管理統(tǒng)計(jì)學(xué)課件：第5章 方差分析

1、5 方差分析5.1 方差分析基本原理5.2 單因素方差分析5.3雙因素方差分析某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料飲料的顏色：橘黃色、粉色、綠色和無(wú)色透明飲料的營(yíng)養(yǎng)含量、味道、價(jià)格、包裝相同收集該飲料的銷(xiāo)售情況的超級(jí)市場(chǎng)地理位置相似、經(jīng)營(yíng)規(guī)模相仿試分析飲料的顏色是否對(duì)銷(xiāo)售量產(chǎn)生影響超市無(wú)色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8四色飲料在五家超市的銷(xiāo)售情況設(shè) 為無(wú)色飲料的平均銷(xiāo)量， 為粉色飲料的銷(xiāo)量，設(shè) 為橘黃色飲料的平均銷(xiāo)量 為綠色飲料的銷(xiāo)量。則原問(wèn)題轉(zhuǎn)

2、化為以下假設(shè)檢驗(yàn)：表示總體X的均值，i表示總體Ai的均值，方案i的主效應(yīng)ai=i反映顏色Ai對(duì)銷(xiāo)售量的影響隨機(jī)樣本Xij，可以視為各個(gè)方案的總體均值i與隨機(jī)誤差之和：Xij= i + ij 由于Xij是來(lái)自Ai的觀察值，于是有Xij= i +ij=ai+ ij (i=1,2,4;j=1,2, ,5) 分析過(guò)程 分解總體離差平方和總體銷(xiāo)售量離差平方和ST有兩個(gè)來(lái)源一是由水平不同造成的不同水平下平均銷(xiāo)售量差異SA一是由除了顏色之外的隨機(jī)干擾造成的、同一水平下的銷(xiāo)售量差異SE其中，m表示因素A（顏色）的水平數(shù)m=4，n表示觀測(cè)次數(shù)n=5假設(shè)每個(gè)水平下總體Ai的服從正態(tài)分布，各觀測(cè)值相互獨(dú)立，且方差相

3、等，則上式子轉(zhuǎn)化為： 總體離差的自由度分解分析過(guò)程（續(xù)） 將離差均方化，得均方和（為了具有可比性）MSA=SA/fA MSE=SE/fE 比較，計(jì)算F值：F=MSA/ MSE 檢驗(yàn)，所示看F統(tǒng)計(jì)量是否落在接受域還是拒絕域中若FF0.05(fA,fE) ，則無(wú)顯著影響，記為/若F0.05(fA,fE) FF0.01(fA,fE) ，則影響特別顯著，記為*單因素方差分析表方差來(lái)源離差平方和自由度均方和F值檢驗(yàn)結(jié)論因素A隨機(jī)干擾E總和TSASESTfAfEfTMSAMSEF=MSA/MSE銷(xiāo)售量（箱）試驗(yàn)批號(hào)各水平下平均銷(xiāo)售量Xi12345因素（顏色）A1（粉色）26.528.725.129.127

4、.227.32A2（無(wú)色）31.228.330.827.929.629.56A3（綠色）27.925.124.226.526.526.44A4（桔色）30.829.632.432.832.831.46總平均銷(xiāo)量28.695方差來(lái)源離差平方和自由度均方和F值檢驗(yàn)結(jié)論因素A（顏色）隨機(jī)干擾E總和TSA=76.85SE=39.08ST=115.93fA=3fE=16fT=19MSA=25.615MSE=2.443F=10.485*例5.1的單因素方差分析表注： F0.05(3,16)=3.24, F0.01(3,16)=5.29由于F=10.458 F0.01(fA,fE) 所以顏色對(duì)飲料銷(xiāo)售量有特

5、別顯著影響方差分析基本原理方差分析的實(shí)質(zhì)：檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否有顯著性差異（觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析）將k個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待，把觀測(cè)值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來(lái)源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來(lái)源總體方差估計(jì)值通過(guò)計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的比例，檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等方差分析基本概念因素：影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的條件，常用大寫(xiě)字母A、B、C、等表示單因素實(shí)驗(yàn)：當(dāng)研究中只考察一個(gè)因素雙因素（多因素）實(shí)驗(yàn)：同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的因素因素水平/水平：因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)，用代表該因素的字母加添足標(biāo)表示，如A1、A2、，B1、B2、處理：事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施

6、在實(shí)驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目在單因素實(shí)驗(yàn)中，一個(gè)處理就是實(shí)驗(yàn)因素的某一水平在多因素實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合就是一個(gè)處理方差分析中的基本假定（1）每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布（分布的正態(tài)性）（2）各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的（3）觀察值是獨(dú)立的例5.1數(shù)學(xué)成績(jī)分析40名學(xué)生隨機(jī)分成5個(gè)班，每個(gè)班的班主任負(fù)責(zé)不同科目A表示班主任教數(shù)學(xué)B表示班主任教語(yǔ)文C表示班主任教生物D表示班主任教地理E表示班主任教物理用方差分析的方法檢驗(yàn)5組不同班主任的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)是否有顯著差異ABCDE76766265677867706871657069687272647371697167716174728369

7、697983727365767973696984解題過(guò)程 建立假設(shè) H0：1=2=3=4=5 平方和 ST=1160.4，SA=314.4 SE=ST-SA=1160.4-314.4=864 自由度 fA=？，fE=？ 均方 MSA=SA/fA=314.4/4=78.6 MSE=SE/fE=846/35=24.17 F檢驗(yàn) F=MSA/MSE=78.6/24.17=3.252查F分布表(單側(cè))F0.05(4，35)=2.64，F(xiàn)F0.05，p0.05，拒絕原假設(shè)，故在不同班主任的班級(jí)中數(shù)學(xué)成績(jī)有顯著不同 方差分析表方差來(lái)源離差平方和自由度均方和F值檢驗(yàn)結(jié)論因素A隨機(jī)干擾E總和T314.4846

8、1160.44353978.624.17F=3.252*注：*表示在0.05水平上顯著ABCDE76766265677867706871657069687272647371697167716174728369697983727365767973696984例5.3 服務(wù)質(zhì)量分析為了對(duì)幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)在零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)分別抽取了不同的樣本記錄了一年中消費(fèi)者對(duì)總共23家服務(wù)企業(yè)投訴的次數(shù)試分析這四個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異？(0.05)消費(fèi)者對(duì)四個(gè)行業(yè)的投訴次數(shù)觀察值(j)行業(yè)(A)零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)15762517025549496834660486

9、344554556955456476065355747解題過(guò)程設(shè)四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的均值分別為，1，2，3，4，則需要檢驗(yàn)如下假設(shè)H0：1=2=3=4=(四個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量無(wú)顯著差異)H1： 1，2，3，4不全相等(有顯著差異)計(jì)算結(jié)果如下：方差來(lái)源離差平方和自由度均方和F值檢驗(yàn)結(jié)論因素A隨機(jī)干擾E總和T845.21743621207.217281.739119.0526314.78741注，F(xiàn)0.05(3,19)=3.13,F0.01(3,19)=5.01.5.2.2 多個(gè)總體均值的多重比較檢驗(yàn)通過(guò)方差分析F檢驗(yàn)，如果最終結(jié)論是否定了原假設(shè)，那么我們知道至少兩個(gè)水平的總體均值是不同的。但是不

10、知道哪兩個(gè)或者哪幾個(gè)均值不同。如果要回答這個(gè)問(wèn)題，就需要多重比較。LSD方法：由Fisher提出的最小顯著差異方法，是對(duì)檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否相等的t檢驗(yàn)方法的總體方差估計(jì)加以修正(用MSE來(lái)代替)而得到的，可用于判斷均值之間差異LSD的操作步驟（1）提出假設(shè)H0：i=j(第i個(gè)總體的均值等于第j個(gè)總體的均值)H1：ij(第i個(gè)總體的均值不等于第j個(gè)總體的均值)（2）檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為（3）若|t|t，拒絕H0；若|t|t，不能拒絕H0基于統(tǒng)計(jì)量 的LSD方法的操作步驟為1、 計(jì)算LSD。（ 的臨界值 ）2、 檢驗(yàn)若| |LSD，拒絕H0，若| |2.096，顏色1與顏色2的銷(xiāo)售量有顯著差異|x1-

11、x3|= |27.3-26.4| =0.92.096，顏色1與顏色4的銷(xiāo)售量有顯著差異|x2-x3|= |29.5-26.4| =3.12.096，顏色2與顏色3的銷(xiāo)售量有顯著差異|x2-x4|= |29.5-31.4| =1.92.096， 顏色3與顏色4的銷(xiāo)售量有顯著差異5.3 雙因素方差分析雙因素：是指問(wèn)題中有兩個(gè)(反映條件或前提的)變量Ar是變量A的一個(gè)取值(又稱(chēng)因素A的一個(gè)水平)Bn是變量B的一個(gè)取值(又稱(chēng)因素B的一個(gè)水平)假設(shè)在Ai與Bj下的總體Xij，服從N（ij,2）分布，且相互獨(dú)立，無(wú)交互作用。設(shè)在雙因素各種水平的組合下進(jìn)行試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下表。雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表

12、表中，xij表示因素Ai和因素Bj下的試驗(yàn)效果的觀察值因素B1因素B2因素Bn因素A1x11x12x1n因素A2x21x22x2n因素Arxr1xr2xrn總體Xij的總平均：第i行總體的平均： 第j列總體平均：Ai的主效應(yīng)：Bj的主效應(yīng)：如果Ai與Bj間不存在交互效應(yīng)，就有ij=+ ai+bj 把Xij分解為因素A和因素B的效應(yīng)和均值以及隨機(jī)誤差的和。隨機(jī)樣本Xij可以視為其總體均值ij與隨機(jī)誤差ij之和 Xij=ij+ ijij服從N（0,2）分布，并且ij之間相互獨(dú)立于是有Xij= + ai+bj + ij 稱(chēng)為“無(wú)交互影響的雙因素(一元)模型”Xij的構(gòu)成（各方案的總體均值）ij服從N

13、(0，2)i(= i )bi(= j )總體均值主效應(yīng)隨機(jī)擾動(dòng)ij=+ ai+bj離平方和SST、SSA、SSB、SSE的自有度分別為？SST:nr-1、SSA:r-1、SSB:n-1、SSE:nr-r-n+1=(n-1)(r-1)的自有度分別為？和前面處理類(lèi)似，我們得出如下均方差無(wú)重復(fù)實(shí)驗(yàn)雙因素方差分析方案的假設(shè)零假設(shè)： 備擇假設(shè)： 之間不完全相等（至少 有兩個(gè)不等），或不全等于0 之間不完全相等（至少 有兩個(gè)不等），或不全等于0 無(wú)交互作用的雙因素方差分析例題某企業(yè)有三臺(tái)不同型號(hào)的設(shè)備，生產(chǎn)同一產(chǎn)品，現(xiàn)有5名工人輪流在此三臺(tái)設(shè)備上操作，記錄下他們的日產(chǎn)量如下表。試根據(jù)方差分析說(shuō)明這三臺(tái)設(shè)備

14、之間和5名工人之間對(duì)日產(chǎn)量的影響是否顯著。結(jié)果如下表所示，第一步，提出原假設(shè)和備擇假設(shè)： 第二步，計(jì)算方差分析表： 5.3.2 有交互作用的雙因素方差分析為了研究?jī)蓚€(gè)因素是否獨(dú)立，有無(wú)交互作用，我們需要在各個(gè)因素水平組合下，進(jìn)行重復(fù)實(shí)驗(yàn)；因此，有交互作用時(shí)，方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)會(huì)有所不同。設(shè)因素A和因素B每一對(duì)水平搭配下重復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)都相同，則方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表如下所示：雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表問(wèn)：（1）因素A的不同水平（方案）的效果（均值）有無(wú)顯著影響？（2）因素B的不同水平（方案）的效果（均值）有無(wú)顯著影響？（3）因素A與B之間的交互作用如何？觀測(cè)數(shù)據(jù)因素B1因素B2因素Bn因素A

15、1x111x112 x11mx121x122 x12mx1n1x1n2 x1nm因素A2x211x212 x21m x221x222 x2mx2n1x2n2 x2nm因素Arxr11xr12 xr1mxr11xr22 xr2mxrn1xr22 xrnm假設(shè)在Ai與Bj下的總體Xij，服從N(i，2)分布（1）總體平均分布（2）第i行總體的平均（3）第j列總體平均（4）Ai的主效應(yīng)（5）Aj的主效應(yīng)把Xij分解為因素A和因素B的效應(yīng)、交互效應(yīng)、均值以及隨機(jī)誤差的和。若Ai與Bj間存在交互影響，則稱(chēng)為Ai與Bj的交互效應(yīng)，有ij=+ai+bj+cij隨機(jī)變量可以寫(xiě)成均值和誤差之和：Xijl=ij+ijl ijk服從N(0，2)分布，并且ijk之間相互獨(dú)立，則有Xijl=+ai+bj+cij+ijl i=1，2，s；j=1，2，n；l=1，2，m；m是實(shí)驗(yàn)次數(shù)Xij的構(gòu)成ij的構(gòu)成i(= i )bi(= j )cij