數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性新人教A必修實用教案

1、一、問題(wnt)提出思考1：分別作出 的圖像(t xin)，并且觀察自變量變化時， 函數(shù)值有什么變化規(guī)律。2, 2, 2xyxyxyxy1，2 xy2xy2xy xy1注意：函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的， 是函數(shù)(hnsh)的局部性質(zhì)。第1頁/共18頁第一頁，共18頁。思考2：能否(nn fu)根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)， 什么是減函數(shù)？（1）如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨著自變量x的增大(zn d)， y也越來越大，我們就說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)。（2）如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨著(su zhe)自變量x的增大， y越來越小，我們就說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)。第2頁/共18頁第

2、二頁，共18頁。例：下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)y=f(x)， 根據(jù)圖像(t xin)說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及每一單調(diào) 區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？第3頁/共18頁第三頁，共18頁。二、新知(xn zh)探究解析(ji x)法圖像(t xin)法通俗語言：在區(qū)間（0，+）上， 隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大。數(shù)學(xué)語言：在區(qū)間（0，+）上， 任取 ，得 當(dāng) 時，有 。這時我們就說函數(shù) 在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)21,xx,)(,)(222211xxfxxf21xx )()(21xfxf2)(xxfx 01 2 3 4f(x) 01 4 9 16 列表法第4頁/共18頁第四頁，共18頁

3、。定義： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果(rgu)對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值 ，當(dāng) 時，都有 ，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。21,xx21xx )()(21xfxf 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果(rgu)對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值 ，當(dāng) 時，都有 ，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。21,xx21xx )()(21xfxf*如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)， 那么(n me)就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有單調(diào)性， 區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。第5頁/共18頁第五頁，共18頁。判斷題：（1）已知f(x

4、)=1/x ，因為f(-1)f(2),所以(suy)函數(shù)f(x)是 增函數(shù)。（2）若函數(shù)f(x)滿足f (2)f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間2，3 上為增函數(shù)。（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2和(2，3)上均為增函數(shù)， 則函數(shù)f(x)在(1，3)上為增函數(shù)。（4）因為函數(shù)f(x)=1/x在區(qū)間（-，0）和（0，+） 上都是減函數(shù)，所以(suy)f(x)=1/x在（-，0）（0，+） 上是減函數(shù)。第6頁/共18頁第六頁，共18頁。注意：單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的， 離開了定義域和相應(yīng)(xingyng)區(qū)間就談不上單調(diào)性對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定

5、義域內(nèi) 某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減） 函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在AB上是增（或減）函數(shù)第7頁/共18頁第七頁，共18頁。例1：證明(zhngmng)f(x)=-2x+1在R上是減函數(shù)。例2：證明(zhngmng) 在0, +)上是增函數(shù)。2)(xxf用定義證明函數(shù)單調(diào)(dndio)性的步驟：1.任取2.作差3.變形4.定號5.結(jié)論2121,xxDxx且第8頁/共18頁第八頁，共18頁。三、知識(zh shi)遷移例3：證明函數(shù)(hnsh) 在區(qū)間(- , 1 上是增函數(shù)(hnsh)。32)(2xxxf例4:證明(zhngmng

6、)函數(shù) 在2，6上是減函數(shù)。12xy第9頁/共18頁第九頁，共18頁。例5：證明(zhngmng)函數(shù) 上是增函數(shù)。 ），在（22)(xxxf2121,2,xxxx，且證明：任取)2()2()()(221121xxxxxfxf)2()21 ()(2)22(21212121212112212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx）（）（）（）（）上是增函數(shù)，在（，即，22)()()(0)()(022, 02212121212121xxxfxfxfxfxfxxxxxxxx第10頁/共18頁第十頁，共18頁。例6：證明(zhngmng)函數(shù) 在R上是增函數(shù)。xxxf3)(證明(zhngmng

7、)：任取2121,xxRxx且)()()()(23213121xxxxxfxf則)(213231xxxx）（)()(2122212121xxxxxxxx）（) 1)(22212121xxxxxx1432)(2222212121xxxxxxx143)2()(2222121xxxxx第11頁/共18頁第十一頁，共18頁。21xx 021xx上是增函數(shù)。在即）而（Rxxxfxfxfxfxfxxx3212122221)()()(, 0)()(01432第12頁/共18頁第十二頁，共18頁。例7：證明(zhngmng)函數(shù) 在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)。xxxf1)(2，的定義域為證明：)(xf)1()1()

8、()(),(,222121212121xxxxxfxfxxfxx且設(shè)任意的11)1()1()(11)11()()()(11)()(11)()11(22212222112122212221212121222121212122212221212221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx第13頁/共18頁第十三頁，共18頁。21xx 。在其定義域內(nèi)是減函數(shù)即即有，都有對任意又，且xxxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxRxxxxx1)()()(0)()(01, 0101,110110221212222112222222121第14頁/共18頁第十四頁，共18頁

9、。思考(sko)（1）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。 問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為增函數(shù)？ 為什么？)()()()()()()()(),()(,)()(22112121212121xgxfxgxfxFxFxgxgxfxfxxDxxDxgDxf都有且任取上是增函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間)()()()(2121xgxgxfxf)()(, 0)()()()(212121xFxFxgxgxfxf即所以函數(shù)(hnsh)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為增函數(shù)(hnsh)是第15頁/共18頁第十五頁，共18頁。（2）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(q jin)D上是減函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間(q jin)D上是減函數(shù)。 問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為減函數(shù)？ 為什么？（3）如果函數(shù)(hnsh)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)(hnsh)， 函數(shù)(hnsh)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(hnsh)。 問：能否確定函數(shù)(hnsh)F(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)性？反例：f(x)=x在R上是增函數(shù)，g(x)=-x在R上是減函數(shù) 此時 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0為常函數(shù)，不具有