自考輔導(dǎo)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類）》之概率論部分

1、第一局部概率論局部學(xué)員朋友們，你們好！應(yīng)學(xué)員朋友們的要求，結(jié)合近幾年考試的知識點(diǎn)再一次對本課程比擬有針對性的串講。本次串講沒有完全按照課本的章節(jié)順序進(jìn)行，整個(gè)串講分為兩大局部：概率論局部和數(shù)理統(tǒng)計(jì)局部，每一局部分假設(shè)干專題。希望學(xué)員朋友們結(jié)合課本的章節(jié)內(nèi)容收看本次串講。 第一局部概率論局部專題一事件與概率I. 考點(diǎn)分析近幾年試題的考點(diǎn)及分?jǐn)?shù)分布最多分?jǐn)?shù)分布最少分?jǐn)?shù)分布平均分?jǐn)?shù)分布事件，21古典概型2，223加法公式222條件概率，23全概公式21乘法公式81獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)222合計(jì)22/10010/10017/100注：表示選擇題及其分?jǐn)?shù)，下同。II. 內(nèi)容總結(jié)一、概念1.隨機(jī)現(xiàn)象：不確定現(xiàn)象中

2、的一種。2.隨機(jī)試驗(yàn)：i 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；ii 每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并事先知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；iii 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會出現(xiàn)。3.隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。4.根本領(lǐng)件或樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)不可分的結(jié)果，叫做一個(gè)根本領(lǐng)件或一個(gè)樣本點(diǎn)；5.樣本空間：所有根本領(lǐng)件的全體稱為樣本空間；6.必然事件、不可能事件：在每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件稱為必然事件，記做；每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，記做。二、事件的關(guān)系與運(yùn)算1.事件的關(guān)系1包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，那么事件B包含事件A，記做；對任何事件C，都有。2相等關(guān)系：假設(shè)且，那么事件A與

3、B相等，記做。3互不相容關(guān)系：假設(shè)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與B互不相容或互斥，可表示為。4對立事件：稱事件“A不發(fā)生為事件A的對立事件或逆事件，記做；滿足且。 顯然：；，。5二事件的相互獨(dú)立性：假設(shè) , 那么稱事件A, B相互獨(dú)立；性質(zhì)1：四對事件其一相互獨(dú)立，那么其余三對也相互獨(dú)立；性質(zhì)2：假設(shè)A, B相互獨(dú)立，且。2.事件的運(yùn)算1事件的和：稱事件“A，B至少有一個(gè)發(fā)生為事件A與B的和事件，也稱為A與B的并。 性質(zhì)：。2事件的積：稱事件“A，B同時(shí)發(fā)生為事件A與 B的積事件，也稱為A與B的交，記做。 性質(zhì)：。3事件的差：稱事件“A發(fā)生而事件B不發(fā)生為事件A與B的差事件，記做A-B.

4、性質(zhì)：。4事件運(yùn)算的性質(zhì)i交換律：；ii結(jié)合律：；iii分配律： iv摩根律對偶律三、事件的概率1.事件的頻率: 相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)次，事件A的頻率為；2.事件的概率描述性：當(dāng)n很大時(shí)，事件A頻率的穩(wěn)定值p，事件A的概率；概率的性質(zhì)： 對任意事件A，； ； ； 。注：事件的概率的精確定義見課本p11，定義11.3.古典概型：1 特點(diǎn)： 樣本空間是有限的； 根本領(lǐng)件發(fā)生是等可能的；2計(jì)算公式；4.條件概率：事件 發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率；5.全概公式和貝葉斯公式1全概公式：如果事件 滿足 互不相容且 那么對于內(nèi)的任意事件B，都有；2貝葉斯公式：條件同A，那么，。6.n重貝努利

5、試驗(yàn):1特點(diǎn)： 每次試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 各次試驗(yàn)相互獨(dú)立 每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，；2計(jì)算公式： n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為。7.加法公式、乘法公式1加法公式： 公式: 推論1：假設(shè)事件A,B互不相容，那么 ；推論2：假設(shè) ；推論3：假設(shè)A,B為對立事件，那么；推論4：假設(shè) , 兩兩互不相容，那么；2乘法公式：。例1.設(shè)A、B為任意兩個(gè)事件，那么有A.AB-B=A B.A-BB=AC.AB-BAD.A-BBA答疑編號918010101答案：C解析：利用文氏圖可得答案。應(yīng)選擇C。例2.設(shè)A與B互為對立事件，且，那么以下各式中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A.B.C. D.答疑編號9180101

6、02答案：B解析：此題考察對立事件、相互獨(dú)立事件、互不相容事件概念。A：對立事件，B：相互獨(dú)立事件，C：互不相容事件。例3. 設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且 ，那么A.B.C. D. 1答疑編號918010103答案：D解析：此題考察和事件、條件事件的概念及其概率。例4.設(shè)事件A, B滿足P0.2，PA0.6, 那么PAB A.0.12答疑編號918010104答案：B解析：此題考察差事件的性質(zhì)。，所以。例5.設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p，那么在3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為答疑編號918010105A.11p3B.p1p2C.D.pp2p3答案：A解析：此題考察求“至多、“至少類概率的方法，

7、即選擇用正面事件還是對立事件能夠簡單地計(jì)算概率。此題選擇用對立事件計(jì)算。例6.20件產(chǎn)品中，有2件次品，不放回地從中連續(xù)取兩次，每次取一件產(chǎn)品，那么第二次到正品的概率為_.答疑編號918010106答案：解析：“第二次取正品“一次二正“一正二正，由加法原理得P第二次取正品P一次二正 一正二正 ，故填寫。例7.一批產(chǎn)品，由甲廠生產(chǎn)的占，其次品率為5%，由乙廠生產(chǎn)的占，其次品率為10%，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，恰好取到次品的概率為_.答疑編號918010107答案：解析：此題考察“全概率公式。設(shè)產(chǎn)品由甲、乙廠生產(chǎn)分別為事件，產(chǎn)品為次品為事件B，那么由“全概率公式有。例8.設(shè)PA0.4, PB0.5

8、, 且P0.3, 求PAB. 答疑編號918010108答案：0.05解析：此題主要考察事件及其概率的運(yùn)算，綜合了專題一的內(nèi)容。方法：列方程求概率。解：由條件概率，對立事件的概率，事件運(yùn)算的對偶律及和事件的概率的公式，有,所以，專題二一維隨機(jī)變量 近幾年試題的考點(diǎn)分布和分?jǐn)?shù)分布最低分?jǐn)?shù)分布最高分?jǐn)?shù)分布平均分?jǐn)?shù)分布 分布律 22分布函數(shù)243概率密度 301分布 2 二項(xiàng)分布22，6 泊松分布 1均勻分布 1指數(shù)分布 61正態(tài)分布 22期望3，2，3方差22，2，3隨機(jī)變量函數(shù)，82，42,2合計(jì)18/10042/10024/100注：各種分布的數(shù)字特征包含在該種分布中。一、隨機(jī)變量的概念A(yù).定

9、義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為，如果對于每一個(gè)結(jié)果樣本點(diǎn)都有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，定義在上的實(shí)數(shù)值函數(shù) 稱為隨機(jī)變量。B.特點(diǎn)：1取值的隨機(jī)性，即一次取何值事先未知；2取值有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即取何值或某范圍內(nèi)的值的概率是完全確定的；3隨機(jī)變量的作用，從研究事件到研究隨機(jī)變量，從研究常量到研究研究變量，從而過渡到研究函數(shù)。二、一維隨機(jī)變量1定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量， x為任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。2性質(zhì)： ； 對任意 都有； 是單調(diào)非減函數(shù)； ； 右連續(xù)。2.一維離散型隨機(jī)變量：1定義：隨機(jī)變量的可能取值是有限個(gè)或至多無限可列多個(gè)；2概率分布： 分布律X概率 分布列的性質(zhì)：i；ii3分布函數(shù)

10、：。4離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X概率如果級數(shù) 絕對收斂，那么稱其為X的數(shù)學(xué)期望，記為 。 離散型隨機(jī)變量的方差：定義式: ；計(jì)算式：離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差：5常用離散型隨機(jī)變量的分布：A. 兩點(diǎn)分布 分布列X01概率1-pp 數(shù)學(xué)期望： 方差：。B. 二項(xiàng)分布： 分布列： ； 數(shù)學(xué)期望： 方差：C. 泊松分布： 分布列： 數(shù)學(xué)期望： 方差：1定義：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為, 存在非負(fù)可積函數(shù)，使對任意實(shí)數(shù)x有，那么稱X為連續(xù)性隨機(jī)變量，為概率密度函數(shù)密度函數(shù)。2密度函數(shù)性質(zhì) ； ； ； ； 設(shè)的連續(xù)點(diǎn)，那么存在，且。3連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

11、 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，如果廣義積分絕對收斂，那么隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為。 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：定義式：；計(jì)算式： 連續(xù)型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差：。4 常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布A.均勻分布： 密度函數(shù)： , 分布函數(shù)： ， 數(shù)學(xué)期望：, 方差： 。B.指數(shù)分布： 密度函數(shù)： 分布函數(shù)： 數(shù)學(xué)期望： 方差： 。C.正態(tài)分布A正態(tài)分布： 密度函數(shù)： 分布函數(shù)： 數(shù)學(xué)期望：, 方差： ， 標(biāo)準(zhǔn)化代換： 假設(shè)。B標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： 密度函數(shù)： 分布函數(shù)： 數(shù)學(xué)期望： 方差： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位數(shù)： ，假設(shè)滿足，那么為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位數(shù)。4.數(shù)學(xué)期望及方差的性質(zhì)1數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 為常數(shù)； 為

12、常數(shù)； 為常數(shù)； 為常數(shù)。2方差的性質(zhì) 為常數(shù)； 為常數(shù)； 為常數(shù)； 為常數(shù)。3方差的計(jì)算公式：5.隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1隨機(jī)變量的函數(shù)：設(shè)X為隨機(jī)變量，為連續(xù)函數(shù)，那么為隨機(jī)變量X的函數(shù)。顯然，Y也是隨機(jī)變量。2離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為X概率那么的分布律為Y概率注：對相同者，須合并并把概率相加。3連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布A.定理：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 。設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)?，那么的概率密度為。B.直接變換法：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度。解法：設(shè)Y的分布函數(shù)為的反函數(shù)為，那么例1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為

13、為其分布函數(shù)，那么= _.答疑編號918010201答案：解析：此題考核概率分布的性質(zhì)及分布函數(shù)的概念。根據(jù)分布函數(shù)的定義，所以解法一：。解法二：例2.隨機(jī)變量X的概率密度為，那么c=_。答疑編號918010202答案：解析：此題考察一維隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)： 。此題，故填。例3. 設(shè)函數(shù)在上等于sinx，在此區(qū)間外等于零，假設(shè)可以作為某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，那么區(qū)間應(yīng)為答疑編號918010203A.B.C. D.答案：B解析：此題考核連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 的性質(zhì)：及。根據(jù)條件函數(shù)在上等于sinx及sinx在四個(gè)象限的正、負(fù)取值，淘汰A, D選項(xiàng)；再根據(jù)，驗(yàn)算選項(xiàng)C，淘汰C；或根據(jù)此

14、性質(zhì)驗(yàn)算選項(xiàng)B，直接得到答案。例4.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間2，4上服從均勻分布，那么.A. B.C. D.答疑編號918010204答案：C例5.設(shè)隨機(jī)變量 ，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值，為使，那么常數(shù)a0. 試求U，V的相關(guān)系數(shù)。答疑編號918010312解析：此題考察協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)。解：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義有，又由方差的性質(zhì)有再由協(xié)方差的性質(zhì)有由，b，c，d為常數(shù)，Y為隨機(jī)變量，那么應(yīng)用協(xié)方差的計(jì)算公式有所以，其中，計(jì)算同上。因此， ，因?yàn)椋?。拓展：此題U與X，V與Y均為正線性相關(guān)或負(fù)線性相關(guān)即表示為斜率同為正或同為負(fù)的一次函數(shù)，得到 ，即兩對隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系程度是相同的。例8.

15、設(shè)二維隨機(jī)變量，且X與Y相互獨(dú)立，那么_。答疑編號918010313答案：0專題四大數(shù)定律及中心極限定理 近幾年試題的考點(diǎn)分布和分?jǐn)?shù)分布最低分?jǐn)?shù)分布最高分?jǐn)?shù)分布平均分?jǐn)?shù)分布 切比雪夫不等式 2大數(shù)定律 中心極限定理 2合計(jì)0/1004/1001/100一、切比雪夫不等式：隨機(jī)變量，那么對任意給定的，總有 。二、大數(shù)定律1貝努利大數(shù)定律：設(shè)m是n獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，那么對任意給定的，總有2切比雪夫大數(shù)定律：隨機(jī)變量序列 相互獨(dú)立且具有有限的期望和方差，那么對任意給定的，總有三、中心極限定理1獨(dú)立同分布序列中心極限定理：隨機(jī)變量,相互獨(dú)立，服從相同的分布且具有期望和方差，那么對隨機(jī)變量的分布函數(shù)及任意x，總有2兩個(gè)結(jié)論 定理說明，當(dāng)n充分大時(shí)，不管獨(dú)立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其和近似服從正態(tài)分布； 定理說明：當(dāng)n充分大時(shí)，不管獨(dú)立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其平均值 。3棣莫佛拉普拉斯中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)， P是事件A發(fā)生的A發(fā)生的的概率，那么對任意實(shí)數(shù)xIII. 典型例題例1 設(shè)隨機(jī)變量X的方差DX存在，且 A.B.C.D.答疑編號918010401答案：C例2.設(shè)隨機(jī)變量序列 ，獨(dú)立同分布，且 ，i1，2，那么對任意實(shí)數(shù)x, 。答疑編號918010402答案：例3. 設(shè)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，P是事件A在每