x09_勞斯判據(jù)

1、第9節(jié) 穩(wěn)定性分析（勞斯判據(jù)）1 穩(wěn)定性的基本概念2 勞斯穩(wěn)定判據(jù)3 奈氏判據(jù)前曲9.1 穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性: 系統(tǒng)在擾動消失后,由偏差狀態(tài)恢復到原來平衡狀態(tài)的能力.穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定臨界不穩(wěn)定stableunstable 系統(tǒng)在擾動作用下，動態(tài)過程隨時間推移逐漸衰減并趨于零，稱系統(tǒng)穩(wěn)定； 否則，系統(tǒng)動態(tài)過程隨時間推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。Example of unstable system跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于1940年7月1日。只要有風，這座大橋就會晃動1940年11月7日，一陣風引起了橋的晃動，而且晃動越來越大，直到整座橋斷裂。1950 Tacoma

2、BridgeBecause its engines have no moving parts, X-43A is taken 12,000 meters (40,000 ft) into the sky on a B-52 jet, and launched from a Pegasus booster rocket in order to get going fast enough for the scramjets to operate 絕對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性穩(wěn)定或不穩(wěn)定穩(wěn)定的程度開環(huán)不穩(wěn)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)定系統(tǒng)feedback閉環(huán)穩(wěn)定系閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)統(tǒng)閉環(huán)控制的優(yōu)點閉環(huán)控制也能讓開環(huán)穩(wěn)

3、定系統(tǒng)變成不穩(wěn)定穩(wěn)定性研究的歷史 1868 J.C.Maxwell 對調(diào)節(jié)器進行對調(diào)節(jié)器進行了模型研究，提出了穩(wěn)定性條件了模型研究，提出了穩(wěn)定性條件 1877 E.J.Routh得到了穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù) 1893 Lyapunov 研究了動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論 1932 Nyquist 發(fā)展了穩(wěn)定性的判別方法發(fā)展了穩(wěn)定性的判別方法 系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以分為大范圍穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以分為大范圍穩(wěn)定和小范圍穩(wěn)定。和小范圍穩(wěn)定。 對于線性的穩(wěn)定系統(tǒng)必須在大范圍對于線性的穩(wěn)定系統(tǒng)必須在大范圍和小范圍內(nèi)都穩(wěn)定。而非線性系統(tǒng)則可和小范圍內(nèi)都穩(wěn)定。而非線性系統(tǒng)則可能在小范圍內(nèi)穩(wěn)定，大范圍內(nèi)不穩(wěn)定。能在小范圍內(nèi)穩(wěn)定，

4、大范圍內(nèi)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件( )( )( )()()()iiiiiC sB sR sspsjsj系統(tǒng)在脈沖信號下的響應為( )(cossin)iip ttiiiiic tceeAtBt 當pi和i都為負值時,隨時間趨于無窮,響應趨于零.系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件: 系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部, 或系統(tǒng)的極點全部在S平面左半部若特征根在若特征根在S右半平面，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。右半平面，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若特征根在虛軸上，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。若特征根在虛軸上，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。9.2 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 勞斯判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:特征方程

5、的系數(shù)全部為正,且不為零.120121( )nnnnnD sa sa sa sasa特征方程特征方程024113511232121101nnnsaaasaaasbbbseesfsg勞斯陣列120311140521a aa abaa aa aba 分母為該元素上一行第一列元素; 分子為上兩行第一列元素和后一列兩個元素交叉乘積之差勞斯判據(jù): 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為勞斯陣列的第一列元素不改變符號. 若第一列元素改變符號,則系統(tǒng)不穩(wěn)定.且符號改變的次數(shù)等于正實根的個數(shù).例43223450ssss432101352402 3 1 42 5 1 015221 42 56015sssss 分析如下系統(tǒng)在穩(wěn)

6、定的情況下，系數(shù)分析如下系統(tǒng)在穩(wěn)定的情況下，系數(shù)滿足的條件滿足的條件20120a sa sa0120,0,0aaa32101230a sa sa sa01212030,0,0aaaa aa a， 特例1: 勞斯陣列某一行的第一列元素為零,其余各項不為零.解決辦法：用很小的正數(shù)代替零元素,繼續(xù)計算,完成陣列4321013126001621sssss 43223610ssss 例: 特例2:某一行元素全部為零解決辦法：用該行上一行元素構成輔助多項式,取輔助多項式的一階導數(shù)所得到的系數(shù)代替零行543255660sssss54321015615641002.560.406ssssss42356410s

7、sss輔助多項式求導例: 在這種情況下，系統(tǒng)有特征方在這種情況下，系統(tǒng)有特征方程的根在虛軸上。程的根在虛軸上。 求解輔助方程可以求得在虛軸上求解輔助方程可以求得在虛軸上的根的大小。的根的大小。勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應用2(1)(2)Ks sss 確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍值范圍2(1)(2)Ks sssK 閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程特征方程4323320ssss K43210133207392070sKssKsKsK1408KK的取值范圍的取值范圍9.3 乃奎斯特判據(jù)（前曲） 利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性確定系統(tǒng)閉環(huán)以后的穩(wěn)定性 柯西是法國數(shù)學家柯西是法國數(shù)學家.178

8、9.1789年年 - 1857- 1857年年 一生發(fā)表了一生發(fā)表了789789篇論文，出版專著篇論文，出版專著7 7本，全集本，全集共有十四開本共有十四開本2424卷卷 柯西對數(shù)學的最大貢獻是在微積分中引進了柯西對數(shù)學的最大貢獻是在微積分中引進了清晰和嚴格的表述與證明方法清晰和嚴格的表述與證明方法. .另一個重要另一個重要貢獻，是發(fā)展了復變函數(shù)的理論貢獻，是發(fā)展了復變函數(shù)的理論. . 數(shù)學中以他的姓名命名的有：柯西積分、柯數(shù)學中以他的姓名命名的有：柯西積分、柯西公式、柯西不等式、柯西定理、柯西函數(shù)、西公式、柯西不等式、柯西定理、柯西函數(shù)、柯西矩陣、柯西變換、柯西準則柯西矩陣、柯西變換、柯西準

9、則. . 1. 映射定理映射定理1( )(2)(3)sF sss123bacps試驗點試驗點1()(2)(3)ppppsF sss如何求如何求F(sp)的幅值和相角的幅值和相角?1()(2)(3)ppppsF sss幅值幅值cMa b相角相角123ps( )F s()pF s映射映射s planeF(s) plane s 平面的封閉軌跡映射為平面的封閉軌跡映射為F(s) 平平面上的封閉軌跡面上的封閉軌跡Sp保角變換保角變換 s 平面包圍平面包圍1個零點個零點ABDCF(s) 平面映射軌跡平面映射軌跡 S平面順時針包圍零點的軌跡映射為平面順時針包圍零點的軌跡映射為F(s)平面順時針包圍原點的軌跡

10、。平面順時針包圍原點的軌跡。 ABDC s 平面包圍一個極點平面包圍一個極點F(s) 平面映射軌跡平面映射軌跡 S平面順時針包圍極點的軌跡映射為平面順時針包圍極點的軌跡映射為F(s)平面逆時針包圍原點的軌跡。平面逆時針包圍原點的軌跡。 ABDC軌跡不包圍極零點軌跡不包圍極零點F(s) 平面映射軌跡平面映射軌跡Cauchys theorem S平面順時針包圍平面順時針包圍 P 個極點和個極點和 Z個零點的個零點的軌跡映射為軌跡映射為F(s) 平面以順時針包圍原點平面以順時針包圍原點N=Z-P的軌跡的軌跡幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理Example1( )1sF ss S contour encircle a pole S contour encirc