復(fù)變函數(shù)與積分變換：第四、五章級(jí)數(shù)與留數(shù)習(xí)題課

1、1一、收斂半徑與斂散性.第四、五章 級(jí)數(shù)與留數(shù)二、解析函數(shù)的泰勒展開三、洛朗展式四、判別奇點(diǎn)類型五、求各奇點(diǎn)處留數(shù)六、用留數(shù)定理計(jì)算沿封閉曲線的積分2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)充要條件必要條件冪級(jí)數(shù)收斂半徑R復(fù) 變 函 數(shù)絕對(duì)收斂運(yùn)算與性質(zhì)收斂條件條件收斂復(fù)數(shù)列收斂半徑的計(jì)算泰勒級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)3留數(shù)計(jì)算方法可去奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系留數(shù)定理圍線積分4一、收斂半徑與斂散性.1. 斂散性看通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)解收斂收斂例1 判別級(jí)數(shù) 的斂散性.5解 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知絕對(duì)收斂.例2 判別級(jí)數(shù)的斂散性.2.收斂半徑那末收斂半徑那末收斂半徑771設(shè)函數(shù)的泰勒展開式

2、為，（B）（C） （D）的收斂半徑( )那么冪級(jí)數(shù)（A）C練習(xí)2設(shè)函數(shù)圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式有 m個(gè)， 那么m = ( )（A）1在以原點(diǎn)為中心的（B）2（D）4（C）3C8若則雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? ) （B）（A）（C） （D）例3A9常見函數(shù)的泰勒展開式二、解析函數(shù)的泰勒展開10展開常用方法：間接法：直接法(2) 柯西乘積(3) 逐項(xiàng)積分、求導(dǎo)法11解例6 求 在 的泰勒展式.由于12例7分析：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法.解所以13例8分析: 利用部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法. 即把函數(shù)分成部分分式后, 應(yīng)用等比級(jí)數(shù)求和公式.解14故兩端求導(dǎo)得15三、洛朗展式1. 利用已知函數(shù)展開式；常見情況:2

3、.分式：注意|g(z)|是否小于1)1717例9解18例10解有192021四、判別奇點(diǎn)類型21孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為22解23解2425練習(xí)：是函數(shù)的那種類型奇點(diǎn)26例12 求函數(shù) 的有限奇點(diǎn), 并確定類型.解是奇點(diǎn).是二級(jí)極點(diǎn);是三級(jí)極點(diǎn).27五、 求各奇點(diǎn)處留數(shù)留數(shù)的計(jì)算方法(1) 如果為的可去奇點(diǎn), 定理成洛朗級(jí)數(shù)求(2) 如果為的本性奇點(diǎn), (3) 如果為的極點(diǎn), 則有如下計(jì)算規(guī)則展開則需將如果 為 的 級(jí)極點(diǎn), 那末28推論1推論2 如果設(shè)及在都解析，那末為的一級(jí)極點(diǎn), 且有如果 為 的一級(jí)極點(diǎn), 那末29例13 求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù).解(1)在 內(nèi),30解31解為奇點(diǎn),當(dāng) 時(shí) 為一級(jí)極點(diǎn)，32