大白本解答(月版,章曲線積分和曲面積分)

1、第九章、曲線積分與曲面積分曲線積分部分、(1)直接計(jì)算：lfyxdy=1fy一.ydy0fyydy=2；fy.ydy111lfyxdyfx2xdx22x2fx2dx=4。x2fx2dx，故選項(xiàng)B是對(duì)的。直接由Green公式，應(yīng)選D。設(shè)Li：x24y2=a2,a0適當(dāng)小，使在L所圍區(qū)域內(nèi)，Li取順時(shí)針?lè)较颍僭O(shè)D為L(zhǎng)LiLLixdy-ydx22x4yL,Li包含的平面區(qū)域，則由Green公式:J0 xdy=ffOdxdy=0綱氐+4y“JJ所以,所以,i-xdy-ydxr-xdy-ydxy)dxdy=兀，應(yīng)選D內(nèi)丿選C11.直接計(jì)算：Jf(x,yds=Lfk(t艸(t閃巧而市dtL2直接計(jì)算：應(yīng)

2、填-老計(jì)算：L:y=O,x從2到00Ix22xydxy22xydy二x2dx二-L2應(yīng)填2，計(jì)算：由Green公式ixydx-2ydy二0-1dxdy-2LD4應(yīng)填：12a,由“對(duì)稱”性易知：2xyds=0D22、$2xy+3x2L$2xy+3x2L4y2ds12$yds訂12ds=12aLf11lx丿xlx丿令u=y,z=f(u)得:xdTu-uZ2解此一階線性方程得：z=3u2-2u。即：.z(191f(u)=3u-2u,利用初始條件f(1)=1，解得:f(u)=u3-u21，所以,曲面積分部分一、1.因是平行于yoz坐標(biāo)面的一個(gè)柱面，故直接計(jì)算曲面積分11f(x,y,z)ds時(shí)，可將Zv

3、分為從z軸來(lái)看的上、下兩部分，然后再往xoy面上投影。注意到在上半部分，z是非負(fù)的，在下半部分，z是負(fù)的。故選C。2易知在區(qū)2上的點(diǎn)(x,y,z)處的單位向量n=吉5,-1,-1。故由兩類曲面積分的關(guān)系：111PdydzQdxdzRdxdy=(QR)ds，所以選項(xiàng)A是正確的。2B的錯(cuò)誤在于，=是上側(cè)，故右邊是正號(hào)；C的錯(cuò)誤在于，在1上，關(guān)系式x=_z-y2是不成立的；D的錯(cuò)誤在于，在xi上,y=Jz-x2是不成立的。3.因在前、后球面上，xcosx是反對(duì)稱的，故選項(xiàng)A的積分為零；同理選項(xiàng)B及C的積分都是零。故選項(xiàng)D是對(duì)的，原因是iixds和11yds這兩個(gè)積分都是0，顯然x24yz2丄x24y

4、2卡2二2(x2y2)ds0。x2y2z勺易知，在的柱面部分上：n(x2y2z2)dxd0，而在兩個(gè)頂面及222222I：z-1上，|i(xy-z)dxdy-(xy-z)dxdy，故選項(xiàng)A的積分為0;對(duì)于B，在上，z=0，故11xdydz：11ydxdz=0,11zdxdy：ii0dxdy=0，故積分為0;將ZZZZ17按x軸方向分為前、后各個(gè)球面打2,則為前側(cè)，為后側(cè)。有：417xdydz=2Jfxdydz0，故選項(xiàng)C的積分不為0;若將為烈2二7黑廠2丄2丄27xxyzxyz按x軸方向分為前、后兩個(gè)對(duì)稱的半橢球面，貝廣1是前側(cè)的，而72是后側(cè)的，再由于x2是x的偶函數(shù)。故iix2dydz=0

5、，同理，y2dxdz=0，iiz2dxdy=0。ZZZ注意到j(luò)iPdxdyQdydz-Rdzdx能用Gauss公式的兩個(gè)前提條件：是外側(cè)(或內(nèi)側(cè)曲Z面)，P、Q、R在近所圍的0內(nèi)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，容易知道選項(xiàng)D是對(duì)的。A不對(duì)：a的球面部分和平面部分的定向不能保證a同時(shí)是外側(cè)(或內(nèi)側(cè))的。B,C不對(duì)：P、Q、R不可偏導(dǎo)的點(diǎn)(0,0,0)在門內(nèi)。注意到在上：x2y2z2=1。直接計(jì)算得：X22dydz二、xdydz二dv(gauss公式)xy-z、x2y2】z2=4二，故選項(xiàng)C是正確的。3選項(xiàng)A、B、D的錯(cuò)誤的共性在于，計(jì)算第二類曲面積分，錯(cuò)誤地用了“對(duì)稱性”。這是要注意的。將四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)乘以方程

6、的左邊直接判斷可知，選項(xiàng)B是對(duì)的。1ydxxdyxdy.M衛(wèi)丄,故蘭=衛(wèi)，丄不是ydxxd戸0的積分因yy糾-xy：yjxy子。二、1解：設(shè)v表示上半球面zfa2-x2-y2。則由對(duì)稱性，原式=2x2ds=2Z原式=2x2ds=2Z.x2x2-y2迢2:x21亠I222axy2y22dxdy-x-y2解:2解:=2x222.2y蘭二a4div(u)aa2_x2_y2cos2Gd日2兀12dxdy%卄?cos2日1a2PdPJ1P2?21F2+sinHcos日彳112(1_P2)2122一(一|2)fa433-20-)210=：(xy2).Xyez).：(xln(1z2):x.:z川e奐1+zT

7、div(u)(1,1,0)=23解:二gra)dF仁2y2Z2X2y-H2ZTrz+2X2X2ZTTT(xiyjzk).4.解：注意到在上，xyz二a。2，嚴(yán)彎(：?dXdyqaxdydz(za)2dxdy)Z(x2+y2+z2)2Za補(bǔ)1為xoy平面上的圓x2y2-a2，取下側(cè)。則由Gauss公式:(xdydzEdxdy)：hi(10經(jīng)引)dv二2二a3hi2zdvIa門aa30=-2二a11dxdy-i30=-2二a11dxdy-i2z31.22一dz=2“：a亠11(a-xa一33二333=2：；=a-aaa22a2x2y2-y2)dxdy其中為所圍立體，D:X2y2a2為平面區(qū)域。為所

8、圍立體，D:X2y2a2為平面區(qū)域。2.I_3二a311(xdydz(za)2Sdxdy)33a211adxdy=2a3二a32:3=-a2225.解：設(shè)c：(x-1)(y)=1，則:|z=0X=cos：1C的參數(shù)式y(tǒng)=sin日+12応IA=Jx2y2)ds(32sinv2cosR：Jsin2cos26解：補(bǔ)1為x2被x2y2=4所截部分的上側(cè)。則-ydxdz(zT)dxdy二(0-11)dv二0QI二-ydxdz(z1)dxdy=0ii(2-x)dxdy2二2odocos:dii2dxdy=-8x2-y4x2y2里7解：設(shè)1、2、3分別表示v的上、下及側(cè)面部分曲面。易知,2xdydzzdxd

9、yx2y2z22Rdxd=0,所以x2y2R22xdydzzdxdy2xdydzzdxdy氓x2y2z2x2y2z2=”Jr2_y2ydz=2R2y2dydzR2z2=2R2-y2dy.22dz眾R2z2=22y-RFR2arcs21arctanR丿_r1RI其中，D-(x,y)-R_x_R,-R_y_R8解：令i為圓:8解：令i為圓:x2z2空2的右側(cè)。則由Gauss公式:211(8y1)xdydz2(1y)dxdz4yzdxdy:iii(8y1_4y_4y)dv!/dv=VL)=2二QQ2=(8y1)xdydz2(1-y)dxdz-4yzdxdyZ=2，ii(y1x)dydz2(1y)dxdz4yzdxdyX2=2二-2(1-3)dzdx=34二z20哆其中V（門）表示所圍立