高數(shù)【第01章】01-04.

1、1高等教育出版社高等教育出版社王雪標王雪標 王拉娣王拉娣 聶高輝聶高輝教育科學教育科學“十五十五”國家規(guī)劃課題研究成果國家規(guī)劃課題研究成果制作人：制作人：張興永張興永 張張 艷艷 張祥之張祥之 索新麗索新麗 ( (上冊上冊) )2教材教材:主要參考課件主要參考課件: :高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案微積分微積分王雪標王雪標 王拉娣王拉娣 聶高輝聶高輝高等教育出版社高等教育出版社. 李安昌等李安昌等 制作制作3第第1 1章章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)1.51.5 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.1 1.1 函數(shù)的概念及基本特性函數(shù)的概念及基本特性1.21.2 復合函數(shù)與反函數(shù)復合函數(shù)與反函數(shù)1

2、.3 1.3 初等函數(shù)初等函數(shù)1.41.4 簡單的經濟函數(shù)簡單的經濟函數(shù)1.6 1.6 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量41.7 1.7 極限的性質與運算法則極限的性質與運算法則1.8 1.8 極限存在性準則與兩個重要極限極限存在性準則與兩個重要極限1.9 1.9 無窮小量的比較與等價代換無窮小量的比較與等價代換1.10 1.10 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性51.1 1.1 函數(shù)的概念及基本特性函數(shù)的概念及基本特性一、概念一、概念二、函數(shù)的基本特性二、函數(shù)的基本特性6.具具有有特特定定性性質質xxM 有限集有限集無限集無限集1 1、集合集合; 9 , 2 , 1 , 0M如如.1),( 22

3、2yxyxM如如一、概念一、概念; BxAxxBA且且如如. BxAxxBA或者或者(1)(1)子集；子集；、集合間的關系、集合間的關系(2)集合相等；集合相等； (3)空集空集.、集合間的運算、集合間的運算7N-N-自然數(shù)集，自然數(shù)集，Z-Z-整數(shù)集，整數(shù)集，Q-Q-有理數(shù)集，有理數(shù)集，R-R-實數(shù)集實數(shù)集. .數(shù)集間的關系數(shù)集間的關系.,RQQZZN5 5、區(qū)間與記號、區(qū)間與記號.,baRba且且oxab開區(qū)間開區(qū)間. ),(bxaba4 4、常用數(shù)的集合、常用數(shù)的集合8. ,bxaxba閉區(qū)間閉區(qū)間oxab; ),bxaxba. ,(bxaxba半開區(qū)間半開區(qū)間9; ),xaxa; ),

4、(bxxb無窮區(qū)間無窮區(qū)間. ),(Rxx10、鄰域、鄰域開區(qū)間開區(qū)間且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設設.,00 x，記作記作),(0 xU叫叫做做這這叫叫做做這這鄰鄰域域的的中中心心點點,0 x. ),(000 xxxxxU即即鄰域鄰域的去心的的去心的點點0 x,鄰域鄰域的的稱為點稱為點0 x0 x)(0 x0 x),(00 xx.域域的的半半徑徑;000 ),(xxx鄰域鄰域的左的左點點0 x;00),(xx鄰域鄰域的右的右點點0 x.00),(xx鄰鄰11、函數(shù)概念及其表示法、函數(shù)概念及其表示法引例引例 勻速直線運動勻速直線運動;0),ttvs圓的面積與半徑的關系圓的面積與半徑的關系.02

5、),(,rrA函數(shù)的定義函數(shù)的定義是兩個變量，是兩個變量，和和設設yx是非空的數(shù)集，是非空的數(shù)集，D按照一定法則按照一定法則變量變量如果對于每個數(shù)如果對于每個數(shù)yDx,應，應，總有確定的數(shù)值和它對總有確定的數(shù)值和它對的函數(shù)，的函數(shù)，是是則稱則稱xy12)(xfy 記作記作x稱為自變量；稱為自變量；y稱為因變量；稱為因變量；x的取值范圍的取值范圍D D稱為函數(shù)的定義域稱為函數(shù)的定義域. .全體函數(shù)值所構成的集合稱為函數(shù)的值域全體函數(shù)值所構成的集合稱為函數(shù)的值域. .函數(shù)圖形函數(shù)圖形xyabxyxysin如如的函數(shù)，的函數(shù)，是是xy), 0定定義義域域為為.,11值域為值域為13(1)(1)函數(shù)的

6、二要素函數(shù)的二要素（1 1）定義域）定義域； （2 2）對應規(guī)律）對應規(guī)律. .說明說明.cos)(,sin)(221xxgxxf如如).()(xgxf例例1 1 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域;)(21112xxy解解,021xx由由故定義域為故定義域為).,(),(),11112D.2域域會求函數(shù)的定義域及值會求函數(shù)的定義域及值)(14.2112)(lg)(arccos)(xxy解解 因因，11 x，021x即即，20 x.21x故定義域為故定義域為).,210D15、分段函數(shù)、分段函數(shù).函函數(shù)數(shù)用用幾幾個個式式子子表表示示的的一一個個，例如例如010122xxxxxf,)(12 x

7、y12 xy，定定義義域域),(D )2(f, 3)(3f. 5169 9、幾個特殊的分段函數(shù)、幾個特殊的分段函數(shù)(1)(1)絕對值函數(shù)絕對值函數(shù);,00 xxxxxy圖形圖形xy xyo(2)(2)狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù),RxQxQxy01，其中其中Q Q為有理數(shù)集為有理數(shù)集; ;17 (3) (3) 符號函數(shù)符號函數(shù).,sgn010001xxxxy當當當當當當1-1x xy yo o.xxxsgn圖形圖形);,(D定定義義域域.101 ，值域值域W18(4) (4) 取整函數(shù)取整函數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3x xy yo o階梯曲線階

8、梯曲線53, 0 3, 1 8, 88 . 3. 4圖形：圖形： x x 表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù). .xy=y= x x 如如),(D定定義義域域.ZW 值域值域19二、函數(shù)的基本特性二、函數(shù)的基本特性1 1、函數(shù)的單調性、函數(shù)的單調性,Dxx21當當21xx 時,),()()(211xfxf若若,)(上上的的單單調調增增加加函函數(shù)數(shù)為為稱稱Dxf.3嚴格單增嚴格單增如如xyxy,?2xy 設函數(shù)設函數(shù))(xf在某區(qū)間在某區(qū)間D上有定義，上有定義， 對于任意對于任意記作記作.f若無等號則稱嚴格單調增加，記作若無等號則稱嚴格單調增加，記作.嚴嚴f),()()2(21xfxf若

9、若,)(上的單調減少函數(shù)上的單調減少函數(shù)為為稱稱Dxf記作記作.f若無等號則稱嚴格單調減少，記作若無等號則稱嚴格單調減少，記作.嚴嚴f20,)(,成立成立恒有恒有）若存在）若存在（MxfDxM 012 2、函數(shù)的有界性、函數(shù)的有界性）上有界，）上有界，在（在（22xxycos）上有界，）上有界，在（在（ 2112xy .10 ）上無界）上無界，在（在（.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Dxf設函數(shù)設函數(shù))(xf在集合在集合D上有定義上有定義. .則稱則稱成立成立恒有恒有）若存在）若存在（,)(,MxfDxM2.)(上上有有上上界界在在函函數(shù)數(shù)Dxf則則稱稱成成立立恒恒有

10、有）若若存存在在（,)(,MxfDxM3.)(上上有有下下界界在在函函數(shù)數(shù)Dxf顯然，有界函數(shù)必有上界和下界，反之也成立顯然，有界函數(shù)必有上界和下界，反之也成立. .21有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD，)()(xfxf;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf y yx x)(xfo ox-x)(xfy 3 3、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的奇偶性22偶函數(shù)偶函數(shù)有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD，)()(xfxfy yx x)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf均偶函數(shù)；均偶函數(shù)；如如242xxxgxxf)(,cos)(xxxf

11、xxf11231ln)(,)(均為奇函數(shù)；均為奇函數(shù)；xxxfcos)(3.都不是都不是23例例2 2 判別下列函數(shù)的奇偶性判別下列函數(shù)的奇偶性；）（)ln()(1121xxxf解解（1）,Rx有有)(ln()(121xxxfxx112ln)ln(12xx),(xf1故故)(xf1是是R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù). .24.,)(010122xexexfxx）（解解 （2）,Rx有有.,)()()(01012xexexfxx.,0101xexexx.),(,),(0101xexexx),(xf2故故)(xf2是是R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù). .254 4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性通常說周期函數(shù)的周

12、期是指其最小正通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期. .,0lDx, )()(xflxf使使.)(為周期函數(shù)為周期函數(shù)稱稱xfxo2y2xysin如如周期為周期為.例例3 3 求函數(shù)求函數(shù)xxxfcossin)(的周期的周期. .解解,Rx恒有恒有)cos()sin()(222xxxfxxsincos),(xf故故2是是)(xf的周期的周期. .261.2 1.2 復合函數(shù)與反函數(shù)復合函數(shù)與反函數(shù)一、復合函數(shù)一、復合函數(shù)二、反函數(shù)二、反函數(shù)27一、復合函數(shù)一、復合函數(shù),uy 設設,21xu21xy定義定義1 1,自自變變量量x,中中間間變變量量u.因變量因變量y注意注意 1. 1.不是任何

13、兩個函數(shù)都可以復合成一個復不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的合函數(shù)的; ;,arcsinuy 例如例如,22xu)arcsin(22xy282 2、復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經過復合構成、復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經過復合構成. .2xycot,uy ,cotvu .2xv 例如例如可由下列三個函數(shù)復合而成可由下列三個函數(shù)復合而成例例1 1 設設,)(1uufy，)lg()(21xxgu求求)(xgfy 及其定義域及其定義域. .解解由于由于)(xgfy,)lg(112 x又又), 1fD而而112)lg(x的解集是的解集是, 3x)(xgfy 故故的定義域為的定義域為).,(33

14、 29例例2 2 已知已知,)(xxxf1設設),()(xffxf2),()(xffxf23,),()(xffxfnn1求求).)(2nxfn解解因因)()(xffxf2)()(xfxf1,xx21而而)()(xffxf23)()(xfxf221,xx31故由數(shù)學歸納法得故由數(shù)學歸納法得)(xfn.nxx130二、反函數(shù)二、反函數(shù)例如例如 由函數(shù)由函數(shù)12xy 解出解出,21yx則稱函數(shù)則稱函數(shù)21yx是函數(shù)是函數(shù)12xy的反函數(shù)的反函數(shù). .一般地一般地定義定義2 2設函數(shù)設函數(shù))(xfy 的定義域為的定義域為,fD其值域為其值域為,fZy,fZy如果對于每個數(shù)如果對于每個數(shù)都有唯一的對應值

15、都有唯一的對應值fDx滿足滿足),(xfy 則稱則稱x是定義在是定義在fZ上上以以為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù). .記此函數(shù)為記此函數(shù)為,),(fZyyfx1并稱其為并稱其為)(xfy 的反函數(shù)的反函數(shù). .31說明說明1 1、)(xfy 的反函數(shù)也可記作為的反函數(shù)也可記作為.),(fZxxfy1 2 2、易知，一一對應是一個函數(shù)存在反函數(shù)的充要、易知，一一對應是一個函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件條件. . 3 3、嚴格單調函數(shù)必有反函數(shù)，且單調增加（單調、嚴格單調函數(shù)必有反函數(shù)，且單調增加（單調減少）函數(shù)的反函數(shù)也單調增加（單調減少），但單減少）函數(shù)的反函數(shù)也單調增加（單調減少），但單值函數(shù)的反函

16、數(shù)不一定是單值函數(shù)值函數(shù)的反函數(shù)不一定是單值函數(shù). .2xy 的反函數(shù)有兩支的反函數(shù)有兩支.xy如函數(shù)如函數(shù)例如例如),(,xeyx對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)),(,ln0 xxy互為反函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調遞增它們都單調遞增, ,其圖形關于直線其圖形關于直線xy 對稱對稱 . .指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)32)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy反函數(shù)反函數(shù)對稱；對稱；圖形關于圖形關于、原函數(shù)與其反函數(shù)的、原函數(shù)與其反函數(shù)的xy 433例例3 3 設設,arcsin0112fDxy求反函數(shù)求反函數(shù))(xf1及其定義域和值域及其定義域和值域. .解解 由由,arcsin0112f

17、Dxy和和,20fZ可得可得,sin yx 21即即,cos yx22故反函數(shù)為故反函數(shù)為,cos)(xxfy1其定義域為其定義域為,20fZD值域為值域為.01 ,fDZ34例例4. 4. 求求,ln,21210 01 12xexxxxyx的反函數(shù)及其定義域的反函數(shù)及其定義域. .解解時時，當當01x, ,(102 xy,(,10yyx時，時，當當10 x, ,(ln0 xy時時，當當21 x, ,(eeyx2221.,(,0 xeyx反函數(shù)反函數(shù).,(,10 xxy反函數(shù)反函數(shù)，,(,0yexy即即即即35反函數(shù)反函數(shù)y.2212,(,lnexx，,(,10 xx，,(,0 xex定義域為

18、定義域為.,(,(e221 ，,(,lneyxy2212反函數(shù)反函數(shù).,(,lnexyx2212即即361.3 1.3 初等函數(shù)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)二、初等函數(shù)二、初等函數(shù)37一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)1 1、常數(shù)函數(shù)、常數(shù)函數(shù)).( 為常數(shù)為常數(shù)CCy 2 2、冪函數(shù)冪函數(shù). )( 是是常常數(shù)數(shù)xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 383 3、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，),(10aaayxxay xay)(1)1( a)1 , 0( .xey 394 4、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，),(log10aaxya. xylnxyalogxya1log)(1a)0 ,

19、 1( 405 5、三角函數(shù)、三角函數(shù)（1 1）正弦函數(shù)）正弦函數(shù)xysin. xysinxycos. xycos（2 2）余弦函數(shù)）余弦函數(shù)41（3 3）正切函數(shù)）正切函數(shù). xytanxytan. xycot（4 4）余切函數(shù)）余切函數(shù)xycot42（5 5）正割函數(shù)）正割函數(shù). xysecxysec. xycsc（6 6）余割函數(shù)）余割函數(shù)xycsc436 6、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)xyarcsin.1xyarcsin)(反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos.2xyarccos)(反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)44xyarctan.3xyarctan)(反反正正切切函函數(shù)數(shù).4xarcycot)(

20、反余切函數(shù)反余切函數(shù)xarcycot 常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù), ,指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù), ,對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù), ,三角三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù). .45例例1 1 求函數(shù)求函數(shù)xycos在區(qū)間在區(qū)間,0上的反函數(shù)上的反函數(shù). .解解 因為因為xycos在在,0上單調增加，上單調增加， 故存在反函數(shù)故存在反函數(shù). .方法方法1 1由于由于, 0 x故故,x0又又),cos(cosxxy因此因此,arccos yx 故反函數(shù)為故反函數(shù)為.,arccos011yxxy方法方法2 2, 0 x由于由于由于由于故故,222x),sin(cos2xxy

21、因此因此,arccos yx2故反函數(shù)為故反函數(shù)為.,arcsin0112yxxy46二、初等函數(shù)二、初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和有限次的由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù)函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù), ,稱稱為初等函數(shù)為初等函數(shù). . 例如例如xxyxysin,cot22都是初等函數(shù)都是初等函數(shù). . 注意注意 分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，但如果能化分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，但如果能化成用一個式子表示，則看成是初等函數(shù)成用一個式子表示，則看成是初等函數(shù). .例如例如,2xy y，0 xx ,，0 xx ,可表為可表

22、為故為初等函數(shù)故為初等函數(shù).471.4 1.4 簡單的經濟函數(shù)簡單的經濟函數(shù)一、成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù)一、成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù) 二、需求函數(shù)和供應函數(shù)二、需求函數(shù)和供應函數(shù)48一、成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù)一、成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù) 1 1、成本函數(shù)、成本函數(shù) 生產生產q q單位的產品，其成本由固定成本和可單位的產品，其成本由固定成本和可變成本兩部分組成變成本兩部分組成固定成本固定成本0C與產量與產量q q無關，無關，可變成本可變成本)(1qC是產量是產量q q的增函數(shù)的增函數(shù). .成本成本= =固定成本固定成本+ +可變成本，可變成本，即成本函數(shù)即成本函數(shù)),()(10

23、qCCqC平均成本函數(shù)平均成本函數(shù)qqCqC)()(（單位產品的成本）（單位產品的成本）. .492 2、收益函數(shù)、收益函數(shù)若單位的產品的價格為若單位的產品的價格為p,p,產品的銷售量為產品的銷售量為q,q,則則收益收益= =價格價格銷量銷量. .價格價格p p是常數(shù)或是銷售量是常數(shù)或是銷售量q q的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作),(qP收益函數(shù)收益函數(shù). qqPqR)()(3 3、利潤函數(shù)、利潤函數(shù)若產銷平衡，即產量與銷售量相等，則若產銷平衡，即產量與銷售量相等，則利潤利潤= =收益收益成本成本. .利潤函數(shù)利潤函數(shù)).()()(qCqRqL50 例例1 1 某制劑廠最大日產量為某制劑廠最大日產量

24、為m m噸，已知固定成噸，已知固定成本為本為a a元，每多生產元，每多生產1 1噸消毒劑，成本增加噸消毒劑，成本增加k k 元元. .若若每噸消毒劑的售價為每噸消毒劑的售價為p p元，假設產銷平衡，試求成元，假設產銷平衡，試求成本函數(shù)、平均成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù)本函數(shù)、平均成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù) . .解解 設制劑廠日產量為設制劑廠日產量為q q噸，噸，,mq0則則成本函數(shù)成本函數(shù),)(kqaqC平均成本函數(shù)平均成本函數(shù),)()(kqaqqCqC;,mq0;,mq0收益函數(shù)收益函數(shù)，qpqR)(;,mq0利潤函數(shù)利潤函數(shù)，aqkpqCqRqL)()()()(.,mq051二、需求函

25、數(shù)和供應函數(shù)二、需求函數(shù)和供應函數(shù)1 1、需求函數(shù)、需求函數(shù)通常商品的需求量通常商品的需求量q q是價格是價格 p的函數(shù)，稱為需求的函數(shù)，稱為需求 函數(shù)函數(shù). .記為記為).(PDq 一般來說，需求函數(shù)是價格的減函數(shù)，一般來說，需求函數(shù)是價格的減函數(shù)，需求函數(shù)的反函數(shù)稱為價格函數(shù)需求函數(shù)的反函數(shù)稱為價格函數(shù). .2 2、供給函數(shù)、供給函數(shù)某商品由于價格不同，生產此種商品的廠商（賣主）某商品由于價格不同，生產此種商品的廠商（賣主）對市場提供的總供給量（簡稱商品的供給量）將不同，對市場提供的總供給量（簡稱商品的供給量）將不同，商品的供給量商品的供給量q q也是價格也是價格p p的函數(shù)，稱為供給函數(shù)記的函數(shù)，稱為供給函數(shù)記為為 ).(pSq 52 一般說來，商品價格越高，生產廠商越愿意提供一般說來，商品價格越高，生產廠商越愿意提供產品，因此供給函數(shù)是一個增函數(shù)產品，因此供給函數(shù)是一個增函數(shù) 當市場上的需求量和供應量相等時當市場上的需求量和供應量相等時, ,需求關系需求關系和供給關系之間達到某種均衡和供給關系之間達到某種均衡, ,這時的價格這時的價格*p和需和需求量求量( (或供給量或供給量) )*q分別稱為