《土力學(xué)》教程 3 土應(yīng)力分布及計(jì)算

1、土力學(xué)教程（同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院編制）目錄土的應(yīng)力分布及計(jì)算學(xué)習(xí)指導(dǎo)土的自重應(yīng)力基礎(chǔ)底面壓力集中力作用下土中應(yīng)力計(jì)算分布荷載作用時(shí)的土中應(yīng)力計(jì)算本章小結(jié)第昌章土申學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握土中自重應(yīng)力計(jì)算、基底壓力計(jì)算以及各種荷載條件下的土中附加應(yīng)力計(jì)算方法。學(xué)習(xí)基本要求掌握土中自重應(yīng)力計(jì)算掌握基底壓力和基底附加壓力分布與計(jì)算掌握?qǐng)A形面積均布荷載、矩形面積均布荷載、矩形面積三角形分布荷載以及條形荷載等條件 下的土中豎向附加應(yīng)力計(jì)算方法了解地基中其他應(yīng)力分量的計(jì)算公式主要基礎(chǔ)知識(shí)材料應(yīng)力應(yīng)變基本概念園參閱：孫訓(xùn)方等編著，材料力學(xué)，高等教育出版社，1987。彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、參閱：（1）徐芝倫著，彈性力

2、學(xué)，高等教育出版社，1990。（2）吳家龍編著，彈性力學(xué)，同濟(jì)大學(xué)出版社，1993。一、土的自重應(yīng)力由土體重力引起的應(yīng)力稱為自重應(yīng)力。自重應(yīng)力一般是自土體形成之日起就產(chǎn)生于土中。均質(zhì)地基土的自重應(yīng)力土體在自身重力作用下任一豎直切面均是對(duì)稱面，切面上都不存在切應(yīng)力。因此，在深度Z處平面上，土體因自 身重力產(chǎn)生的豎向應(yīng)力 (稱豎向自重應(yīng)力)等于單位面積上土柱體的重力皿如圖3-1所示。在深度乙處土的自重 應(yīng)力為：= = = (3-1)式中y為土的重度，kN/口3 ；f為土柱體的截面積，m2。從公式(3-1)可知，自重應(yīng)力隨深度z線性增加，呈三角形分布圖形。圖3-1均質(zhì)土的自重應(yīng)力成層地基土的自重應(yīng)力

3、地基土通常為成層土。當(dāng)?shù)鼗鶠槌蓪油馏w時(shí)，設(shè)各土層的厚度為凡，重度為y，則在深度z處土的自重應(yīng)力計(jì)算公式為汀E = 由1 + 眼+ 丫& = 川腐(3-2)i-1式中n為從天然地面到深度z處的土層數(shù)。有關(guān)土中自重應(yīng)力計(jì)算及其分布圖繪制的具體方法可參見例題3-1某土層及其物理性質(zhì)指標(biāo)如圖3-2所示，地下水位在地表下1.0 m，計(jì)算土中自重應(yīng)力并繪出分布圖?！窘狻康?層：az=0 m，。世=股=口炒日點(diǎn)：八、z=1=18.6kPaxl = !.6kPa點(diǎn).八、：z=2七=18.6kPaxl + (lE.gkPa-10kPa)xl = 18.6kPa-H8.8kPa = 27.4kPa第2層：d點(diǎn).八

4、、：z=5=18.6EPaxl + (lg.gkPa-10kPa)xl + (lE.4kPa-10kPa)x3=18.6kPa + 8.8kJ)a + 25.2kPa = 52.6kPa土層中的自重應(yīng)力bcz分布如圖3 2所示。*=18.6 IcN/ni- 七舊B kN臨1S kPa27 一4 kPay=i8.i!=is.4 kN/irf疫kPa圖3-2 例題3 13.水平向自重應(yīng)力土的水平向自重應(yīng)力bcpb cy可用下式計(jì)算(3-3)式中K0為側(cè)壓力系數(shù)，也稱靜止土壓力系數(shù)，參見第六章。土的靜止土壓力系數(shù)K0確定方法4.土層中有地下水時(shí)的自重應(yīng)力當(dāng)計(jì)算地下水位以下土的自重應(yīng)力時(shí)，應(yīng)根據(jù)土的性

5、質(zhì)確定是否需要考慮水的浮力作用。通常認(rèn)為水下的砂性土 是應(yīng)該考慮浮力作用的。粘性土則視其物理狀態(tài)而定，一般認(rèn)為，若水下的粘性土其液性指數(shù)IL 1，則土處于流動(dòng) 狀態(tài)，土顆粒之間存在著大量自由水，可認(rèn)為土體受到水浮力作用，若ILW0,則土處于固體狀態(tài)，土中自由水受到土 顆粒間結(jié)合水膜的阻礙不能傳遞靜水壓力，故認(rèn)為土體不受水的浮力作用，若0VILV1，土處于塑性狀態(tài)，土顆粒是 否受到水的浮力作用就較難肯定，在工程實(shí)踐中一般均按土體受到水浮力作用來(lái)考慮。若地下水位以下的土受到水的浮力作用，則水下部分土的重度按有效重度計(jì)算，其計(jì)算方法同成層土體情況。二、基礎(chǔ)底面壓力建筑物荷載通過(guò)基礎(chǔ)傳遞給地基的壓力稱

6、基底壓力，又稱地基反力。地基反力分布基底地基反力的分布規(guī)律主要取決于基礎(chǔ)的剛度和地基的變形條件。對(duì)柔性基礎(chǔ)，地基反力分布與上部荷載分布 基本相同，而基礎(chǔ)底面的沉降分布則是中央大而邊緣小，如由土筑成的路堤，其自重引起的地基反力分布與路堤斷面 形狀相同，如圖3-3所示。對(duì)剛性基礎(chǔ)（如箱形基礎(chǔ)或高爐基礎(chǔ)等），在外荷載作用下，基礎(chǔ)底面基本保持平面，即 基礎(chǔ)各點(diǎn)的沉降幾乎是相同的，但基礎(chǔ)底面的地基反力分布則不同于上部荷載的分布情況。剛性基礎(chǔ)在中心荷載作用 下，開始的地基反力呈馬鞍形分布；荷載較大時(shí)，邊緣地基土產(chǎn)生塑性變形，邊緣地基反力不再增加，使地基反力重 新分布而呈拋物線分布，若外荷載繼續(xù)增大，則地基

7、反力會(huì)繼續(xù)發(fā)展呈鐘形分布，如圖3-4所示。圖3-3柔性基礎(chǔ)下的基底壓力分布-：觀看形成過(guò)程模擬（a）理想柔性基礎(chǔ)（b）路堤下地基反力分布圖3-4岡。性基礎(chǔ)下壓力分布LU觀看形成過(guò)程模擬（a）馬鞍形（b）拋物線形（c）鐘形地基反力的簡(jiǎn)化計(jì)算(3-4)實(shí)用上，通常將地基反力假設(shè)為線性分布情況按下列公式進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算:地基平均反力地基邊緣最大與最小反力ndn(3-5)式中F為作用在基礎(chǔ)頂面通過(guò)基底形心的豎向荷載，kN； G為基礎(chǔ)及其臺(tái)階上填土的總重，kN，G=YGAd，其中靖為 基礎(chǔ)和填土的平均重度，一般取Yg=20 kN/m3，地下水位以下取有效重度，d為基礎(chǔ)埋置深度；M為作用在基礎(chǔ)底面的 力矩，M

8、=（F+G）e，e為偏心距；W為基礎(chǔ)底面的抗彎截面模量，即式中l(wèi)，b為基底平面的長(zhǎng)邊與短邊尺寸。將W的表達(dá)式代入（3-5）式得nonlb(3-5)1)當(dāng) e0;2)當(dāng) e = l/6 時(shí)基底地基反力呈三角形分布，p . =0； r min3) e1/6 時(shí)，即荷載作用點(diǎn)在截面核心外，PminV0;基底地基反力出現(xiàn)拉力。由于地基土不可能承受拉力，此時(shí)基底與地基土局部脫開，使基底地基反力重新分布。根據(jù)偏心荷載與基底地基反力的平衡條件，地基反力的合力作用線應(yīng)與偏心荷載作用線重合得基底邊緣最大地基反力p max為:2N圖3-5基底反力分布的簡(jiǎn)化計(jì)算(a)中心荷載下 (成偏心荷載el/6時(shí)基底附加壓力基

9、礎(chǔ)通常是埋置在天然地面下一定深度的。由于天然土層在自重作用下的變形已經(jīng)完成，故只有超出基底處原有 自重應(yīng)力的那部分應(yīng)力才使地基產(chǎn)生附加變形，使地基產(chǎn)生附加變形的基底壓力稱為基底附加壓力p0。因此，基底附 加壓力是上部結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)傳到基底的地基反力與基底處原先存在于土中的自重應(yīng)力之差，按下式計(jì)算：口 =營(yíng)一 5 =目一淚(3-7)式中p為基底地基反力，為區(qū)別于附加壓力，又稱基底總壓力；氣為基底處自重應(yīng)力；y為基底標(biāo)高以上天然土層按 分層厚度的加權(quán)重度；基礎(chǔ)底面在地下水位以下，地下水位以下的土層用有效重度計(jì)算；8為基礎(chǔ)理置深度，簡(jiǎn)稱基 礎(chǔ)埋深。三、土中附加應(yīng)力土中的附加應(yīng)力是由建筑物荷載所引起的應(yīng)力

10、增量，一般采用將基底附加壓力當(dāng)作作用在彈性半無(wú)限體表面上 的局部荷載，用彈性理論求解的方法計(jì)算。在均勻的、各向同性的半無(wú)限彈性體表面作用一豎向集中力Q時(shí)，半無(wú)限體內(nèi)任意點(diǎn)M的應(yīng)力（不考慮彈性體處的豎向位的體積力）可由布西奈斯克 解計(jì)算，如圖3-6所示。工程中常用的豎向正應(yīng)力及地表上距集中力為移w （沉降）可表示成如下形式:(3-8)(3-9)式中R與應(yīng)力系數(shù)a分別為R = x2a是（rZ）的函數(shù)，可制成表格形式供查用。E,吩別為土的彈性模量及泊松比。圖3-6集中力作用下土中應(yīng)力計(jì)算其余應(yīng)力分量與位移分量計(jì)算公式可查閱集中力作用下土中其余應(yīng)力分量計(jì)算集中力作用下土中其余應(yīng)力分量計(jì)算x, y軸方向

11、的正應(yīng)力:3g Jzx2-如-三京 j夢(mèng) 3R3（R+s）窈，十1一孕烝氣曙+）切應(yīng)力F =偵3Q砂_ 1 -脫xy（2R十衛(wèi)）不* 3 *+子32遂x，y，z軸方向的位移:5。字如頃52 m2.分布荷載作用時(shí)的土中應(yīng)力計(jì)算（1）基本計(jì)算原理對(duì)實(shí)際工程中普遍存在的分布荷載作用時(shí)的土中應(yīng)力計(jì)算，通?？刹捎萌缦路椒ㄌ幚恚寒?dāng)基礎(chǔ)底面的形狀或基底 下的荷載分布不規(guī)則時(shí)，可以把分布荷載分割為許多集中力，然后用布西奈斯克公式和疊加原理計(jì)算土中應(yīng)力。當(dāng)基 礎(chǔ)底面的形狀及分布荷載都是有規(guī)律時(shí)，則可以通過(guò)積分求解得相應(yīng)的土中應(yīng)力。如圖3-7所示，在半無(wú)限土體表面作用一分布荷載p（x,y），為了計(jì)算土中某點(diǎn)M（x

12、,y,z）的豎向正應(yīng)力氣值，可以 在基底范圍內(nèi)取單元面積dF=d&d門，作用在單元面積上的分布荷載可以用集中力dQ表示，dQ斗（x,y） ddn。這時(shí)土中 M點(diǎn)的豎向正應(yīng)力電值可用式（3-8）在基底面積范圍內(nèi)積分求得，即dO 3必5君 （3-10）當(dāng)已知荷載、分布面積及計(jì)算點(diǎn)位置的條件時(shí)，即可通過(guò)求解上式獲得土中應(yīng)力值。圖3-7分布荷載作用下土中應(yīng)力計(jì)算2）圓形面積上作用均布荷載時(shí)土中豎向正應(yīng)力的計(jì)算為了計(jì)算圓形面積上作用均布荷載p時(shí)土中任一點(diǎn)M（r,z）的豎向正應(yīng)力，可采用原點(diǎn)設(shè)在圓心。的極坐標(biāo)（如圖 3-8），由公式主=9）在圓面積范圍內(nèi)積分求得：2 2tt J J / 22 022忠（3

13、-11）上式可表達(dá)成簡(jiǎn)化形式：式中R為圓面積的半徑，m； r為應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)M到z軸的水平距離，m； %為應(yīng)力系數(shù)，它是(r/R)及(&)的函數(shù)， 當(dāng)計(jì)算點(diǎn)位于圓形中心點(diǎn)下方時(shí)其值為：也可將此應(yīng)力系數(shù)制成表格形式查用。圖3-8圓形面積均布荷載作用下土中應(yīng)力計(jì)算矩形面積均布荷載作用時(shí)土中豎向應(yīng)力計(jì)算1)矩形面積中點(diǎn)0下土中豎向應(yīng)力計(jì)算圖3-9表示在地基表面作用一分布于矩形面積(/ X b)上的均布荷載p，計(jì)算矩形面積中點(diǎn)下深度z處M點(diǎn)的豎向應(yīng)力b值，可從式(3-10)解得:z式中應(yīng)力系數(shù)a是n=l/b和口=2的函數(shù)，即022%云1 +活+8灑)尊cs0 = .r 十 arctan兀 J1卜必 +4疝

14、卜4廿)2腳廿Ia。也可由相應(yīng)表格查得。h圖3-9矩形面積均布荷載作用下土中應(yīng)力計(jì)算2）矩形面積角點(diǎn)下土中豎向應(yīng)力計(jì)算在圖3-9所示均布荷載作用下，計(jì)算矩形面積角點(diǎn)c下深度z處N點(diǎn)的豎向應(yīng)力氣時(shí)，同樣可其將表示成如下形式：（3-13）式中應(yīng)力系數(shù)頭 aa為:它是n=l/b和m=z/b的函數(shù)，可由公式計(jì)算或相應(yīng)表格查得。3）矩形面積均布荷載作用時(shí)，土中任意點(diǎn)的豎向應(yīng)力計(jì)算-角點(diǎn)法在矩形面積上作用均布荷載時(shí)，若要求計(jì)算非角點(diǎn)下的土中豎向應(yīng)力，可先將矩形面積按計(jì)算點(diǎn)位置分成若干小 矩形，如圖3-10所示。在計(jì)算出小矩形面積角點(diǎn)下土中豎向應(yīng)力后，再采用疊加原理求出計(jì)算點(diǎn)的豎向應(yīng)力氣值。這 種計(jì)算方法一

15、般稱為角點(diǎn)法。圖3-10角點(diǎn)法計(jì)算土中任意點(diǎn)的豎向應(yīng)力矩形面積上作用三角形分布荷載時(shí)土中豎向應(yīng)力計(jì)算當(dāng)?shù)鼗砻孀饔镁匦蚊娣e(ZX8)三角形分布荷載時(shí)，為計(jì)算荷載為零的角點(diǎn)下的豎向應(yīng)力值氣，可將坐標(biāo)原點(diǎn)取 在荷載為零的角點(diǎn)上，相應(yīng)的豎向應(yīng)力值氣可用下式計(jì)算：汀廣P(3-15)式中應(yīng)力系數(shù)氣是n=l/b和m=z/b的函數(shù)，即:其值也可由相應(yīng)的應(yīng)力系數(shù)表查得。特別提示注意這里b值不是指基礎(chǔ)的寬度，而是指三角形荷載分布方向的基礎(chǔ)邊長(zhǎng)，如圖3-11所示。ATI（5）均布條形分布荷載下土中應(yīng)力計(jì)算條形分布荷載下土中應(yīng)力狀計(jì)算屬于平面應(yīng)變問(wèn)題，對(duì)路堤、堤壩以及長(zhǎng)寬比l/bt0的條形基礎(chǔ)均可視作平面 應(yīng)變問(wèn)題

16、進(jìn)行處理。如圖3-12所示，在土體表面作用分布寬度為b的均布條形荷載p時(shí)，土中任一點(diǎn)的豎向應(yīng)力sz可采用彈性理論中 的弗拉曼公式在荷載分布寬度范圍內(nèi)積分得到：式中應(yīng)力系數(shù)au是及m=z/b的函數(shù)，即n=x/b應(yīng)力系數(shù)au也可由相應(yīng)的應(yīng)力系數(shù)表查的中點(diǎn)處。得。注意此時(shí)坐標(biāo)軸的原點(diǎn)是在均布荷載圖3-12均布條形荷載作用下的土中應(yīng)力計(jì)算均布條形荷載作用下的土中應(yīng)力計(jì)算也可以采用極坐標(biāo)形式表示根據(jù)根據(jù)材料力學(xué)理論還可以求出土中任一點(diǎn)的主應(yīng)力土中任一點(diǎn)的主應(yīng)力土中任一點(diǎn)的最大、最小主應(yīng)力氣和氣可根據(jù)材料力學(xué)中有關(guān)主應(yīng)力與正應(yīng)力及剪應(yīng)力間的關(guān)系導(dǎo)出如下:tg23 =式中e-最大主應(yīng)力的作用方向與豎直線間的

17、夾角。將M點(diǎn)的應(yīng)力表達(dá)式代入上式即得到任一點(diǎn)的最大、最小主應(yīng)力:式中81、。2為計(jì)算點(diǎn)到荷載寬度邊緣的兩條連線與垂直方向的夾角。成層地基中附加應(yīng)力的分布規(guī)律在柔性荷載作用下，將土體視為均質(zhì)各向同性彈性土體時(shí)土中附加應(yīng)力的計(jì)算與土的性質(zhì)無(wú)關(guān)。但是，地基土往 往是由軟硬不一的多種土層所組成，其變形特性在豎直方向差異較大，應(yīng)屬于雙層地基的應(yīng)力分布問(wèn)題。對(duì)雙層地基 的應(yīng)力分布問(wèn)題，有兩種情況值得研究：一種是堅(jiān)硬土層上覆蓋著不厚的可壓縮土層即薄壓縮層情況；另一種是軟弱 土層上有一層壓縮性較低的土層即硬殼層情況。當(dāng)上層土的壓縮性比下層土的壓縮性高時(shí)（薄壓縮層情況），即E1ve2時(shí)，則土中附加應(yīng)力分布將發(fā)生

18、應(yīng)力集中的現(xiàn)象。當(dāng)上層土的壓縮性比下層土的壓縮性低時(shí)（即硬殼層情況），即E1E2，則土中附加應(yīng)力將發(fā)生擴(kuò)散現(xiàn)象，如圖3-14所示。在實(shí)際地基中，下臥剛性巖層將引起應(yīng)力集中的現(xiàn)象， 若巖層埋藏越淺，應(yīng)力集中愈顯著。在堅(jiān)硬土層下存在軟弱下臥層時(shí)，土中應(yīng)力擴(kuò)散的現(xiàn)象將隨上層堅(jiān)硬土層厚度的 增大而更加顯著。因土的泊松比變化不大，其對(duì)應(yīng)力集中和應(yīng)力擴(kuò)散現(xiàn)象的影響可忽略。雙層地基中應(yīng)力集中和擴(kuò)散的概念有著重要工程意義，特別是在軟土地區(qū)，表面有一層硬殼層，由于應(yīng)力擴(kuò)散作用，可以減少地基的沉降，故在設(shè)計(jì)中基礎(chǔ)應(yīng)盡量淺埋，并在施工中采取保護(hù)措施，以免淺層土的結(jié)構(gòu)遭受破壞。雖力就小T成就* I成力混小成力城*十 成力灣小 十應(yīng)h腐士TtiTirrnr（a）應(yīng)力集中 （b）應(yīng)力擴(kuò)散本章主要學(xué)習(xí)了土的自重應(yīng)力計(jì)算、各種荷載條件下的土中附加應(yīng)力計(jì)算及其分布規(guī)律等。土中應(yīng)力指土體在自身重力、建筑物和構(gòu)筑物荷載以及其他因素（如土中水的滲流、地震等） 作用下，土中產(chǎn)生的應(yīng)力。土中應(yīng)力過(guò)大時(shí)，會(huì)使土體因強(qiáng)度不夠發(fā)生破壞，甚至使土體發(fā)生滑動(dòng) 失去穩(wěn)