Chapter4_3_樣條函數(shù)插值[1]

1、樣條函數(shù)插值樣條函數(shù)插值SPLINE INTERPOLATION武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院內(nèi)容提要 引言 樣條函數(shù)的物理背景 一般 K 次樣條 3次樣條插值 高次自然樣條與B- 樣條基礎(chǔ)4.8 樣條函數(shù)插值樣條函數(shù)插值4.8.1 4.8.1 引言引言 樣條函數(shù)的物理背景樣條函數(shù)的物理背景 回顧前面幾節(jié)講過的各種代數(shù)插值回顧前面幾節(jié)講過的各種代數(shù)插值, ,它們有一個共它們有一個共同的弱點(diǎn)同的弱點(diǎn), ,那就是那就是: : 它們都是相當(dāng)它們都是相當(dāng)剛性剛性(stiff)(stiff)的的. .也就是也就是說說, , 局部數(shù)據(jù)誤差易向遠(yuǎn)處傳播、放大局部數(shù)據(jù)誤差易向遠(yuǎn)處傳播、放大. .

2、 以以Lagrange插值插值為例為例, ,設(shè)數(shù)據(jù)真值設(shè)數(shù)據(jù)真值 被代之以含有被代之以含有誤差誤差 的的 , , 令令 是以是以 為插值條件的插值多項式為插值條件的插值多項式, ,于是最終的插值誤差是于是最終的插值誤差是 由講義第由講義第168168頁插值公式頁插值公式(6)(6)知知, ,上式右端第二項為上式右端第二項為 這表明結(jié)點(diǎn)這表明結(jié)點(diǎn) 處的數(shù)據(jù)誤差處的數(shù)據(jù)誤差 通過插值基函數(shù)通過插值基函數(shù) 放大和擴(kuò)散放大和擴(kuò)散. . jf x jf x jjjff xf x012,nffffL .nnnnf xLxf xLxLxLx nLx 0.nnnjjjLxLxf xlxjx jf x jlx

3、更何況更何況, ,如果被插函數(shù)如果被插函數(shù)有奇點(diǎn)有奇點(diǎn), ,甚至只要甚至只要解析延拓到解析延拓到復(fù)平面復(fù)平面有有隱秘奇點(diǎn)隱秘奇點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn), , 則當(dāng)則當(dāng) 為高次多項式時為高次多項式時, ,誤誤差放大和擴(kuò)散差放大和擴(kuò)散還將助長很可怕還將助長很可怕的的強(qiáng)振蕩強(qiáng)振蕩! ! 展示展示RungeRunge現(xiàn)現(xiàn)象象的著名例子就的著名例子就清楚地描述了這清楚地描述了這種振蕩種振蕩( (右圖右圖). ). jlx相同數(shù)據(jù)相同數(shù)據(jù)3 3次樣條插值與次樣條插值與Lagrangr插值效果比較插值效果比較Cubic Spline Interpolation Lagrangr Interpolation 如果采用分段多

4、項式插值如果采用分段多項式插值, , 則由于插值基函數(shù)只則由于插值基函數(shù)只是是局部活躍局部活躍( (它們的它們的支集支集是局部緊致的是局部緊致的), ), 結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)上的誤誤差可以被控制在小的范圍內(nèi)差可以被控制在小的范圍內(nèi), , 因而也帶來了因而也帶來了內(nèi)在的高內(nèi)在的高度穩(wěn)定性度穩(wěn)定性. . 這是分段插值的一大優(yōu)勢這是分段插值的一大優(yōu)勢! ! 許多實際問題許多實際問題希望插值函數(shù)具有較高階的整體光希望插值函數(shù)具有較高階的整體光滑性滑性. . 此時此時, , 高次高次Hermite插值插值或或分段高次分段高次Hermite插插值值可以利用可以利用( (注意注意: :分段高次分段高次Lagran

5、ge插值和插值和Newton插插值等是做不到的值等是做不到的, ,在插值結(jié)點(diǎn)上它們只能保證插值函在插值結(jié)點(diǎn)上它們只能保證插值函數(shù)連續(xù)數(shù)連續(xù)). ). 注注: :函數(shù)函數(shù) 的的支集支集 Supp 定義為定義為 Supp f xf 0 .fx fx 但高次但高次HermiteHermite插值在許多場合中看不中用插值在許多場合中看不中用! !提高提高HermiteHermite插值多項式的次數(shù)就要插值多項式的次數(shù)就要增加約束條件增加約束條件 給出插值結(jié)點(diǎn)處被插函數(shù)及其直到足夠高階給出插值結(jié)點(diǎn)處被插函數(shù)及其直到足夠高階 導(dǎo)數(shù)之值導(dǎo)數(shù)之值. . 作為約束條件的作為約束條件的所有數(shù)據(jù)都是通過觀測得到的所

6、有數(shù)據(jù)都是通過觀測得到的, ,而而 觀測觀測總難免總難免有誤差有誤差. . 于是于是 高次插值高次插值不僅不僅增添了數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和計算的困增添了數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和計算的困 難難, ,也將也將導(dǎo)致更大的誤差導(dǎo)致更大的誤差. . 還有許多應(yīng)用不僅要求插值函數(shù)具有足夠高階的還有許多應(yīng)用不僅要求插值函數(shù)具有足夠高階的整體光滑性整體光滑性, , 還要求在某些結(jié)點(diǎn)處還要求在某些結(jié)點(diǎn)處轉(zhuǎn)折靈活轉(zhuǎn)折靈活. . 例如若例如若干點(diǎn)處加載集中力的桿、梁或板彎曲干點(diǎn)處加載集中力的桿、梁或板彎曲. . 這就導(dǎo)致本節(jié)這就導(dǎo)致本節(jié)要討論的要討論的樣條函數(shù)樣條函數(shù)( (SplineSpline) )插值插值. . 數(shù)學(xué)里的數(shù)學(xué)里的樣條樣

7、條( Spline )一詞來源于它的直觀一詞來源于它的直觀幾何幾何 背景背景：繪圖員或板金工人常用彈性：繪圖員或板金工人常用彈性木條木條或或金屬條金屬條加加壓壓鐵鐵( (構(gòu)成樣條構(gòu)成樣條!) !)來繪制或者放樣成來繪制或者放樣成光順光順曲線或者曲面曲線或者曲面. .但但它之所以成為數(shù)值分析的它之所以成為數(shù)值分析的標(biāo)志性成果之一標(biāo)志性成果之一并且在數(shù)學(xué)并且在數(shù)學(xué)物理的廣泛領(lǐng)域獲得非常成功的應(yīng)用物理的廣泛領(lǐng)域獲得非常成功的應(yīng)用, ,還在于它的明確還在于它的明確的的物理背景物理背景. .請看下面的例子請看下面的例子. .例1.如圖如圖4.8.1,4.8.1,一均勻一均勻彈性弦兩端固定于兩彈性弦兩端固

8、定于兩點(diǎn)點(diǎn) , , 在區(qū)在區(qū)間間 內(nèi)取點(diǎn)列內(nèi)取點(diǎn)列 圖圖4.8.14.8.1 并在內(nèi)結(jié)點(diǎn)集上分別給集中載荷并在內(nèi)結(jié)點(diǎn)集上分別給集中載荷 則載荷分布則載荷分布 可表為可表為其中其中 是集中于結(jié)點(diǎn)是集中于結(jié)點(diǎn) 的的點(diǎn)脈沖函數(shù)點(diǎn)脈沖函數(shù). . xy0 yy x0 xanxb,ab,0 ,0A aB b012naxxxxbL ,1,2,1,jjq xqjnL qq x 11,njjjq xqxxjxxjxx1,0,iixxxxotherwise 事實上事實上, , 在在小變形和均勻分布外力小變形和均勻分布外力假設(shè)下假設(shè)下, ,上述上述弦弦的平衡的平衡問題的微分方程模型乃是兩點(diǎn)邊值問題問題的微分方程模型

9、乃是兩點(diǎn)邊值問題 現(xiàn)在是作用現(xiàn)在是作用離散的集中力離散的集中力, ,此時弦達(dá)到平衡狀態(tài)時此時弦達(dá)到平衡狀態(tài)時位移函數(shù)位移函數(shù) 應(yīng)滿足應(yīng)滿足 y x ,;0.yqxa byay b 110,0.njjjnyxqxxyxyx 11njjjq xqxx因此有因此有 這意味著這意味著:在在每一加載點(diǎn)每一加載點(diǎn) 處處 脈沖間斷脈沖間斷; 是階梯函數(shù)是階梯函數(shù); 是分段線性的連續(xù)函數(shù)是分段線性的連續(xù)函數(shù), 在每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)在每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)折靈活折靈活. 后面我們將指出后面我們將指出, 如此的如此的 便是便是一次樣條一次樣條函數(shù)函數(shù) y x 10,1,2, .jjy xxxxjnLjx yx y x y x11

10、0,0 .njjjnyxqxxyxyx例2. 考察梁彎曲方程考察梁彎曲方程 與與例1類似地加載集中力類似地加載集中力, ,只是兩端點(diǎn)除給只是兩端點(diǎn)除給零位移零位移約束約束外還要加一階或二階外還要加一階或二階導(dǎo)數(shù)約束導(dǎo)數(shù)約束. .于是集中力作用于是集中力作用下的梁彎曲方程成為下的梁彎曲方程成為此時我們得到此時我們得到: : 圖圖4.8.24.8.2 4,.yqxa b 141njjjyxqxx y xab 在內(nèi)結(jié)點(diǎn)在內(nèi)結(jié)點(diǎn) 上上 脈沖間斷脈沖間斷; ; 為階梯函數(shù)為階梯函數(shù); ; 在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間 上上 是三次多項式是三次多項式; ; 和和 都是都是 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù). . 這便

11、是后面我們要著重討論的這便是后面我們要著重討論的三次樣條三次樣條. . 此例展示了此例展示了三次樣條三次樣條的如下特征的如下特征: : 它分段三次光滑它分段三次光滑; ; 整體二次光滑整體二次光滑( (足夠光滑足夠光滑); ); 在內(nèi)結(jié)點(diǎn)處三階導(dǎo)數(shù)間斷在內(nèi)結(jié)點(diǎn)處三階導(dǎo)數(shù)間斷( (轉(zhuǎn)折靈活轉(zhuǎn)折靈活). ). y xy1,jjxx,yy,a bjx 410,1,2, ;jjyxxxxjnL 4yy 141njjjyxqxx 上面兩個例子分別涉及彈性弦和梁的上面兩個例子分別涉及彈性弦和梁的小變形平衡小變形平衡. . 這就自然會想到彈性力學(xué)中聯(lián)系這就自然會想到彈性力學(xué)中聯(lián)系平衡態(tài)平衡態(tài)與與變形能變形能

12、的的兩兩個重要的個重要的極值原理極值原理：最小勢能原理和虛功原理最小勢能原理和虛功原理. . 既然既然一次和三次樣條分別與弦和梁的小變形平衡問題聯(lián)系一次和三次樣條分別與弦和梁的小變形平衡問題聯(lián)系著著, ,那么那么直覺直覺告訴我們它們也應(yīng)有相應(yīng)的極值性質(zhì)告訴我們它們也應(yīng)有相應(yīng)的極值性質(zhì). . 后后面我們將證明面我們將證明的確如此的確如此! ! 作為伏筆作為伏筆, ,我們指出我們指出: :上兩例中彈性弦和梁的上兩例中彈性弦和梁的變形能變形能分別表為分別表為 和和 2baydx2.baydx4.8.2 4.8.2 一般一般 k k 次樣條次樣條定義定義4.8.1( 4.8.1( 次樣條函數(shù)次樣條函數(shù)

13、) )設(shè)設(shè) 是區(qū)間是區(qū)間 上的一個分劃上的一個分劃或分割，即或分割，即稱稱 為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 上關(guān)于分劃上關(guān)于分劃 的一個的一個 次樣條次樣條函數(shù)函數(shù), ,如果如果 : :(1)(1) 在每一區(qū)間在每一區(qū)間 上是次數(shù)上是次數(shù) 不超過不超過 的多項式的多項式. .(2)(2)在區(qū)間在區(qū)間 上是上是 次連續(xù)可微的次連續(xù)可微的. . kk011:nnaxxxxbL,a bk節(jié)點(diǎn) 處 的 階導(dǎo)數(shù)間斷,因而轉(zhuǎn)折靈活 S x,a bS1,iixxk,a b1k ixSk 次樣條函數(shù)類記為次樣條函數(shù)類記為 為方便后面的討論，我們將樣條函數(shù)為方便后面的討論，我們將樣條函數(shù) 寫成如下形式寫成如下形式 1

14、1(,)() |(),0,1,1;(),pkiikSkSxSxPxxinSxCa bLk 00111211,(4.1),.nnnsxxxxsxxx xS xsxxxxM S x例例. . 根據(jù)上述定義根據(jù)上述定義, ,0 0次樣條函數(shù)次樣條函數(shù) 為為分段常數(shù)分段常數(shù), ,即階即階梯函數(shù)梯函數(shù), ,它可表為它可表為1 1次樣條函數(shù)次樣條函數(shù) 為為分段線性函數(shù)分段線性函數(shù), ,它可表為它可表為一般二次多項式不是嚴(yán)格意義下的二次樣條一般二次多項式不是嚴(yán)格意義下的二次樣條! !S 00011112111,.nnnnsxcxxxsxcxx xS xsxcxxx 00001111121111,.nnnnn

15、sxa xbxxxsxa xbxx xS xsxaxbxxxS4.8.3 4.8.3 3 3次樣條插值次樣條插值問題的提法問題的提法：給定數(shù)據(jù)表：給定數(shù)據(jù)表構(gòu)造構(gòu)造3 3次樣條函數(shù)次樣條函數(shù) 滿足插值條件滿足插值條件 x f x0 x1xnx0f1fnf ,3pS xSLL (4.2),0,1, .iiS xfinL構(gòu)造方法構(gòu)造方法： 應(yīng)具有如下形式應(yīng)具有如下形式并且滿足條件并且滿足條件(4.2)(4.2)和和 ,3pS xS111,1,2,1,(4.4),1,2,1,1,2,1.iiiiiiiiiiiisxsxinsxsxinsxsxinLLL 0011123111,(4.3),.,;iii

16、nnnsxxx xsxxx xS xs xCx xsxxxx 因因 是分段是分段3 3次多項式次多項式 , ,故在每個區(qū)間故在每個區(qū)間 上上 都是都是3 3次多項式次多項式 , ,從而從而 共須共須 個獨(dú)立條件確定個獨(dú)立條件確定 . . 和和 在在 個內(nèi)結(jié)點(diǎn)連續(xù)個內(nèi)結(jié)點(diǎn)連續(xù), ,即滿足條件即滿足條件(4.4),(4.4),因而因而 (4.4)(4.4)給出了給出了 個條件；個條件；(4.2)(4.2)提供了提供了 個獨(dú)立條件個獨(dú)立條件; ; 還差還差2 2個條件個條件, ,有多種給法有多種給法. .最常見的給法是最常見的給法是: : (i) (i) （簡支邊界，導(dǎo)致（簡支邊界，導(dǎo)致三彎矩關(guān)系式

17、三彎矩關(guān)系式, , 關(guān)系式關(guān)系式）, , 特別地特別地, , ( (自然邊界自然邊界, ,三次自然樣條三次自然樣條); ); (ii) (ii) ( (固支邊界固支邊界, ,導(dǎo)致導(dǎo)致三轉(zhuǎn)角關(guān)系式三轉(zhuǎn)角關(guān)系式, , 關(guān)系式關(guān)系式). ). S x isx1,iixx4n1n S x,S SS1n 33n 000,nnnSxfxMSxfxM00,nMM000,nnnSxfxm SxfxmMm 111,1,2,1,(4.4),1,2,1,1,2,1.iiiiiiiiiiiisxs xinsxs xinsxs xinLLL 注意：上述給出的注意：上述給出的 個條件是問題本身隱含的，個條件是問題本身隱含

18、的，和共和共 個獨(dú)立條件須提供，故個獨(dú)立條件須提供，故 結(jié)點(diǎn)三次樣插值結(jié)點(diǎn)三次樣插值問題只有問題只有 個自由度個自由度.( .(請與分段三次請與分段三次HermiteHermite插值比較插值比較!) !)三次自然樣條插值三次自然樣條插值 關(guān)系式的構(gòu)造方法關(guān)系式的構(gòu)造方法 記記 注意到注意到 于于 是連續(xù)的是連續(xù)的和分段線性的和分段線性的, ,從而從而 在每個在每個 上是線性的上是線性的, ,故可表故可表為為 對此式積分兩次并應(yīng)用條件對此式積分兩次并應(yīng)用條件(4.2)(4.2)可得到可得到 Sxisx1,iixx3n 33n 1,.iiiiiSxM hxxM1n 3n 0,nxx 111(4.

19、5),.iiiiiiiiixxxxsxMMxx xhh 微分微分(4.6)(4.6)可得到可得到和和由由(4.4)(4.4)第二式第二式,(4.7),(4.7)與與(4.8)(4.8)應(yīng)相等應(yīng)相等, ,于是得到于是得到 3311221111()()66(4.6),.66iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxsxMMhhxxhxxhfMfMxx xhh1111(4.7)36iiiiiiiiiihhsxMMffhh 111111111(4.8).63iiiiiiiiiihhsxMMffhh11111112(4.9)66,1,2,1iiiiiiiiiiiiihMhhMh Mffffinhh

20、111,1 ,2, ,1 ,(4.4),1 ,2, ,1 ,1 ,2, ,1.iiiiiiiiiiiisxs xinsxs xinsxs xinLLL利用條件利用條件 得到關(guān)于得到關(guān)于 的線性方程組的線性方程組其中其中解出解出 代入代入(4.6)(4.6)即得到即得到 . .00nMMiM111122122223222111nnnnnnnnnMvuhMvhuhMvhuhhuMv MMOOO11162,.iiiiiiiiiiuhhbffvbbh,1,2,1iM inL iSxCubic Spline Interpolation Lagrangr Interpolation 類似地可構(gòu)造類似地可構(gòu)

21、造 關(guān)系式關(guān)系式( (留作練習(xí)留作練習(xí)) ). . 下面的兩個定理有重要意義下面的兩個定理有重要意義. . 定理定理(4.1(4.1）設(shè)設(shè) 則則定理定理(4.2(4.2）設(shè)設(shè) 則則m 22(4.10).bbaaSxdxfxdx22(4.11).bbaaSxdxfxdx ,1 ,pS xS ,3 ,pS xS 我們我們只證明第二個定理只證明第二個定理. . 證明之前證明之前, , 先解釋它的重要意義先解釋它的重要意義. . () 前面曾提到前面曾提到, ,梁彎曲達(dá)到平衡態(tài)時變形能梁彎曲達(dá)到平衡態(tài)時變形能( (內(nèi)能內(nèi)能) )可表為可表為于是于是(4.11) (4.11) 意味著意味著: : 在滿足

22、端點(diǎn)約束在滿足端點(diǎn)約束 和和 以及插值條件以及插值條件（* *）的一切連續(xù)二次可微的函數(shù)中，的一切連續(xù)二次可微的函數(shù)中，三次自然樣條插值函數(shù)三次自然樣條插值函數(shù)使得使得變形能變形能 達(dá)到最小的達(dá)到最小的. . 0y ay b 0yayb,1,2,1jjy xyjnL2bafdx 22(4.11)bbaaSxdxfxdx ()當(dāng)當(dāng) 時時, ,注意曲線注意曲線 的曲率的曲率. .而積分而積分 達(dá)到最小意味著達(dá)到最小意味著三次自然樣條插值函數(shù)是三次自然樣條插值函數(shù)是各各種可能的插值函數(shù)中種可能的插值函數(shù)中使得均方曲率為最小的插值函數(shù)使得均方曲率為最小的插值函數(shù), ,即在一即在一定意義下定意義下最為光

23、順最為光順的插值函數(shù)的插值函數(shù). .這是三次自然樣條插值函數(shù)的這是三次自然樣條插值函數(shù)的一個非常一個非常特別和有用的性質(zhì)特別和有用的性質(zhì). . 下面證明定理下面證明定理 (4.2) (4.2)證明證明 令令 , ,則則 并且并且下證下證gfS 0ig x2222bbbbaaaafdxSdxgdxS g dx 0.baS g dx 3221ffff0f 2bafdx 利用分部積分并注意到利用分部積分并注意到 以及以及得到得到 00nSxSx 1,1,2,iiiSxcconstxxxin 111111111110.iiiiiiiixbniaxxniiixxxnniiixxniiiiSgd xSgd

24、 xSgxSgxSg d xSg d xcg d xcgxgx 4.8.4 4.8.4 高次自然樣條與高次自然樣條與B-B-樣條樣條q高次自然樣條高次自然樣條 確切地說確切地說, ,高次自然樣條只對奇數(shù)階定義高次自然樣條只對奇數(shù)階定義. . 下面定義下面定義 次自然樣條次自然樣條. . 定義定義4.8.2( 4.8.2( 自然次樣條函數(shù)自然次樣條函數(shù)) )給定區(qū)間給定區(qū)間 上的分劃上的分劃如如定義定義4.8.14.8.1 . .函數(shù)函數(shù) 稱為稱為 自然樣條自然樣條, ,如果它如果它: :( (i) i)在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間 上都是次數(shù)不超過上都是次數(shù)不超過 的多項式的多項式; ;(ii)(

25、ii)在區(qū)間在區(qū)間 和和 上是次數(shù)不超過上是次數(shù)不超過 的多項式的多項式. .分劃分劃 下的下的 次自然樣條函數(shù)構(gòu)成的集合記為次自然樣條函數(shù)構(gòu)成的集合記為 . .( (依此定義依此定義, ,三次自然樣條在區(qū)間三次自然樣條在區(qū)間 和和 上退化為一上退化為一次多項式次多項式.) .) 21k 21k ,a b 2kS xCR21k 0, x1,iixx21k ,nxk21k 21kN0, x,nx 為方便后面導(dǎo)出為方便后面導(dǎo)出B-樣條樣條, ,我們考慮利用構(gòu)造我們考慮利用構(gòu)造Lagrange插值插值或或Newton插值插值的結(jié)點(diǎn)基函數(shù)那樣的方法的結(jié)點(diǎn)基函數(shù)那樣的方法,使一般使一般 次自然次自然樣樣

26、條能用適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)作條能用適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)作“元件元件”來來“組合裝配組合裝配”出來出來. . 對對 次冪函數(shù)次冪函數(shù) 作一種作一種“截肢截肢”手術(shù)手術(shù): :截去截去 的部分的部分并以并以 0 0 接上接上, ,得到所謂得到所謂半截冪函數(shù)半截冪函數(shù)(truncated power function)這種這種手術(shù)導(dǎo)致手術(shù)導(dǎo)致 處處 階導(dǎo)數(shù)間斷階導(dǎo)數(shù)間斷( (有躍度有躍度), ),但但直到直到 階導(dǎo)數(shù)仍連續(xù)階導(dǎo)數(shù)仍連續(xù). . 21k 0 x kxk0 xk1k 我們來我們來觀察躍度觀察躍度: : 階梯函數(shù)的基函數(shù)階梯函數(shù)的基函數(shù) 此函數(shù)本身在此函數(shù)本身在 處有間斷處有間斷, ,躍度為躍度為1. 1.

27、一次單項式一次單項式 的半截冪及其的半截冪及其1 1階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 次單項式次單項式 的半截冪及其的半截冪及其 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 01,0;0,0.xxx01x 0 x k,0,0,0;kkxxxxkxk !,0,0,0.kkk xxx,0,0,0;x xxx1,0,0,0.xxxx0 xy0 x10 xyxxy0kx 至此我們已經(jīng)至此我們已經(jīng)可以觀察到可以觀察到: : 單項式半截冪單項式半截冪 可被視為一個結(jié)點(diǎn)的可被視為一個結(jié)點(diǎn)的 次次樣條樣條; ; 平移后得到的平移后得到的 也是一個結(jié)點(diǎn)的也是一個結(jié)點(diǎn)的 次樣條次樣條; ; 平移、壓縮、組合后得到的平移、壓縮、組合后得到的 是兩個結(jié)點(diǎn)的是兩個結(jié)點(diǎn)

28、的 次樣條次樣條. . 尤為重要的是尤為重要的是: :利用半截冪這樣簡單的樣條可構(gòu)造利用半截冪這樣簡單的樣條可構(gòu)造出一系列新的樣條出一系列新的樣條. . kxkkixxk,kkijijxxxxxx Rk定理定理(4.3)(4.3)前述分劃前述分劃 上存在唯一上存在唯一自然樣條自然樣條 且可表為且可表為其中其中證明證明( (留作討論題留作討論題). ).思考題思考題: : 半截冪函數(shù)半截冪函數(shù) 的支集的支集 Supp 為何為何? ?定性地分定性地分 類函數(shù)數(shù)據(jù)誤差的擴(kuò)散情況類函數(shù)數(shù)據(jù)誤差的擴(kuò)散情況. . 21kS xN 2100knkiiiiiiSxa xbxx00,0.njiiib xjkki

29、xx21kNkixxqB-B-樣條基礎(chǔ)樣條基礎(chǔ) 前已指出前已指出: :我們可以利用半截冪這樣簡單的樣條作我們可以利用半截冪這樣簡單的樣條作為為基基裝配成一系列新的樣條裝配成一系列新的樣條. .下面討論通過下面討論通過提供提供基函基函數(shù)數(shù)(Bases Function)來構(gòu)造樣條函數(shù)空間的一般方法來構(gòu)造樣條函數(shù)空間的一般方法. . 首首先先將有限的結(jié)點(diǎn)集擴(kuò)展為無窮集分劃將有限的結(jié)點(diǎn)集擴(kuò)展為無窮集分劃其次其次定義定義半截冪半截冪 的一階差分的一階差分如此得到的樣條如此得到的樣條 稱為稱為0 0次次B-B-樣樣條條(B-spline).ix1ixx 0iBx1101xxx0 x 001011,0,.

30、iiiiixx xBxxxxxotherwise 0iBx 有如下性質(zhì)有如下性質(zhì): : 對所有的對所有的 和所有的和所有的 ; ; 對所有的對所有的 于是于是0 0次樣條函數(shù)次樣條函數(shù)可表為可表為 階梯函數(shù)階梯函數(shù) 遞歸地遞歸地定義定義 次次B-B-樣條樣條 如下如下: : kiBx 0iBx 0,0ixBx i 0,1.iixBxk 111111(4.12).kkki kiiii kii kixxxxBxBxBxxxxx 0.iiiS xc Bx記記則則(4.12)(4.12)可寫成可寫成例例1 1. .1 1次次B-B-樣條樣條( (圖圖4.8.3)4.8.3) 圖圖4.8.34.8.3

31、于是于是1 1次樣條函數(shù)次樣條函數(shù)可表為可表為 分段線性函數(shù)分段線性函數(shù) kiii kixxvxxx1111(4.12)1.kkkkkiiiiiBv BvB 111010211121,1,0,.iiiiiiiiiiiiixxxxxhxxBxv BvBxxxhotherwise1ix2ix1ixx 1.iiiS xc Bx例例2 2. . 2 2次次B-B-樣條樣條( (圖圖4.8.4)4.8.4) 圖圖4.8.44.8.4例例3 3. . 3 3次次B-B-樣條樣條( (圖圖4.8.5)4.8.5) 圖圖4.8.54.8.5 2212111211111121112121232121(),()(

32、1)(1),(1)(1),0,.iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiBxv BvBxxxxxh hhxxxxxxxxxxxhhhhhhxxxxxxxhhhotherwiseix4ix3ix3ix2ix1ix2ix1ixixxx 次次B-B-樣條樣條 有如下性質(zhì)有如下性質(zhì)( (證明作為課外討論題證明作為課外討論題) ): : B-B-樣條樣條組組 是是 上的線性無關(guān)組上的線性無關(guān)組. . 在相同的分劃在相同的分劃 之下之下, , 越大越大, , 的的集集Supp 越大越大, ,振幅振幅越小越小, ,因而因而誤差隨遠(yuǎn)離結(jié)點(diǎn)而衰減誤差隨遠(yuǎn)離結(jié)點(diǎn)而衰減. . 記記 則有則有 若若 為一致分劃為一致分劃, ,則則 B-B-樣條樣條 提供了一類具有若干特殊性質(zhì)的基提供了一類具有若干特殊性質(zhì)的基! ! k11,kkkkknBBB 0,nxxkkiBkiBkiB 01.kiiiiBxBxkiB 111.1xkki kiijjxxBt dtBxk 1,kii kixx1111(),2,kkkkkiiiiidBkBBkdxB-B-樣條插值樣條插值 我們的興趣在于利用我們的興趣在于利用B-B-樣條樣條作插值作插值. .為此為此, ,我們限制我們限制 于區(qū)間于區(qū)間 . .插值問題的提法為插值問題的提法為: :求求 形如形如滿足條件滿足條件() ()