算法設(shè)計(jì)與分析歷年期末試題整理_含答案_

1、. 算法設(shè)計(jì)與分析歷年期末試題整理(含答案) 1用計(jì)算機(jī)求解問(wèn)題的步驟：1、問(wèn)題分析2、數(shù)學(xué)模型建立3、算法設(shè)計(jì)與選擇4、算法指標(biāo)5、算法分析6、算法實(shí)現(xiàn)7、程序調(diào)試8、結(jié)果整理文檔編制算法定義：算法是指在解決問(wèn)題時(shí)，按照*種機(jī)械步驟一定可以得到問(wèn)題結(jié)果的處理過(guò)程算法的三要素1、操作2、控制構(gòu)造3、數(shù)據(jù)構(gòu)造算法具有以下5 個(gè)屬性：有窮性：一個(gè)算法必須總是在執(zhí)行有窮步之后完畢，且每一步都在有窮時(shí)間完成。確定性：算法中每一條指令必須有確切的含義。不存在二義性。只有一個(gè)入口和一個(gè)出口可行性：一個(gè)算法是可行的就是算法描述的操作是可以通過(guò)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的根本運(yùn)算執(zhí)行有限次來(lái)實(shí)現(xiàn)的。輸入：一個(gè)算法有零個(gè)或多個(gè)輸

2、入，這些輸入取自于*個(gè)特定對(duì)象的集合。輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，這些輸出同輸入有著*些特定關(guān)系的量。算法設(shè)計(jì)的質(zhì)量指標(biāo)：正確性：算法應(yīng)滿(mǎn)足具體問(wèn)題的需求；可讀性：算法應(yīng)該好讀，以有利于讀者對(duì)程序的理解；強(qiáng)健性：算法應(yīng)具有容錯(cuò)處理，當(dāng)輸入為非法數(shù)據(jù)時(shí)，算法應(yīng)對(duì)其作出反響，而不是產(chǎn)生莫名其妙的輸出結(jié)果。效率與存儲(chǔ)量需求：效率指的是算法執(zhí)行的時(shí)間；存儲(chǔ)量需求指算法執(zhí)行過(guò)程中所需要的最大存儲(chǔ)空間。一般這兩者與問(wèn)題的規(guī)模有關(guān)。經(jīng)常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、貪婪法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、回溯法、分支限界法迭代法也稱(chēng)輾轉(zhuǎn)法，是一種不斷用變量的舊值遞推出新值的解決問(wèn)題的方法。利用迭代算法解決問(wèn)題，需要做

3、好以下三個(gè)方面的工作：一、確定迭代模型。在可以用迭代算法解決的問(wèn)題中，至少存在一個(gè)直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式或關(guān)系。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問(wèn)題的關(guān)鍵，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法來(lái)完成。對(duì)迭代過(guò)程進(jìn)展控制。在什么時(shí)候完畢迭代過(guò)程？這是編寫(xiě)迭代程序必須考慮的問(wèn)題。不能讓迭代過(guò)程無(wú)休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過(guò)程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來(lái)；另一種是所需的迭代次數(shù)無(wú)法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制；對(duì)于后一

4、種情況，需要進(jìn)一步分析出用來(lái)完畢迭代過(guò)程的條件。編寫(xiě)計(jì)算斐波那契Fibonacci數(shù)列的第n 項(xiàng)函數(shù)fibn。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、，即：fib(0)=0; fib(1)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) 當(dāng)n1時(shí)。寫(xiě)成遞歸函數(shù)有： int fib(int n) if (n=0) return 0; if (n=1) return 1; if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2); 一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)場(chǎng)，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問(wèn)到第 12 個(gè)月時(shí)，該

5、飼養(yǎng)場(chǎng)共有兔子多少只？分析：這是一個(gè)典型的遞推問(wèn)題。我們不妨假設(shè)第 1 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 1 ，第 2 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 2 ，第 3 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 3 ，根據(jù)題意，這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)場(chǎng)，每月新生一只兔子，則有u 1 1 ， u 2 u 1 u 1 1 2 ， u 3 u 2 u 2 1 4 ，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞推公式： u n u n 1 2 (n 2) 對(duì)應(yīng) u n 和 u n 1 ，定義兩個(gè)迭代變量 y 和 * ，可將上面的遞推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系： y=*2 *=y 讓計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行 11 次，就可以算出第 12 個(gè)月時(shí)的兔子

6、數(shù)。參考程序如下： cls 分而治之法1、分治法的根本思想 *=1 for i=2 to 12 y=*2 *=y ne*t i print y end 任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模N 有關(guān)。問(wèn)題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于n 個(gè)元素的排序問(wèn)題，當(dāng)n=1 時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2 時(shí)，只要作一次比擬即可排好序；n=3 時(shí)只要作3 次比擬即可，。而當(dāng)n 較大時(shí)，問(wèn)題就不則容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問(wèn)題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的一樣問(wèn)題，以便各個(gè)擊破，分而治之。分治

7、法所能解決的問(wèn)題一般具有以下幾個(gè)特征：1該問(wèn)題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決；2該問(wèn)題可以分解為假設(shè)干個(gè)規(guī)模較小的一樣問(wèn)題，即該問(wèn)題具有最優(yōu)子構(gòu)造性質(zhì)；利用該問(wèn)題分解出的子問(wèn)題的解可以合并為該問(wèn)題的解；該問(wèn)題所分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相互獨(dú)立的，即子問(wèn)題之間不包含公共的子子問(wèn)題。 3、分治法的根本步驟分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：分解：將原問(wèn)題分解為假設(shè)干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問(wèn)題形式一樣的子問(wèn)題；解決：假設(shè)子問(wèn)題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問(wèn)題；合并：將各個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解?？焖倥判蛟谶@種方法中， n 個(gè)元素被分成三段組：左段l e f t，右段r

8、i g h t 和中段m i d d l e。中段僅包含一個(gè)元素。左段中各元素都小于等于中段元素，右段中各元素都大于等于中段元素。因此l e f t 和r i g h t 中的元素可以獨(dú)立排序，并且不必對(duì)l e f t 和r i g h t 的排序結(jié)果進(jìn)展合并。m i d d l e 中的元素被稱(chēng)為支點(diǎn)( p i v o t )。圖1 4 - 9 中給出了快速排序的偽代碼。/ /使用快速排序方法對(duì)a 0 :n- 1 排序從a 0 :n- 1 中選擇一個(gè)元素作為m i d d l e，該元素為支點(diǎn)把余下的元素分割為兩段left 和r i g h t，使得l e f t 中的元素都小于等于支點(diǎn)，而

9、right 中的元素都大于等于支點(diǎn)遞歸地使用快速排序方法對(duì)left 進(jìn)展排序遞歸地使用快速排序方法對(duì)right 進(jìn)展排序所得結(jié)果為l e f t + m i d d l e + r i g h t 考察元素序列 4 , 8 , 3 , 7 , 1 , 5 , 6 , 2 。假設(shè)選擇元素6 作為支點(diǎn)，則6 位于m i d d l e；4，3，1，5，2 位于l e f t；8，7 位于r i g h t。當(dāng)left 排好序后，所得結(jié)果為1，2，3，4，5；當(dāng)r i g h t 排好序后，所得結(jié)果為7，8。把right 中的元素放在支點(diǎn)元素之后， l e f t 中的元素放在支點(diǎn)元素之前，即可得到

10、最終的結(jié)果 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 。把元素序列劃分為l e f t、m i d d l e 和r i g h t 可以就地進(jìn)展見(jiàn)程序1 4 - 6。在程序1 4 - 6 中，支點(diǎn)總是取位置1 中的元素。也可以采用其他選擇方式來(lái)提高排序性能，本章稍. 后局部將給出這樣一種選擇。程序14-6 快速排序template void QuickSort(T*a, int n) / 對(duì)a0:n-1 進(jìn)展快速排序/ 要求an 必需有最大關(guān)鍵值quickSort(a, 0, n-1); template void quickSort(T a, int l, int r)

11、/ 排序a l : r ， ar+1 有大值if (l = r) return; int i = l, / 從左至右的游標(biāo)j = r + 1; / 從右到左的游標(biāo)T pivot = al; / 把左側(cè)= pivot 的元素與右側(cè)= pivot 的元素i = i + 1; while (a pivot); do / 在右側(cè)尋找 pivot); if (i = j) break; / 未發(fā)現(xiàn)交換對(duì)象. Swap(a, aj); / 設(shè)置p i v o t al = aj; 貪婪法aj = pivot; quickSort(a, l, j-1); / 對(duì)左段排序quickSort(a, j+1, r

12、); / 對(duì)右段排序 它采用逐步構(gòu)造最優(yōu)解的思想，在問(wèn)題求解的每一個(gè)階段，都作出一個(gè)在一定標(biāo)準(zhǔn)下看上去最優(yōu)的決策；決策一旦作出，就不可再更改。制定決策的依據(jù)稱(chēng)為貪婪準(zhǔn)則。貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿(mǎn)意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿(mǎn)意的解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須消耗的大量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)前情況為根底作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯?！締?wèn)題】背包問(wèn)題問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n 件，求從這n 件物品中選取一局部物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。#include void ma

13、in() int m,n,i,j,w50,p50,pl50,b50,s=0,ma*; printf(輸入背包容量m,物品種類(lèi)n :); scanf(%d %d,&m,&n); for(i=1;i=n;i=i+1) printf(輸入物品的重量W 和價(jià)值P :); scanf(%d %d,&wi,&pi); pli=pi; s=s+wi; if(s=m) printf(whole choosen); /return; for(i=1;i=n;i=i+1) ma*=1; for(j=2;jplma*/wma*) ma*=j; plma*=0; bi=ma*; for(i=1,s=0;sm & i=

14、n;i=i+1) s=s+wbi; if(s!=m) wbi-1=m-wbi-1; for(j=1;j=i-1;j=j+1) printf(choose weight %dn,wbj); 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的根本思想前文主要介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)，我們將前文所說(shuō)的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動(dòng)態(tài)規(guī)劃稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，這種標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問(wèn)題時(shí)推導(dǎo)出來(lái)的，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，適合用于理論上的分析。在實(shí)際應(yīng)用中，許多問(wèn)題的階段劃分并不明顯，這時(shí)如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來(lái)說(shuō)，只要該問(wèn)題可以劃分成規(guī)模更小的子問(wèn)題，并且原問(wèn)題的最優(yōu)解中包含了子問(wèn)題的最優(yōu)解即滿(mǎn)足最優(yōu)子化原理，則

15、可以考慮用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將問(wèn)題實(shí)例分解為更小的、相似的子問(wèn)題，并存儲(chǔ)子問(wèn)題的解而防止計(jì)算重復(fù)的子問(wèn)題，以解決最優(yōu)化問(wèn)題的算法策略。由此可知，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類(lèi)似，它們都是將問(wèn)題實(shí)例歸納為更小的、相似的子問(wèn)題，并通過(guò)求解子問(wèn)題產(chǎn)生一個(gè)全局最優(yōu)解。貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴(lài)已經(jīng)作出的所有選擇，但不依賴(lài)于有待于做出的選擇和子問(wèn)題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇；而分治法中的各個(gè)子問(wèn)題是獨(dú)立的即不包含公共的子問(wèn)題，因此一旦遞歸地求出各子問(wèn)題的解后，便可自下而上地將子問(wèn)題的解合并成問(wèn)題的解。缺乏之處：如果當(dāng)前選擇可能要依賴(lài)子問(wèn)

16、題的解時(shí)，則難以通過(guò)局部的貪心策略到達(dá)全局最優(yōu)解；如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問(wèn)題。解決上述問(wèn)題的方法是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題會(huì)有多種可能的解，每個(gè)解都有一個(gè)值，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)最大或最小值的解。假設(shè)存在假設(shè)干個(gè)取最優(yōu)值的解的話(huà)，它只取其中的一個(gè)。在求解過(guò)程中，該方法也是通過(guò)求解局部子問(wèn)題的解到達(dá)全局最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是，動(dòng)態(tài)規(guī)劃允許這些子問(wèn)題不獨(dú)立，亦即各子問(wèn)題可包含公共的子問(wèn)題也允許其通過(guò)自身子問(wèn)題的解作出選擇，該方法對(duì)每一個(gè)子問(wèn)題只解一次，并將結(jié)果保存起來(lái)，防止每次碰到時(shí)都要重復(fù)計(jì)算。因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃

17、法所針對(duì)的問(wèn)題有一個(gè)顯著的特征，即它所對(duì)應(yīng)的子問(wèn)題樹(shù)中的子問(wèn)題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，對(duì)于重復(fù)出現(xiàn)的子問(wèn)題，只在第一次遇到時(shí)加以求解，并把答案保存起來(lái)，讓以后再遇到時(shí)直接引用，不必重新求解。3、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的根本步驟設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通?？砂匆韵聨讉€(gè)步驟進(jìn)展：劃分階段：按照問(wèn)題的時(shí)間或空間特征，把問(wèn)題分為假設(shè)干個(gè)階段。注意這假設(shè)干個(gè)階段一定要是有序的或者是可排序的即無(wú)后向性，否則問(wèn)題就無(wú)法用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。選擇狀態(tài)：將問(wèn)題開(kāi)展到各個(gè)階段時(shí)所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來(lái)。當(dāng)然，狀態(tài)的選擇要滿(mǎn)足無(wú)后效性。確定決策并寫(xiě)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把這兩步放在一起，是因?yàn)闆Q

18、策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來(lái)導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以，如果我們確定了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫(xiě)出來(lái)了。但事實(shí)上，我們常常是反過(guò)來(lái)做，根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來(lái)確定決策。寫(xiě)出規(guī)劃方程包括邊界條件：動(dòng)態(tài)規(guī)劃的根本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。一般說(shuō)來(lái)，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了，這一步還是比擬簡(jiǎn)單的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論上的設(shè)計(jì)，一旦設(shè)計(jì)完成，實(shí)現(xiàn)局部就會(huì)非常簡(jiǎn)單。根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的根本方程可以直接遞歸計(jì)算最優(yōu)值，但是一般將其改為遞推計(jì)算，實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下：標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的根本框架1. 對(duì)fn+1(*n+1)初始化; 邊界條件 for k

19、:=n downto 1 do for 每一個(gè)*k*k do for 每一個(gè)ukUk(*k) do begin fk(*k):=一個(gè)極值; 或 *k+1:=Tk(*k,uk); 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 t:=(fk+1(*k+1),vk(*k,uk); 根本方程(9)式 if t比f(wàn)k(*k)更優(yōu) then fk(*k):=t; 計(jì)算fk(*k)的最優(yōu)值 end; t:=一個(gè)極值; 或 for 每一個(gè)*1*1 do if f1(*1)比t更優(yōu) then t:=f1(*1); 按照10 式求出最優(yōu)指標(biāo) 輸出t; 但是，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，而是按以下幾個(gè)步驟進(jìn)展：分析最優(yōu)解的性

20、質(zhì)，并刻劃其構(gòu)造特征。遞歸地定義最優(yōu)值。以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方法備忘錄法計(jì)算出最優(yōu)值。根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)解。步驟13是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的根本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形，步驟4可以省略，假設(shè)需要求出問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)解，則必須執(zhí)行步驟4。此時(shí)，在步驟3中計(jì)算最優(yōu)值時(shí)，通常需記錄更多的信息，以便在步驟4中，根據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)造出一個(gè)最優(yōu)解?？偨Y(jié)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)際上就是最優(yōu)化的問(wèn)題，是指將原問(wèn)題的大實(shí)例等價(jià)于同一最優(yōu)化問(wèn)題的較小實(shí)例，自底向上的求解最小實(shí)例，并將所求解存放起來(lái)，存放的結(jié)果就是為了準(zhǔn)備數(shù)據(jù)。與遞歸相比，遞歸是不斷的調(diào)用子程序求解，是自頂向下的調(diào)用和求

21、解。回溯法回溯法也稱(chēng)為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問(wèn)題規(guī)模大小的限制，并將問(wèn)題的候選解按*種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘假設(shè)當(dāng)前候選解除了還不滿(mǎn)足問(wèn)題規(guī)模要求外，滿(mǎn)足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿(mǎn)足包括問(wèn)題規(guī)模在的所有要求時(shí)，該候選解就是問(wèn)題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過(guò)程稱(chēng)為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過(guò)程稱(chēng)為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問(wèn)題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于的由n元組*1，*2，*n組成的一個(gè)狀態(tài)空間E=*1，*2，*n*iSi，i=1，2，

22、n，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿(mǎn)足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量*i的定義域，且 |Si| 有限，i=1，2，n。我們稱(chēng)E中滿(mǎn)足D的全部約束條件的任一n元組為問(wèn)題P 的一個(gè)解。解問(wèn)題P 的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E 中的所有n 元組逐一地檢測(cè)其是否滿(mǎn)足D 的全部約束，假設(shè)滿(mǎn)足，則為問(wèn)題P 的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問(wèn)題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組*1，*2，*i滿(mǎn)足D中僅涉及到*1，*2，*i的所有約束意味著jjj。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問(wèn)題P，一旦檢測(cè)斷定*個(gè)j元組*1，*2，*j違反D中僅涉及*1，*

23、2，*j的一個(gè)約束，就可以肯定，以*1，*2，*j為前綴的任何n元組*1，*2，*j，*j+1，*n都不會(huì)是問(wèn)題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮菔轻槍?duì)這類(lèi)問(wèn)題，利用這類(lèi)問(wèn)題的上述性質(zhì)而提出來(lái)的比枚舉法效率更高的算法?；厮莘ㄊ紫葘?wèn)題P 的n 元組的狀態(tài)空間E 表示成一棵高為n 的帶權(quán)有序樹(shù)T，把在E 中求問(wèn)題P 的所有解轉(zhuǎn)化為在T 中搜索問(wèn)題P 的所有解。樹(shù)T 類(lèi)似于檢索樹(shù)，它可以這樣構(gòu)造：設(shè)Si中的元素可排成*i(1)，*i(2)，*i(mi-1)，|Si| =mi，i=1，2，n。從根開(kāi)場(chǎng)，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，

24、分別帶權(quán)*i+1(1)，*i+1(2)，*i+1(mi)，i=0，1，2，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組*1，*2，*n對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為*1，*2，*n，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0in-1，E中n 元組*1，*2，*n的一個(gè)前綴I元組*1，*2，*i對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為*1，*2，*i，反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴，對(duì)應(yīng)于T的根。因而，在E中尋找問(wèn)題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)*

25、1，*2，*n滿(mǎn)足約束集D的全部約束。在T 中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿(mǎn)足約束條件的前綴1 元組*1i、前綴2 元組*1，*2、，前綴I元組*1，*2，*i，直到i=n為止。在回溯法中，上述引入的樹(shù)被稱(chēng)為問(wèn)題P 的狀態(tài)空間樹(shù)；樹(shù)T 上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱(chēng)為問(wèn)題P 的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù)T 上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱(chēng)為問(wèn)題P 的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù)T 上滿(mǎn)足約束集D 的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱(chēng)為問(wèn)題P 的一個(gè)答復(fù)狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問(wèn)題P 的一個(gè)解?！締?wèn)題】 n 皇后問(wèn)題問(wèn)題描述：求出在一個(gè)nn 的棋盤(pán)上，放置n 個(gè)不能互相捕捉的國(guó)際象棋皇后的所

26、有布局。這是來(lái)源于國(guó)際象棋的一個(gè)問(wèn)題?；屎罂梢匝刂v橫和兩條斜線4 個(gè)方向相互捕捉。如下圖，一個(gè)皇后放在棋盤(pán)的第4 行第3 列位置上，則棋盤(pán)上凡打的位置上的皇后就能與這個(gè)皇后相互捕捉。1 2 3 4 5 6 7 8 Q 從圖中可以得到以下啟示：一個(gè)適宜的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個(gè)皇后，且一條斜線上也只有一個(gè)皇后。求解過(guò)程從空配置開(kāi)場(chǎng)。在第1 列至第m 列為合理配置的根底上，再配置第m+1 列，直至第n 列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接著改變第n 列配置，希望獲得下一個(gè)解。另外，在任一列上，可能有n 種配置。開(kāi)場(chǎng)時(shí)配置在第1 行，以后改變時(shí)，順次選擇第2 行、第3 行、直到第n 行。當(dāng)?shù)趎

27、 行配置也找不到一個(gè)合理的配置時(shí)，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問(wèn)題的算法如下： 輸入棋盤(pán)大小值n； m=0; good=1; do if (good) if (m=n) 輸出解；改變之，形成下一個(gè)候選解; else 擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列； else 改變之，形成下一個(gè)候選解； good=檢查當(dāng)前候選解的合理性； while (m!=0); 在編寫(xiě)程序之前，先確定邊式棋盤(pán)的數(shù)據(jù)構(gòu)造。比擬直觀的方法是采用一個(gè)二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來(lái)困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對(duì)于此題來(lái)說(shuō)，常用信息并不是皇后的具體位置，而是一個(gè)皇

28、后是否已經(jīng)在*行和*條斜線合理地安置好了。因在*一列上恰好放一個(gè)皇后，引入一個(gè)一維數(shù)組col ，值coli表示在棋盤(pán)第i 列、coli行有一個(gè)皇后。例如：col3=4，就表示在棋盤(pán)的第3 列、第4 行上有一個(gè)皇后。另外，為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，設(shè)定col0的初值為0 當(dāng)回溯到第0 列時(shí)，說(shuō)明程序已求得全部解，完畢程序運(yùn)行。為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡(jiǎn)易方便，引入以下三個(gè)工作數(shù)組：數(shù)組a ，ak表示第k 行上還沒(méi)有皇后；數(shù)組b ，bk表示第k 列右高左低斜線上沒(méi)有皇后；3數(shù)組 c ，ck表示第k 列左高右低斜線上沒(méi)有皇后；棋盤(pán)中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)

29、之和一樣；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均一樣。初始時(shí)，所有行和斜線上均沒(méi)有皇后，從第1 列的第1 行配置第一個(gè)皇后開(kāi)場(chǎng)，在第m 列colm行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第m+1 列時(shí)，在數(shù)組a 、b 和c 中為第m 列，colm行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第m 列回溯到第m-1 列，并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1 列的皇后配置時(shí)，去除在數(shù)組a 、b 和c 中設(shè)置的關(guān)于第m-1 列，colm-1行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在m 列，colm行方格配置是合理的，由數(shù)組a 、b 和c 對(duì)應(yīng)位置的值都為1 來(lái)確定。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下程序：【程序】 # include # include # define

30、 MA*N 20 int n,m,good; int colMA*N+1,aMA*N+1,b2*MA*N+1,c2*MA*N+1; void main() int j; char awn; printf(Enter n: ); scanf(%d,&n); for (j=0;j=n;j+) aj=1; for (j=0;j=2*n;j+) cbj=cj=1; m=1; col1=1; good=1; col0=0; do if (good) if (m=n) printf(列t 行); for (j=1;j=n;j+) printf(%3dt%dn,j,colj); printf(Enter a

31、 character (Q/q for e*it)!n); scanf(%c,&awn); if (awn=Q|awn=q) e*it(0); while (colm=n) m-; acolm=bm+colm=cn+m-colm=1; colm+; else acolm=bm+colm=cn+m-colm=0; col+m=1; else while (colm=n) m-; acolm=bm+colm=cn+m-colm=1; colm+; good=acolm&bm+colm&cn+m-colm; while (m!=0); 試探法找解算法也常常被編寫(xiě)成遞歸函數(shù)，下面兩程序中的函數(shù)quee

32、n_all()和函數(shù)queen_one()能分別用來(lái)解皇后問(wèn)題的全部解和一個(gè)解。【程序】 # include # include # define MA*N 20 int n; int colMA*N+1,aMA*N+1,b2*MA*N+1,c2*MA*N+1; void main() int j; printf(Enter n: ); scanf(%d,&n); for (j=0;j=n;j+) aj=1; for (j=0;j=2*n;j+) cbj=cj=1; queen_all(1,n); void queen_all(int k,int n) int i,j; char awn; f

33、or (i=1;i=n;i+) if (ai&bk+i&cn+k-i) colk=i; ai=bk+i=cn+k-i=0; if (k=n) printf(列t 行); for (j=1;jE-節(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活節(jié)點(diǎn)裝載問(wèn)題用一個(gè)隊(duì)列Q 來(lái)存放活結(jié)點(diǎn)表，Q 中weight 表示每個(gè)活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。當(dāng)weight1 時(shí)，表示隊(duì)列已到達(dá)解空間樹(shù)同一層結(jié)點(diǎn)的尾部。算法首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其參加到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)參加到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2 個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為

34、當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1 時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1 參加活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)場(chǎng)處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。/*該版本只算出最優(yōu)解*/ #include #include struct Queue int weight ; struct Queue* ne*t ; ; int bestw = 0 ; / 目前的最優(yōu)值 Queue* Q; / 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列Queue* lq = NULL ; Queue* fq = NULL ; int Add(int w) Queue* q ; q = (Queue*)malloc(sizeof(Queue) ; if(q =NULL) printf(沒(méi)有足夠的空間分配n) ; return 1 ; q-ne*t = NULL ; q-weight = w ; if(Q-ne*t = NULL) Q-ne*t = q ; fq = lq = Q-ne*t ; /一定要使元素放