管理統(tǒng)計學課件：第5章 方差分析

1、5 方差分析5.1 方差分析基本原理5.2 單因素方差分析5.3雙因素方差分析某飲料生產企業(yè)研制出一種新型飲料飲料的顏色：橘黃色、粉色、綠色和無色透明飲料的營養(yǎng)含量、味道、價格、包裝相同收集該飲料的銷售情況的超級市場地理位置相似、經營規(guī)模相仿試分析飲料的顏色是否對銷售量產生影響超市無色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8四色飲料在五家超市的銷售情況設 為無色飲料的平均銷量， 為粉色飲料的銷量，設 為橘黃色飲料的平均銷量 為綠色飲料的銷量。則原問題轉

2、化為以下假設檢驗：表示總體X的均值，i表示總體Ai的均值，方案i的主效應ai=i反映顏色Ai對銷售量的影響隨機樣本Xij，可以視為各個方案的總體均值i與隨機誤差之和：Xij= i + ij 由于Xij是來自Ai的觀察值，于是有Xij= i +ij=ai+ ij (i=1,2,4;j=1,2, ,5) 分析過程 分解總體離差平方和總體銷售量離差平方和ST有兩個來源一是由水平不同造成的不同水平下平均銷售量差異SA一是由除了顏色之外的隨機干擾造成的、同一水平下的銷售量差異SE其中，m表示因素A（顏色）的水平數m=4，n表示觀測次數n=5假設每個水平下總體Ai的服從正態(tài)分布，各觀測值相互獨立，且方差相

3、等，則上式子轉化為： 總體離差的自由度分解分析過程（續(xù)） 將離差均方化，得均方和（為了具有可比性）MSA=SA/fA MSE=SE/fE 比較，計算F值：F=MSA/ MSE 檢驗，所示看F統(tǒng)計量是否落在接受域還是拒絕域中若FF0.05(fA,fE) ，則無顯著影響，記為/若F0.05(fA,fE) FF0.01(fA,fE) ，則影響特別顯著，記為*單因素方差分析表方差來源離差平方和自由度均方和F值檢驗結論因素A隨機干擾E總和TSASESTfAfEfTMSAMSEF=MSA/MSE銷售量（箱）試驗批號各水平下平均銷售量Xi12345因素（顏色）A1（粉色）26.528.725.129.127

4、.227.32A2（無色）31.228.330.827.929.629.56A3（綠色）27.925.124.226.526.526.44A4（桔色）30.829.632.432.832.831.46總平均銷量28.695方差來源離差平方和自由度均方和F值檢驗結論因素A（顏色）隨機干擾E總和TSA=76.85SE=39.08ST=115.93fA=3fE=16fT=19MSA=25.615MSE=2.443F=10.485*例5.1的單因素方差分析表注： F0.05(3,16)=3.24, F0.01(3,16)=5.29由于F=10.458 F0.01(fA,fE) 所以顏色對飲料銷售量有特

5、別顯著影響方差分析基本原理方差分析的實質：檢驗多個總體均值是否有顯著性差異（觀測值變異原因的數量分析）將k個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應于不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源總體方差估計值通過計算這些總體方差的估計值的比例，檢驗各樣本所屬總體平均數是否相等方差分析基本概念因素：影響實驗結果的條件，常用大寫字母A、B、C、等表示單因素實驗：當研究中只考察一個因素雙因素（多因素）實驗：同時研究兩個或兩個以上的因素因素水平/水平：因素所處的某種特定狀態(tài)或數量等級，用代表該因素的字母加添足標表示，如A1、A2、，B1、B2、處理：事先設計好的實施

6、在實驗單位上的具體項目在單因素實驗中，一個處理就是實驗因素的某一水平在多因素實驗中，實驗因素的一個水平組合就是一個處理方差分析中的基本假定（1）每個總體都應服從正態(tài)分布（分布的正態(tài)性）（2）各組觀察數據，是從具有相同方差的總體中抽取的（3）觀察值是獨立的例5.1數學成績分析40名學生隨機分成5個班，每個班的班主任負責不同科目A表示班主任教數學B表示班主任教語文C表示班主任教生物D表示班主任教地理E表示班主任教物理用方差分析的方法檢驗5組不同班主任的學生數學成績是否有顯著差異ABCDE76766265677867706871657069687272647371697167716174728369

7、697983727365767973696984解題過程 建立假設 H0：1=2=3=4=5 平方和 ST=1160.4，SA=314.4 SE=ST-SA=1160.4-314.4=864 自由度 fA=？，fE=？ 均方 MSA=SA/fA=314.4/4=78.6 MSE=SE/fE=846/35=24.17 F檢驗 F=MSA/MSE=78.6/24.17=3.252查F分布表(單側)F0.05(4，35)=2.64，F(xiàn)F0.05，p0.05，拒絕原假設，故在不同班主任的班級中數學成績有顯著不同 方差分析表方差來源離差平方和自由度均方和F值檢驗結論因素A隨機干擾E總和T314.4846

8、1160.44353978.624.17F=3.252*注：*表示在0.05水平上顯著ABCDE76766265677867706871657069687272647371697167716174728369697983727365767973696984例5.3 服務質量分析為了對幾個行業(yè)的服務質量進行評價在零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)分別抽取了不同的樣本記錄了一年中消費者對總共23家服務企業(yè)投訴的次數試分析這四個行業(yè)的服務質量是否有顯著差異？(0.05)消費者對四個行業(yè)的投訴次數觀察值(j)行業(yè)(A)零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)15762517025549496834660486

9、344554556955456476065355747解題過程設四個行業(yè)被投訴次數的均值分別為，1，2，3，4，則需要檢驗如下假設H0：1=2=3=4=(四個行業(yè)的服務質量無顯著差異)H1： 1，2，3，4不全相等(有顯著差異)計算結果如下：方差來源離差平方和自由度均方和F值檢驗結論因素A隨機干擾E總和T845.21743621207.217281.739119.0526314.78741注，F(xiàn)0.05(3,19)=3.13,F0.01(3,19)=5.01.5.2.2 多個總體均值的多重比較檢驗通過方差分析F檢驗，如果最終結論是否定了原假設，那么我們知道至少兩個水平的總體均值是不同的。但是不

10、知道哪兩個或者哪幾個均值不同。如果要回答這個問題，就需要多重比較。LSD方法：由Fisher提出的最小顯著差異方法，是對檢驗兩個總體均值是否相等的t檢驗方法的總體方差估計加以修正(用MSE來代替)而得到的，可用于判斷均值之間差異LSD的操作步驟（1）提出假設H0：i=j(第i個總體的均值等于第j個總體的均值)H1：ij(第i個總體的均值不等于第j個總體的均值)（2）檢驗的統(tǒng)計量為（3）若|t|t，拒絕H0；若|t|t，不能拒絕H0基于統(tǒng)計量 的LSD方法的操作步驟為1、 計算LSD。（ 的臨界值 ）2、 檢驗若| |LSD，拒絕H0，若| |2.096，顏色1與顏色2的銷售量有顯著差異|x1-

11、x3|= |27.3-26.4| =0.92.096，顏色1與顏色4的銷售量有顯著差異|x2-x3|= |29.5-26.4| =3.12.096，顏色2與顏色3的銷售量有顯著差異|x2-x4|= |29.5-31.4| =1.92.096， 顏色3與顏色4的銷售量有顯著差異5.3 雙因素方差分析雙因素：是指問題中有兩個(反映條件或前提的)變量Ar是變量A的一個取值(又稱因素A的一個水平)Bn是變量B的一個取值(又稱因素B的一個水平)假設在Ai與Bj下的總體Xij，服從N（ij,2）分布，且相互獨立，無交互作用。設在雙因素各種水平的組合下進行試驗，得到數據結構如下表。雙因素方差分析的數據結構表

12、表中，xij表示因素Ai和因素Bj下的試驗效果的觀察值因素B1因素B2因素Bn因素A1x11x12x1n因素A2x21x22x2n因素Arxr1xr2xrn總體Xij的總平均：第i行總體的平均： 第j列總體平均：Ai的主效應：Bj的主效應：如果Ai與Bj間不存在交互效應，就有ij=+ ai+bj 把Xij分解為因素A和因素B的效應和均值以及隨機誤差的和。隨機樣本Xij可以視為其總體均值ij與隨機誤差ij之和 Xij=ij+ ijij服從N（0,2）分布，并且ij之間相互獨立于是有Xij= + ai+bj + ij 稱為“無交互影響的雙因素(一元)模型”Xij的構成（各方案的總體均值）ij服從N

13、(0，2)i(= i )bi(= j )總體均值主效應隨機擾動ij=+ ai+bj離平方和SST、SSA、SSB、SSE的自有度分別為？SST:nr-1、SSA:r-1、SSB:n-1、SSE:nr-r-n+1=(n-1)(r-1)的自有度分別為？和前面處理類似，我們得出如下均方差無重復實驗雙因素方差分析方案的假設零假設： 備擇假設： 之間不完全相等（至少 有兩個不等），或不全等于0 之間不完全相等（至少 有兩個不等），或不全等于0 無交互作用的雙因素方差分析例題某企業(yè)有三臺不同型號的設備，生產同一產品，現(xiàn)有5名工人輪流在此三臺設備上操作，記錄下他們的日產量如下表。試根據方差分析說明這三臺設備

14、之間和5名工人之間對日產量的影響是否顯著。結果如下表所示，第一步，提出原假設和備擇假設： 第二步，計算方差分析表： 5.3.2 有交互作用的雙因素方差分析為了研究兩個因素是否獨立，有無交互作用，我們需要在各個因素水平組合下，進行重復實驗；因此，有交互作用時，方差分析的數據結構會有所不同。設因素A和因素B每一對水平搭配下重復實驗的次數都相同，則方差分析數據結構表如下所示：雙因素重復試驗的方差分析數據結構表問：（1）因素A的不同水平（方案）的效果（均值）有無顯著影響？（2）因素B的不同水平（方案）的效果（均值）有無顯著影響？（3）因素A與B之間的交互作用如何？觀測數據因素B1因素B2因素Bn因素A

15、1x111x112 x11mx121x122 x12mx1n1x1n2 x1nm因素A2x211x212 x21m x221x222 x2mx2n1x2n2 x2nm因素Arxr11xr12 xr1mxr11xr22 xr2mxrn1xr22 xrnm假設在Ai與Bj下的總體Xij，服從N(i，2)分布（1）總體平均分布（2）第i行總體的平均（3）第j列總體平均（4）Ai的主效應（5）Aj的主效應把Xij分解為因素A和因素B的效應、交互效應、均值以及隨機誤差的和。若Ai與Bj間存在交互影響，則稱為Ai與Bj的交互效應，有ij=+ai+bj+cij隨機變量可以寫成均值和誤差之和：Xijl=ij+ijl ijk服從N(0，2)分布，并且ijk之間相互獨立，則有Xijl=+ai+bj+cij+ijl i=1，2，s；j=1，2，n；l=1，2，m；m是實驗次數Xij的構成ij的構成i(= i )bi(= j )cij