)程中無(wú)窮小量,且 ,11lim 11limlim. 注注1 1 由此定理可知, 求兩個(gè)無(wú)窮小量商的極限時(shí), 如果分子, 分母的等價(jià)無(wú)窮小量存在, 則就可用它們各自的等價(jià)無(wú)

8、窮小量來(lái)代換原來(lái)的分子, 分母, 使計(jì)算簡(jiǎn)化. 請(qǐng)記住以下幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小量:若 存在, 則1.sin x x; 2.tan x x;3.ln(1+x) x; 4.arcsin x x;27.1cos;2xx 1 ;xex例例21.求下列函數(shù)的極限0tan 2(1).lim;sin 3xxxtan 22 , sin 33 (0)xxxx x 解 00tan 222 limlimsin 333xxxxxx 5.arctan x x; 0 x 當(dāng)時(shí)6.1 ln ,xaxa 8.(1)1.xx 32011(2).lim;1cosxxx 223211 (),1 cos(0)32xxxxx 解解23

9、22001123 limlim1cos32xxxxxx tan20(1cos )(3).lim;(1)sinxxxxex tan221tan , sin(0)xexxxx x 解解2tan2200(1cos )12limlim(1)sin2xxxxxxxexx x 30tansin(4).lim;xxxx 3300tansinlimlim.xxxxxxxx 注注意意: :2200sinsin12limlimcos2 cosxxxxxxxxxx 00sin11limlim2cos2xxxxx 3300201sin (1)tansincoslimlimsin(1 cos ) limcosxxxxxxxxxxxxxx 解解121 cos0(5).lim(1sin).xxx 22111sin221 cossin1 cos0022200lim(1 sin)lim(1 sin)1