全國(guó)高中物理競(jìng)賽專題十六原子和原子核

1、專題十六原子和原子核【基本內(nèi)容】一、原子的結(jié)構(gòu)1、原子的核式結(jié)構(gòu)模型：在原子的中心有一個(gè)很小的核，叫原子核， 原子的全部正電荷和幾乎全部質(zhì)量都集中在原子核里，帶負(fù)電的電子在核外空間里繞核旋轉(zhuǎn)2、氫原子光譜規(guī)律里德伯方程： 1R11n1 1,2,3n2 n1 1, n1 2 , n1 3n12n22式中 R1.096776 107 m-1 ，稱為里德伯常數(shù)， 對(duì)每一個(gè) n1 ，上式可構(gòu)成一個(gè)譜線系：n11n22,3,4賴曼系（紫外區(qū)）；n12n23 , 4 , 5巴耳末系（可見光區(qū)） ；n13n24 , 5, 6 帕邢系（紅外區(qū)） ；n14n25 , 6 , 7 布喇開系（遠(yuǎn)紅外區(qū)） ；n15n

2、26 , 7, 8 普豐特系（遠(yuǎn)紅外區(qū)） 3、氫原子的玻爾模型1） 定態(tài)假設(shè)：原子只能處在一系列不連續(xù)的穩(wěn)定的能量狀態(tài)（簡(jiǎn)稱定態(tài)），其能量從小到大依次為E1 , E2 , E3 ,，相應(yīng)地，電子只能在一定的離散的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，但不輻射能量2） 量子化條件：電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定軌道由量子化條件決定，這就是電子的角動(dòng)量L 必須等于h 2的整數(shù)倍，即有Lnhn1,2,3,2只有角動(dòng)量滿足上式，軌道才是被允許的穩(wěn)定軌道上式稱為玻爾量子條件，整數(shù)稱為量子數(shù)，每一個(gè)量子數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)定態(tài)或量子態(tài)3） 躍遷假設(shè)：一個(gè)原子處于定態(tài)時(shí)不發(fā)生輻射，僅當(dāng)原子從一個(gè)量子數(shù)為ni 的定態(tài)Ei躍遷到另一個(gè)低能量的量子數(shù)

3、為nf的定態(tài)E f時(shí)才發(fā)出能量為h的電磁輻射，這里n fni EiE fh上式稱為頻率公式4、原子的受激輻射激光1） 自發(fā)輻射：處于激發(fā)態(tài)的原子是不穩(wěn)定的，自發(fā)地躍遷到低能級(jí)上，同時(shí)輻射光子2） 受激輻射：光原子處于激發(fā)態(tài)E2 時(shí)，恰好有能量為hE2E1 的光子趨近他，原子就可能受此外來光子的激勵(lì)而躍遷到低能級(jí)E1 上，同時(shí)發(fā)射一個(gè)和外來光子完全一樣的光子激光就是由受激輻射產(chǎn)生的二、原子核1、原子核的衰變1） 放射性衰變：一個(gè)原子核自發(fā)地放出射線而轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N原子核的現(xiàn)象2） 放射性元素的衰變衰變： ZA XAZ42Y24 He衰變： ZA XZ A1Y01 e3） 半衰期放射性元素的原子核有

4、半數(shù)發(fā)生衰變所需要的時(shí)間叫半衰期， 它反映了放射性元素衰變的快慢若某種放射性元素的半衰期為T ，衰變前有 N0 個(gè)核，經(jīng)過時(shí)間 t 后還剩有 N 個(gè)核，則t T1NN022、核力：核子之間存在的短程強(qiáng)相互作用力，叫做核力3、核的結(jié)合能1） 質(zhì)能方程：Emc22） 結(jié)合能：把一個(gè)核子從原子核中分離出來所需要的凈能量稱為該核子的結(jié)合能；把質(zhì)量為 A ，原子序數(shù)為Z 的一個(gè)原子核分解為各個(gè)自由核子所需要的凈能量稱為該原子的結(jié)合能，用E 表示 E 也就是自由核子組成原子核所釋放的能量E3） 平均結(jié)合能：結(jié)合能E 與核子數(shù) A 的比值，即平均結(jié)合能EA4、基本粒子：按基本粒子之間的相互作用可分為三類：1

5、）強(qiáng)子：凡是參與強(qiáng)相互作用的粒子，分為重子和介子兩類2）輕子：都不參與強(qiáng)相互作用，質(zhì)量一般較小3）光子：靜質(zhì)量為零，是傳遞電磁相互作用的粒子【例題】例 1 一個(gè)氫放電管發(fā)光，在其光譜中測(cè)得一條譜線的波長(zhǎng)為4.8610 7 m 試計(jì)算這是氫原子中電子從哪一個(gè)能級(jí)向哪一個(gè)能級(jí)（用量子數(shù) n 表示）躍遷時(shí)發(fā)出的？已知?dú)湓踊鶓B(tài) n 1 的能量為 E1 13.6eV2.1810 18 J ，普朗克常量為h 6.63 10 34 J s解：波長(zhǎng) 與頻率的關(guān)系為c ，（ 1）光子的能量為Eh，（ 2）由式（ 1）、（ 2）可求得產(chǎn)生波長(zhǎng)4.8610 7 m 譜線的光子的能量E4.0910 19J（ 3）氫

6、原子的能級(jí)能量為負(fù)值并與量子數(shù)n 的平方成反比：Enk 12 ， n1,2,3,（ 4）n式中 k 為正的比例常數(shù)氫原子基態(tài)的量子數(shù)n 1 ，基態(tài)能量 E1已知，由式（ 4）可得出kE1（ 5）把式（ 5）代入式（ 4），便可求得氫原子的n2,3,4,5, 各能級(jí)的能量，它們是E212 k5.4510 19J，2E312 k2.4210 19J，3E411.361019J ，42 kE512 k8.72 10 20 J 5比較以上數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)EE4E24.09 10 19 J （6）所以，這條譜線是電子從n4 的能級(jí)躍遷到n2 的能級(jí)時(shí)發(fā)出的例 2 一對(duì)正、負(fù)電子可形成一種壽命比較短的稱為電子偶

7、素的新粒子電子偶素中的正電子與負(fù)電子都以速率 v 繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng) 假定玻爾關(guān)于氫原子的理論可用于電子偶素，電子的質(zhì)量m 、速率 v 和正、負(fù)電子間的距離r 的乘積也滿足量子化條件，即mrv nh2式中 n 稱為量子數(shù)， 可取整數(shù)值 1,2,3,， h 為普朗克常量 試求電子偶素處在各定態(tài)時(shí)的 r 和能量以及第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差解：正、負(fù)電子繞它們連線的中點(diǎn)作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，電子的電荷量為e ，正、負(fù)2電子間的庫(kù)侖力是電子作圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，即22k e2mv（ 1）r( r / 2)正電子、負(fù)電子的動(dòng)能分別為EK和EK，有EKE1 mv2（ 2）K2正、負(fù)電子間相互作用

8、的勢(shì)能EPe2（ 3）kr電子偶素的總能量EEKEKEP（ 4）由（ 1）、（ 2）、（3）、（ 4）各式得E1e2（ 5）kr2根據(jù)量子化條件mrvhn 1, 2 , 3 ,（ 6）n2（ 6）式表明， r 與量子數(shù) n 有關(guān)有（ 1）和（ 6）式得與量子數(shù)n 對(duì)應(yīng)的定態(tài) r 為rnn2h2n 1, 2 , 3 ,（ 7）2 ke2m2代入（ 5）式得與量子數(shù)n 對(duì)應(yīng)的定態(tài)的E 值為2k2e4mn 1, 2 , 3 ,（ 8）En2h2n1時(shí)，電子偶素的能量最小，對(duì)應(yīng)于基態(tài)基態(tài)的能量為2k2 e4m（ 9）E12h2 是第一激發(fā)態(tài)，與基態(tài)的能量差32k 2e4 m（ 10）Eh24例 3 處

9、在激發(fā)態(tài)的氫原子向能量較低的狀態(tài)躍遷時(shí)會(huì)發(fā)出一系列不同頻率的光，稱為氫光譜氫光譜線的波長(zhǎng)可以用下面的巴耳末里德伯公式來表示1R11，k2n2n, k 分別表示氫原子躍遷前后所處狀態(tài)的量子數(shù)k1, 2,3,，對(duì)于每一k ，有nk1, k2, k3,， R 稱為里德伯常量，是一個(gè)已知量對(duì)于k1 的一系列譜線其波長(zhǎng)處在紫外線區(qū)，稱為賴曼系；k2 的一系列譜線其波長(zhǎng)處在可見光區(qū)，稱為巴耳末系用氫原子發(fā)出的光照射某種金屬進(jìn)行光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)用賴曼系波長(zhǎng)最長(zhǎng)的光照射時(shí)，遏止電壓的大小為U1 ，當(dāng)用巴耳末系波長(zhǎng)最短的光照射時(shí)，遏止電壓的大小為U 2 已知電子電量的大小為e ，真空中的光速為c ，試求：普朗克

10、常量和該種金屬的逸出功解：由巴耳末里德伯公式1R(11)k2n2可知賴曼系波長(zhǎng)最長(zhǎng)的光是氫原子由n2k1 躍遷時(shí)發(fā)出的，其波長(zhǎng)的倒數(shù)13R4對(duì)應(yīng)的光子能量為E12 hc 13Rhc124式中 h 為普朗克常量巴耳末系波長(zhǎng)最短的光是氫原子由nk 2 躍遷時(shí)發(fā)出的，其波長(zhǎng)的倒數(shù)1R42對(duì)應(yīng)的光子能量E2Rhc4用 A 表示該金屬的逸出功，則eU 1 和 eU 2 分別為光電子的最大初動(dòng)能由愛因斯坦光電效應(yīng)方程得3RhceU 1 A4RhcAeU 24解得Ae (U 13U2)2h2e(U 1U 2 )Rc例 4有兩個(gè)處于基態(tài)的氫原子A 、 B ， A靜止， B 以速度 v0 與之發(fā)生碰撞己知：碰撞

11、后二者的速度 vA 和 vB 在一條直線上， 碰撞過程中部分動(dòng)能有可能被某一氫原子吸收從而該原子由基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，然后，此原子向低能級(jí)態(tài)躍遷，并發(fā)出光子如欲碰后發(fā)出一個(gè)光子，試論證：速度v0 至少需要多大（以 m/s 表示）？己知電子電量為 e191.67327kg 電子質(zhì)量為1.602 10C ，質(zhì)子質(zhì)量為 m10pme 0.9111031 kg 氫原子的基態(tài)能量為E113.58 eV 解：為使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，需要能量最小的激發(fā)態(tài)是n2 的第一激發(fā)態(tài) 已知?dú)湓拥哪芰颗c其主量子數(shù)的平方成反比En1（ 1）Kn2又知基態(tài)（ n 1 ）的能量為13.58eV ，即113.58 eVE

12、1 K12所以K13.58 eV2 的第一激發(fā)態(tài)的能量為E2K 113.5813.39 eV（ 2）224為使基態(tài)的氫原子激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)所需能量為E內(nèi) E2 E1( 3.3913.58) eV=10.19 eV（ 3）這就是氫原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)時(shí)發(fā)出的光子的能量，即hE內(nèi) 10.19 eV=10.19 1.6021019 J=1.6321018 J（ 4）式中 為光子的頻率，從開始碰到發(fā)射出光子，根據(jù)動(dòng)量和能量守恒定律有mv0mvAmvB光子的動(dòng)量（ 5）1 mv021 m(vA2vB2 )h（ 6）22光子的動(dòng)量 ph由（ 6）式可推得 mv02h，因?yàn)?v0c ，所以 mv0h

13、，cv0c故（ 5）式中光子的動(dòng)量與mv0 相比較可忽略不計(jì)， （ 5）式變?yōu)閙v0mvAmvBm(vAvB )符合（ 6）、（ 7）兩式的 v0 的最小值可推求如下：由（6）式及（ 7）式可推得1mv021m(vAvB ) 2mvAvB h221 mv2mvA( vv)h200AmvA2mvAv0h01 v21 mv2經(jīng)配方得m vh0A20401 mv22hm v1 v40A20由（ 8）式可看出，當(dāng) v1 v時(shí)， v0 達(dá)到最小值 v0min，此時(shí)A2 0vAvBv0min2 hm代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得v0min6.25104 m/s答： B 原子的速度至少應(yīng)為6.25104 m/s 7）8）

14、9）10）例 5子在相對(duì)自身靜止的慣性參考系中的平均壽命02.010 6 s 宇宙射線與大氣在高空某處發(fā)生核反應(yīng)產(chǎn)生一批子，以 v0.99 c 的速度（ c 為真空中的光速） 向下運(yùn)動(dòng)并衰變根據(jù)放射性衰變定律，相對(duì)給定慣性參考系，若t 0 時(shí)刻的粒子數(shù)為 N 0, t 時(shí)刻剩余的粒子數(shù)為 N t ，則有 N tN 0 e t，式中為相對(duì)該慣性系粒子的平均壽命若能到達(dá)地面的h不考慮重力和子數(shù)為原來的 5，試估算子產(chǎn)生處相對(duì)于地面的高度地磁場(chǎng)對(duì) 子運(yùn)動(dòng)的影響解：因 子在相對(duì)自身靜止的慣性系中的平均壽命02.010 6 s根據(jù)時(shí)間膨脹效應(yīng)，在地球上觀測(cè)到的子平均壽命為，01v c 2代入數(shù)據(jù)得01.

15、410 5 s相對(duì)地面，若t，則在t時(shí)刻剩余的子到達(dá)地面所需時(shí)間為子數(shù)為N tN 0 e t根據(jù)題意有N te t5%N 0對(duì)上式等號(hào)兩邊取e 為底的對(duì)數(shù)得tln5100代入數(shù)據(jù)得t4.1910 5 s根據(jù)題意，可以把子的運(yùn)動(dòng)看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，有hvt代入數(shù)據(jù)得h 1.24 10 4 m例 6 2007 年是我國(guó)著名物理學(xué)家、曾任浙江大學(xué)物理系主任的王淦昌先生誕生一百周年王先生早在 1941 年就發(fā)表論文，提出了一種探測(cè)中微子的方案：7 Be 原子核可以俘獲原子的 K 層電子而成為 7 Li 的激發(fā)態(tài) ( 7 Li) * ，并放出中微子（當(dāng)時(shí)寫作）7 Be e( 7 Li) *而 ( 7 Li

16、) * 又可以放出光子而回到基態(tài) 7 Li( 7 Li) *7 Li由于中微子本身很難直接觀測(cè)， 通過對(duì)上述過程相關(guān)物理量的測(cè)量， 就可以確定中微子的存在， 1942 年起，美國(guó)物理學(xué)家艾倫（ R.Davis ）等人根據(jù)王淦昌方案先后進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，初步證實(shí)了中微子的存在 1953 年美國(guó)人萊因斯（ F.Reines ）在實(shí)驗(yàn)中首次發(fā)現(xiàn)了中微子，萊因斯與發(fā)現(xiàn)輕子的美國(guó)物理學(xué)家佩爾（）分享了 1995 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)現(xiàn)用王淦昌的方案來估算中微子的質(zhì)量和動(dòng)量若實(shí)驗(yàn)中測(cè)得鋰核 （ 7 Li ）反沖能量（即7 Li 的動(dòng)能）的最大值ER56.6ev，光子的能量 h0.48MeV 已知有關(guān)原子核和電子靜止

17、能量的數(shù)據(jù)為mLi c26533.84MeV ； mBec26534.19MeV；mec20.51MeV 設(shè)在第一個(gè)過程中，7 Be 核是靜止的， K 層電子的動(dòng)能也可忽略不計(jì)試由以上數(shù)據(jù)，算出的中微子的動(dòng)能P 和靜止質(zhì)量 m 各為多少？解：根據(jù)題意，7 Be 核和 K 層電子的動(dòng)量都為零，在第一個(gè)反應(yīng)中，若用pLi* 表示激發(fā)態(tài)鋰核7 Li 的動(dòng)量，p 表示中微子的動(dòng)量，則由動(dòng)量守恒定律有pp0（ 1）Li即激發(fā)態(tài)鋰核的動(dòng)量與中微子的動(dòng)量大小相等，方向相反 . 在第二個(gè)反應(yīng)中， 若用 pLi 表示反沖鋰核7 Li 的動(dòng)量， p 表示光子的動(dòng)量，則由動(dòng)量守恒定律有ppLi p（ 2）Li由（

18、1）、（ 2）式得pLipp（ 3）當(dāng)鋰核的反沖動(dòng)量pLi 最大時(shí)，其反沖能量也最大.由（ 3）式可知，當(dāng)中微子的動(dòng)量與 光子的動(dòng)量同方向時(shí)，鋰核的反沖動(dòng)量最大. 注意到 光子的動(dòng)量ph（ 4）c有pLiph（ 5）c由于鋰核的反沖能量比鋰核的靜能小得多， 鋰核的動(dòng)能與其動(dòng)量的關(guān)系不必用相對(duì)論關(guān)系表示，這時(shí)有pLi2（ 6）ER2mLi由（ 5）、（ 6）式得pc2mLi c2 ER h（ 7）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得p0. 38 M e V / c（8）用2222Em cp c9E表示中微子的能量，根據(jù)相對(duì)論有（ ）根據(jù)能量守恒定律有mBe c2mec 2mLi c2ERh E（ 10）由（ 9）、（

19、 10）式得2122222cERhp c（ 11）m cmB e cmecmLi由（ 8）式和已知數(shù)據(jù)得20.00MeV/ c（12）m由（ 12）式可知， 所算出的中微子靜止質(zhì)量的數(shù)值在題給數(shù)據(jù)的誤差范圍之內(nèi)，故不能確定中微子的靜止質(zhì)量如果有，其質(zhì)量一定小于0.1MeV / c 2 例 7 在用鈾 235 作燃料的核反應(yīng)堆中，鈾235 核吸收一個(gè)動(dòng)能約為 0.025eV的熱中子（慢中子）后，可發(fā)生裂變反應(yīng)，放出能量和23 個(gè)快中子，而快中子不利于鈾235 的裂變 為了能使裂變反應(yīng)繼續(xù)下去，需要將反應(yīng)中放出的快中子減速有一種減速的方法是使用石墨（碳12）作減速劑設(shè)中子與碳原子的碰撞是對(duì)心彈性碰

20、撞，問一個(gè)動(dòng)能為E0 1.75 MeV 的快中子需要與靜止的碳原子碰撞多少次，才能減速成為0.025eV 的熱中子？解：設(shè)中子和碳核的質(zhì)量分別為m 和 M ，碰撞前中子的速度為v0 ，碰撞后中子和碳核的速度分別為v 和 v ，因?yàn)榕鲎彩菑椥耘鲎玻栽谂鲎睬昂?，?dòng)量和機(jī)械能均守恒，又因v0 、 v 和 v 沿同一直線，故有mv0 mvMv（ 1）1 mv21 mv21 Mv 2（ 2）0222解上兩式得vmM v0（ 3）mM負(fù)號(hào)表示 v 的方向與 v0方向相反， 即與碳核碰撞后中子被反彈因此， 經(jīng)過一次碰撞后中子的能量為1 mv21 m112E1v0222132E111（ 4）于是E013經(jīng)

21、過 2,3,n 次碰撞后，中子的能量依次為E2 ， E3 ， E4 ， En ，有211E2E113411E013E311136E0n2n因此E1EnE0E01 lg( En / E0 )2 lg(11/13)1113E05）6）已知代入（6）式即得En0. 0251 7E01.75106710lg( 1107)7lg 77.8451n7112(0.07255)542lg()0.1451137）故初能量 E01.75 MeV 的快中子經(jīng)過近54 次碰撞后，才成為能量為0.025eV 的熱中子例 8用放射源釙Po 發(fā)射的粒子打在鈹核94 Be 上，產(chǎn)生一種新的粒子和另一生成物，這些新粒子組成的粒

22、子流有以下特點(diǎn)：1）在任意方向的磁場(chǎng)中都不偏轉(zhuǎn)；2）讓它與含氫物質(zhì)中的靜止氫核相撞，也可把氫核擊出，被擊出氫核的能量為EN4.7MeV ；讓它與含氮物質(zhì)中的靜止氮核相碰撞，也可把氮核擊出，被擊出氮核的能量為 EH 1.2MeV 碰撞可視為對(duì)心完全彈性碰撞，且已知?dú)浜撕偷说馁|(zhì)量比為1:14 試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出新粒子質(zhì)量與氫質(zhì)量之比，對(duì)此新粒子是什么粒子作出判斷，并寫出 粒子抨擊 49 Be 的核反應(yīng)方程解：設(shè) mH 、mN 分別表示氫核和氮核的質(zhì)量，vH 、vN 分別表示氫核、氮核被未知粒子碰撞后的速度， m 表示未知粒子的質(zhì)量， v 表示未知粒子碰撞前的速度，v1、 v2 分別表示未知粒子與

23、氫核、氮核碰撞后的速度完全碰撞過程中，滿足mvmv1mH vH1 mv21 mv121 mH vH2222mvmv2mNvN1 mv21 mv221 mN vN2222由前兩式和后兩式分別解得vH2mmvmHvN2mmvmN則1222 mH vHEHmH m mNEN122mN m mH2mN vN代入有關(guān)數(shù)據(jù)得m1.03mH另外，由于該種粒子在任意方向的磁場(chǎng)中都不偏轉(zhuǎn)，可知它不帶電， 所以該粒子為質(zhì)量與質(zhì)子的質(zhì)量相當(dāng)?shù)粠щ姷牧Ｗ?，?yīng)為中子粒子抨擊49 Be 的核反應(yīng)方程為49 Be 24 He126C 01n例 91995 年，美國(guó)費(fèi)米國(guó)家實(shí)驗(yàn)室CDF 實(shí)驗(yàn)組和 DO 實(shí)驗(yàn)組在質(zhì)子反質(zhì)子對(duì)

24、撞機(jī)TEVATRON 的實(shí)驗(yàn)中，觀察到了頂夸克，測(cè)得它的靜止質(zhì)量m1 1.75 1011 eV/c 23.1 1025 kg ，壽命0.4 1024s ，這是近十幾年來粒子物理研究最重要的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展之一1）正、反頂夸克之間的強(qiáng)相互作用勢(shì)能可寫為U (r )k4aS ，式中 r 是正、反頂夸克3r之間的距離，aS0.12 是強(qiáng)相互作用耦合常數(shù)， k 是與單位制有關(guān)的常數(shù)，在國(guó)際單位制中 k0.3191025 J m 為估算正、反頂夸克能否構(gòu)成一個(gè)處在束縛狀態(tài)的系統(tǒng)，可把束縛狀態(tài)設(shè)想為正反頂夸克在彼此間的吸引力作用下繞它們連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)如能構(gòu)成束縛態(tài)， 試用玻爾理論確定系統(tǒng)處于基態(tài)中正、反

25、頂夸克之間的距離r0 已知處于束縛態(tài)的正、反夸克粒子滿足量子化條件，即r0nh2mvn 1, 2 , 3 ,22式 中 mvr0r的 乘 積 ， n 為 量 子 數(shù) ，2為 一 個(gè) 粒 子 的 動(dòng) 量 mv 與 其 軌 道 半 徑02h6.63 1034 J s 為普朗克常量2）試求正、反頂夸克在上述設(shè)想的基態(tài)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T 你認(rèn)為正、反頂夸克的這種束縛態(tài)能存在嗎?解： 1）相距為 r 的電量為 Q1 與 Q2 的兩點(diǎn)電荷之間的庫(kù)侖力FQ 與電勢(shì)能 U Q 公式為Q1Q2U QkQQ1Q2（ 1）FQ kQrr 2現(xiàn)在已知正反頂夸克之間的強(qiáng)相互作用勢(shì)能為U (r )k 4aS3r根據(jù)

26、直接類比可知，正反頂夸克之間的強(qiáng)相互作用力為F (r )k 4aS（ 2）3r 2設(shè)正反頂夸克繞其連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v ，因二者相距 r0 ，二者所受的向心力均為 F ( r0 ) ，二者的運(yùn)動(dòng)方程均為mtv2k 4aS（ 3）r0 / 23r02由題給的量子化條件，粒子處于基態(tài)時(shí)，取量子數(shù)n1 ，得r0h（ 4）2mt v22由（ 3）、（ 4）兩式解得r03h22m aSk8t代入數(shù)值得r01.41017 m2） 由（ 3）與（ 4）兩式得vk4aS3h由 v 和 r0 可算出正反頂夸克做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T2 ( r0 / 2)h3T22m (k 4a / 3)2vtS代入

27、數(shù)值得T1.8 1024 s由此可得/ T0.2因正反頂夸克的壽命只有它們組成的束縛系統(tǒng)的周期的1 5，故正反頂夸克的束縛態(tài)通常是不存在的例 10原子核俘獲一個(gè)1 子（1 子質(zhì)量是電子質(zhì)量的207 倍，電荷與電子相同）形成原子，應(yīng)用玻爾理論于原子，假設(shè)原子核靜止，試求：1）1 子的第一軌道半徑已知原子核的質(zhì)子數(shù)為Z ，氫原子的第一玻爾軌道半徑a00.529 10 10 m 2）電離能3）從第二軌道到第一軌道躍遷時(shí)所放射的光子的波長(zhǎng)4）設(shè)原子核的質(zhì)量數(shù) A 2Z （即中子數(shù) N 等于質(zhì)子數(shù) Z ），問當(dāng) A 大于什么值時(shí)，11 子軌道將進(jìn)入原子核內(nèi)已知原子核半徑的公式為R 1.2 10 15 A

28、3m .解：1）對(duì)這個(gè)問題的分析如同類氫離子的情形完全一樣設(shè)1子質(zhì)量為m m207me ，處于第 n 條軌道上，其半徑為rn ，速度為 vn ，能量為 En ，根據(jù)庫(kù)侖定律和牛頓定律，有m vn2ze2rn4 0 rn2原子體系的能量En1m vn2ze224 0 rn應(yīng)用玻爾量子化條件，有m vnrnn hn 1,2,3,2從以上三式可求出子1 量子化的軌道半徑和量子化的能量公式為rn40 n2 h2n1,2,3,422m ze和En22m e4 z2, n1,2,3,420 n2h2以m207me 代入，并注 意到氫原子的 第一軌道半徑a040 h20.529 1010m，氫原子的基態(tài)能量

29、E02 2mee4213.6eV ，可將42mee2402h1 子的軌道半徑和能級(jí)公式改寫為n2rn207Z a0207Z 2Enn2 E0令 n1 ，得1 子的第一軌道半徑為r11a010.529 10 10 m207Z207Z2）原子的電離能為E電離E1207Z 2 E0 207Z 213.6eV3）應(yīng)用頻率法則，hcE1E21 E2E1 207Z 213 207Z 2hchc1 E0E044 hc求得從第二軌道到第一軌道躍遷時(shí)所放射的光子的波長(zhǎng)為4hc11.22 102 nm3 207Z 2E0207Z 24）在第一軌道半徑的表達(dá)式中，令ZA，得到22r1207 A a0要使1 子進(jìn)入原

30、子核，則要滿足下式r1R將題中的各已知量代入，可解得A94例 11研究原子核的下列粗糙模型：假定原子核是一個(gè)立方體，有nnn 個(gè)核子，每個(gè)核子被其他核子的核力所吸引（強(qiáng)相互作用），由于這些力的作用距離很小，我們假定每個(gè)核子只與其最鄰近的核子之間有相互作用每個(gè)核子核子對(duì)由于這種結(jié)合而對(duì)核的總結(jié)合能的貢獻(xiàn)是一個(gè)常數(shù)原子核內(nèi)有核電荷Ze ，它在原子核內(nèi)產(chǎn)生斥力根據(jù)量綱分析，核的總靜電勢(shì)能正比2于 Z，其中為 d 原子核的線度 在這個(gè)粗糙的模型中，我們可以假定Z 正比于原子核中的d核子數(shù) A已知元素周期表中元素Fe A56 附近的原子核是非常穩(wěn)定的，它們的核子具有的平均結(jié)合能大，都約為8.78MeV

31、核子 試根據(jù)上述模型和已知事實(shí)，給出任一原子核內(nèi)每個(gè)核子的平均結(jié)合能E 與 n 之間的關(guān)系式解：想象在一個(gè)廣闊的空間內(nèi)有很多核子均勻規(guī)則地排列著，與一個(gè)核子在前后左右上下周圍相鄰的核子共有6 個(gè)，所以這個(gè)核子參與6 個(gè)核子核子對(duì)的強(qiáng)相互作用對(duì)于題述的 n3 個(gè)核子，我們可以想象將其置于上述的廣闊空間之內(nèi) 則如上計(jì)算共有 6n3 個(gè)核子核子對(duì)強(qiáng)相互作用但實(shí)際上這個(gè)“核立方體”外并無(wú)核子，這個(gè)核立方體有六個(gè)外側(cè)面，每個(gè)外側(cè)面有 n2 個(gè)核子，由于這個(gè)側(cè)面以外再無(wú)核子，故對(duì)應(yīng)于此側(cè)面內(nèi)的每個(gè)核子均應(yīng)減去朝外的一個(gè)核子核子對(duì)強(qiáng)相互作用，即減去 n2 個(gè)，對(duì)于 6 個(gè)外側(cè)面而言， 總共應(yīng)減去 6n2個(gè)由

32、上計(jì)算則尚有6n36n2 個(gè)核子核子對(duì)強(qiáng)相互作用又由于這種成對(duì)的作用是在兩個(gè)核子之間存在的，上面的計(jì)算是按一個(gè)一個(gè)核子獨(dú)立計(jì)算了兩次，可見核內(nèi)的這種強(qiáng)相互作用的實(shí)際對(duì)數(shù)應(yīng)為3n33n2 設(shè)每個(gè)核子核子對(duì)強(qiáng)相互作用結(jié)合時(shí)釋放出的能量為 a ，則此核形成時(shí)，由于強(qiáng)相互作用應(yīng)放出的總能量為3an2n 1 另一方面，核的總靜電勢(shì)能正比于Z 2，而 Z 正比于核子數(shù)A ，即正比于 n3 ， d 為核d的線度，顯然正比于 n ，由此，核的總靜電勢(shì)能正比于n5 設(shè)其比例系數(shù)為b ，則核的總靜電勢(shì)能為 bn5 ，即此核形成時(shí)由于靜電勢(shì)能的增加需吸收的能量為bn5 由上面兩方面可以得到原子核形成時(shí)釋放的總結(jié)合能

33、為E3an2 n1bn5每個(gè)核子的平均結(jié)合能為EE3a 11bn2n3n上式中 a、 b 為與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù)，下面我們進(jìn)一步來確定常數(shù)a、 b 之值根據(jù)元素 Fe 附近的原子核中核子的平均結(jié)合能差不多都相等這一事實(shí)，應(yīng)有：當(dāng)n 有微小變化n 時(shí)，由上述求出的平均結(jié)合能的值不變，即3a 11bn23a 11b n2nnnn在n 很小時(shí)，近似地有11111nnnnnnn1nn22代入前式中，整理，并略去n展開式中的n項(xiàng)，得到3a 2bn30又根據(jù) Fe 元素的核子平均結(jié)合能為8.78MeV 這一事實(shí)，有3a 11bn28.78 MeVn另有n356綜合以上三式，可解得a4.814 MeVb0.1

34、29 MeV由此，將 a、 b 之值代入平均結(jié)合能E 的表達(dá)式中，得到本題所給模型中，核子的平均結(jié)合能為E14.443 110.129n2MeVn例 12質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)距一個(gè)質(zhì)量為M 、半徑為 R 的質(zhì)量均勻分布的致密天體中心的距離為 rrR 時(shí)，其引力勢(shì)能為 EpGMm r ，其中 G6.6710 11 N m2 kg2為萬(wàn)有引力常量設(shè)致密天自轉(zhuǎn)軸體 為中子星，其半徑 R10km ， 質(zhì) 量 M 1. 5M日（ 1M日 2.01030 kg ，為太陽(yáng)的質(zhì)量） 磁軸1） 1kg 的物質(zhì)從無(wú)窮遠(yuǎn)處被吸引到中子星的表面時(shí)接收器所釋放的引力勢(shì)能為多大？2） 在氫核聚變反應(yīng)中，若參加核反應(yīng)的原料的

35、質(zhì)量為 m ，則反應(yīng)中質(zhì)量虧損為0.0072m ，問 1kg 的原料通過核聚變提供的能量與第一問中所釋放的引力勢(shì)能之比是多少？3） 天文學(xué)家認(rèn)為：脈沖星是旋轉(zhuǎn)的中子星，中子星的電磁輻射是連續(xù)的，沿其磁軸方向最強(qiáng)，磁軸與中子星的自轉(zhuǎn)方向有一夾角，如圖所示，在地球上的接收器所接收到的一連串周期脈沖是脈沖星的電磁輻射試由上述看法估算地球上接收到的兩個(gè)脈沖之間的時(shí)間間隔的下限解： 1）根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)量為m 的物質(zhì)從無(wú)限遠(yuǎn)處被吸引到中子星的表面時(shí)所釋放的引力勢(shì)能E1 應(yīng)等于對(duì)應(yīng)始末位置的引力勢(shì)能的改變，故有0GMmE1RGMmmR代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得到E12.0 1016 J kg 1m2）在氫核聚變

36、反應(yīng)中，每千克質(zhì)量的核反應(yīng)原料提供的能量為E220.0072c所求能量比為E1 m31E2 m3）根據(jù)題意，可知接收到的兩個(gè)脈沖之間的時(shí)間間隔即為中子星的自轉(zhuǎn)周期，中子星做高速自轉(zhuǎn)時(shí)，位于赤道處質(zhì)量為m 的中子星質(zhì)元所需的向心力不能超過對(duì)應(yīng)的萬(wàn)有引力，否則將會(huì)因不能保持勻速圓周運(yùn)動(dòng)而使中子星破裂，因此有m 2 RGM m（ 1）2R2式中（ 2）為中子星的自轉(zhuǎn)角速度，為中子星的自轉(zhuǎn)周期由式（1）、（ 2）得到R32GM代入數(shù)據(jù)得到4.4 10 4 s故時(shí)間間隔的下限為4.410 4 s 【訓(xùn)練題】1、一個(gè)處于基態(tài)的氫原子與另一個(gè)基態(tài)氫原子碰撞，問可能發(fā)生非彈性碰撞的最小速度為多少？氫原子的質(zhì)量

37、為1.67 10 27 kg ，電離能 E13.6eV2.1810 18 J 2、試確定因氫原子的反沖動(dòng)能，導(dǎo)致對(duì)發(fā)射光譜波長(zhǎng)的改變值，并計(jì)算電子從第二軌道躍遷到第一軌道時(shí)氫原子獲得的反沖速度3、氫原子的核外電子處在n4 的激發(fā)態(tài)1） 算出電子的動(dòng)能2） 當(dāng)電子回到n1 的基態(tài)過程中，可能發(fā)出幾種頻率的光子？3）設(shè)這個(gè)氫原子是靜止的，試計(jì)算當(dāng)它從n4 的激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)時(shí)，氫原子的反沖速度4、在一個(gè)密閉的容器中裝有放射性同位素氪8536 Kr氣，在溫度為200 C 時(shí)，其壓強(qiáng)為1atm將容器埋在地下深處，經(jīng)過22 年后取出 在此期間有些氪氣經(jīng)衰變成為8537 Rb，銣最后是固體狀態(tài)現(xiàn)在，在溫度

38、仍是200 C 時(shí)，測(cè)得容器的壓強(qiáng)為0.25atm，并測(cè)得容器中有固體銣 0.75103 mol ，銣的體積與容器體積比較可以忽略不計(jì)，試計(jì)算埋入時(shí)氪的質(zhì)量以及氪的半衰期5、 放射性鑒年法 在地球的外層大氣中， 由于宇宙射線而發(fā)生的核反應(yīng)147 N+n146 C+p會(huì)產(chǎn)生放射性核素14 C14C發(fā)生1衰變的半衰期為5730 年，因此， 地球大氣層中與活著的生物體中的 CO2 ，除含有穩(wěn)定的核素12 C 99.66% 和 13C0.37% 外，還含有少量的14 C 在活著的生物體內(nèi)，放射性碳和穩(wěn)定的碳的比值約為1.310 12 生物體死亡后，它停止吸收 CO2 ，因此，由于14 C 的衰變，這一比值將會(huì)減少假定我們發(fā)現(xiàn)一塊古時(shí)候埋在地下的骨片，當(dāng)從骨片中分離出100g 碳時(shí)，測(cè)出這一樣品中14 C 的放射性強(qiáng)度為6.5 次核衰變每秒試估計(jì)該生物體的死亡年代6、1）試證明：質(zhì)子和靜止的中子發(fā)生彈性碰撞，碰后質(zhì)子和中子的運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角為 900 2）初動(dòng)能為Ek7MeV 的快中子在氫中減速設(shè)碰撞是彈性的平均和碰撞前的方向偏轉(zhuǎn)450 ，試求中子的能量減少到T3