第4章 指數(shù)與對數(shù)綜合測試（教師版）

1、第4章指數(shù)與對數(shù)綜合測試一、單項選擇題1.假設(shè)正數(shù)x, y滿足/=16, y4 =81,1.假設(shè)正數(shù)x, y滿足/=16, y4 =81,那么x+y=()D. 17D. 3A. 5B. 1C. 13【答案】A【解析】【分析】先求出龍，值，然后計算冗+即可.【詳解】由d=16, y4 =81,得x = 2,y = 3所以x+y = 5應(yīng)選：A.假設(shè)log*方=-3,那么x=()A. 81B. C.一813【答案】D【解析】【分析】將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式即可求解.【詳解】解：因為1叫工=-3,所以=，即工3=27, 2727應(yīng)選：D.2.對數(shù)式log(川 (Z)有意義，那么。的取值范圍為() 1 4

2、-aA. (-1,4)B. (-l,O)U(O,4)C.1,2,3C.1,2,3D. 0,123【答案】C【解析】。32。3 q64X2_4戶+ 2”加+ aa-Sb2 J14 護(hù) + 2cGB + a后葉(log6 6 -log6 3)2 + log6 2 (log6 3 + 1)原式= 210g6 2二(log6 2)2 + og6 2 . og6 3 + . 2210g62=log6 2(log6 3 + log6 2 + l)210g6 2J + log66 = 219.我們知道，任何一個正實數(shù)N可以表示成N = axlO(L,a10, Z),此時lgN = + lga (0,lga0

3、時，N是+ 1位數(shù).(1)試用上述方法，判斷2小是多少位數(shù)(愴2。0.3010 )；(2)當(dāng)。時，你有怎樣的結(jié)論？【答案】(1)31； (2) N是小數(shù)點后面有+ 1個零的小數(shù).【解析】【分析】(1)由愴21。30.10即得；(2)由 lgN = + lga 可得.【詳解】V 1g 2100 = 1001g 2 100 x 0.3010 = 30.10 = 30 + 0.10 ,/. = 30 ,2是是位數(shù);(2)當(dāng)0,N = 2xl(T3gN = 3 + lg2, = 3, N = 0.002是小數(shù)點后面有2個零的小數(shù).故N是小數(shù)點后面有 + 1個零的小數(shù).且2k)gQ-21ogvx + 3

4、 = 0,求7 = / _4產(chǎn)的最小值.【答案】-4【解析】【分析】應(yīng)用換元法先解出logQ的值，找出x和 的關(guān)系，從而求丁 = /一4丁2的最小值.【詳解】解：令，= k)gQ, Qxl, yl, /./0.2由 210gxy _21og),x + 3 = 0 得 2f_7 + 3 = 0,2t2所以yx + xy = -,即2沖=一，所以盯z = l. zz22.設(shè)次,九z均為正數(shù)，且3”=4=6z.(i)試求x, y, z之間的關(guān)系.由 210gxy _21og),x + 3 = 0 得 2f_7 + 3 = 0,2t2所以yx + xy = -,即2沖=一，所以盯z = l. zz22

5、.設(shè)次,九z均為正數(shù)，且3”=4=6z.(i)試求x, y, z之間的關(guān)系.+3t-2 = 0,.(21)Q + 2) = 0,)0,1i, = %，即 log v y = ：，y =/， LL J,-.T = x2-4y2 =x2-4x = (x-2)2-4,Qx1 ,當(dāng) x = 2 時，Tmin=-4.【點睛】此題考查換元法的數(shù)學(xué)思想方法，及用配方法求二次函數(shù)最值，屬于中檔題.2.設(shè)q0,m=,n = ay ,求證：xyz = l.C I - Cl【答案】證明見解析【解析】【分析】將指數(shù)式化成對數(shù)式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)化簡整理即可求證.【詳解】因為m=優(yōu)，n = /，所以x = log/%

6、, y = log“， TOC o 1-5 h z 2/、2 2由W=涼可得1嗎(加叫=log好二,2 22即 log。加 + log” nx = log. az =-,所以 ylog” m + xlog。n =-, zz(2)求使2x=0，成立，且與P最近的正整數(shù)(即求與的差的絕對值最小的整數(shù)).(3)比擬3x, 4y, 6z的大小.【答案】(1)=(2) 3； (3) 3x4y = 7，Z = 17 log, 3logz 4logz 6(1)通過對數(shù)運算可得x, J, z之間的關(guān)系；2x(2)由題意得P = = 1316,證明 23 ，即可得答案； y(3)利用作差法結(jié)合對數(shù)運算，即可得答

7、案；【詳解】 設(shè)3=4=6=八 由元,九z均為正數(shù)知”1.故取以t為底的對數(shù)，可得xlog, 3 = ylogz 4 = zlog, 6 = 1.x - y = z = log, 3 log, 4 logz 6 .(1)(2)1-l = log,6-log,3 = log,2 = llog,4 = ,z之間的關(guān)系為z x 2y2r 2P =-. log, 4 = 2- log3 4 = log/16. log, 3由91627, Wlog39log3161 知一 ，9 16 243916116 27G - 2 = log3 log3 = 3-/?.y1O從而所求正整數(shù)為3., 31gr 41g

8、/(3)3x-4y = 3log31 -4log41 =-lg3 lg4，31g4 41g3、Ig3.lg4 )，31g4 41g3、Ig3.lg4 )5號M).而lg，0, lg3o , lg40, lg43 lg34, A 3xo, lg40, lg60, Ig62lg43, A 4y6z.故有 3x4yv6z.【點睛】此題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)運算，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.【分析】由對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于。且不等于I列出不等式組，然后求解即可.【詳解】1,解之得:-1 4且qw0.a1,eN*),討論幾為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，求出。的次方根，即可判

9、斷得出結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)為奇數(shù)時，。的次方根只有1個，為工；當(dāng)為偶數(shù)時，由于(x)=x=q,所以。的幾次方根有2個，為土工所以B, D說法是正確的.應(yīng)選：BD.以下四個等式正確的選項是()A. lg(lgl0)= 0B. lg(lne) = 0C.假設(shè)lgx = 10,那么x = 10D.假設(shè)lnx = e,那么x = /【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化，對數(shù)的運算對各選項作出判斷.【詳解】對于A,因為lglO = l,所以lg(lgl0)= 0,故A正確；對于B,因為lne = l,所以lg(lne) =。，故B正確；對于C,假設(shè)如 = 10,那么x = l(V。，故C

10、錯誤；對于D,假設(shè)lnx = e,那么x =,故D錯誤.應(yīng)選：AB.【點睛】此題主要考查了對數(shù)式與指數(shù)式的互化，對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.正實數(shù)人滿足父=4 ，且 + log2人=3,那么的值可以為()A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】BC【解析】【分析】 由指數(shù)式化對數(shù)式得到Q = log4 = 21og)2,代入到a + k)g2b = 3,解方程得到b和。.【詳解】由 0 = 4 得到 a = 10gz, 4 = 2 log7, 2 ,217r貝121082 + 1。82 = 3, gp- + log2/? = 3,一log2 b整理得（log2與之一 3log2匕+ 2 = 0,解

11、得 log2。= 2 或 log2 b = l,當(dāng)log2 = 2 時， = 4,a = l,貝1a + = 5;當(dāng) log2 = l 時，b = 2,a = 2,那么 q + = 4.應(yīng)選：BC.【點睛】此題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.設(shè)m b,。都是正數(shù)，且4 =6 =9那么（）2 2 11 2 1A. ab+be = 2acB. cib+be cic C. = iD. cabc b a【答案】AD【解析】【分析】利用與對數(shù)定義求出。，力，C,再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得logM4 + logM9 = 21ogM6,然后進(jìn)行化簡變形 即可得到.【詳解】由于b ,

12、C都是正數(shù)，故可設(shè)4=6=夕=加， TOC o 1-5 h z . a = log4 M , b = log6 M , c = log9 M ,那么工=log” 4 , ； = logM 6, - = log” 9. abc11?121 logM4 + logM9 = 21ogw6,.一 + - = 7，即=：一一,去分母整理得，ab+bc = 2ac.acbcba應(yīng)選AD.【點睛】此題考查對數(shù)的定義及運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題.如果關(guān)于x的方程（lg+（lg3 + lg5）lgx + lg3.lg5 = 0的兩根分別是。,夕，那么。1的值是.【答案】15【解析】【分析】由題意可得是一元

13、二次方程f+(lg3 + lg5)x+lg3lg5 = 0的兩根，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求得答案【詳解】6/?是關(guān)于X的方程(Igx+(lg3 + lg5)lgx + lg3lg5 = o的兩根lg/lg4是一元二次方程f+(g3 + lg5)x+lg3lg5 = 0的兩根/. Iga + lg = -(lg3 + lg5)= -lgl5 = lg-, lg(a.尸) = lg，a - =.15故答案為：.假設(shè)對數(shù)In (N-5x+6)存在，那么x的取值范圍為一.【答案】(F,2)U(3,y)【解析】假設(shè)對數(shù)存在，那么真數(shù)大于0,解不等式即可.【詳解】解：:對數(shù)/ (N-5x+6)存在，/.

14、x2 - 5x+60,解得：xV2或x3,即x的取值范圍為：(-8, 2) U (3, +8).故答案為：(-8, 2) U (3, +oo).15.從1, 2, 3, 4, 9這五個數(shù)中任取兩個數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，那么可以得到一種不同的對數(shù)值.【答案】9【解析】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，列出所有滿足題意的可能，即可得答案.【詳解】當(dāng)構(gòu)成的對數(shù)式含有1時，即真數(shù)為1,底數(shù)可為2,349,得到的對數(shù)值均為0；當(dāng)構(gòu)成的對數(shù)式不含 1 時，有(2,3)、(3,2)、(2,4) , (4,2) , (2,9) , (9,2) , (3,4) , (4,3),(3,9) , (9,3)，(4

15、,9) , (9,4)共 12 種，其中/og23 = /og49, lo g2 = log 39, log31 = logA, log42 = log93,重復(fù) 4 個，有 12-4=8 個;綜上，可以得到1+8 = 9種不同的對數(shù)值，故答案為：9. lgQ + = 3, 4=100,那么/g2.b=.【答案】4【解析】【分析】2由a =100,可得。,從而可得1g。，進(jìn)而解得b ,從而得解. Iga【詳解】由 a =100,可得 Rga = /gl00 = 2,22所以人，代入恒 +8=3中，可得：回 + ; = 3,解得lga = l或2. IgaIga所以。=10力=2 或 q = 1

16、00,b = l.當(dāng) a = 10,b = 2時,0 .。=2x2 = 4；當(dāng)。=1。力=1 時，檐2/= 4義1 = 4;綜上：a愴之力=4.故答案為4.【點睛】此題主要考查了對數(shù)的運算，屬于中檔題.四、解答題.右+ /= = 3,求以下各式的值：4 +cr + a2 ；a + /-a2 -a -【答案】(1)7； (2) 47； (3) 述或-述. 55【解析】【分析】根據(jù)式子的特點/+aW -3,聯(lián)系完全平方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求出答案 Cl I H J【詳解】吐=3,即）+/=3 -! _1（1 ） +=（。2 + 2）2 _2xXT =3log64【答案】（1）-45層（3）1【解析】【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕運算法那么進(jìn)行運算；（2）把根式換為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，難點是用到了立方差公式；（3）利用對數(shù)運算法那么進(jìn)行計算 原式=（0.3）3 -3-72+| 25 |2 _1 = !2