操作型問題選(共12頁)

1、 操作(cozu)型問題選操作型問題能讓學生經(jīng)歷觀察，操作，實驗，猜想，驗證的探究過程不僅能考查學生的空間觀念，對圖形的認識，圖形的變換，圖形的設(shè)計，圖形的直覺判斷能力，而且還能考查學生的分析綜合，抽象概括邏輯推理的能力，是學生展示個體思維發(fā)散創(chuàng)新的好平臺操作型問題一般包括(boku)作圖問題，分割組合圖形問題，圖形的折疊問題和圖形移動等問題解決這類問題，要理解掌握軸對稱軸、中心對稱及點的軌跡的基本性質(zhì)，審清題意，學會(xuhu)運用圖形的平移變換、翻折變換和旋轉(zhuǎn)變換. 注意運用分類討論、類比猜想、驗證歸納等數(shù)學思想方法，靈活地解決問題在平時的學習中，要注重操作習題解題訓(xùn)練，提高思維的開放性，

2、培養(yǎng)創(chuàng)新能力.NBCAM圖9-1典型例題例如圖9-1，在正方形網(wǎng)絡(luò)上有一個ABC. （）作ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形（不寫作法）；（）若網(wǎng)絡(luò)上的最小正方形的邊長為1，求ABC的面積.（2003年浙江紹興市中考試題）分析：(1)觀察圖形,先作出點A、B、C關(guān)于直線MN的對稱點A1、B1、C1，連結(jié)A1B1、B1C1、C1A1得A1B1C1 (2)ABC等于點、所在邊的矩形面積與三個直角三角形面積和的差.解：（1）作圖（略）. （2）此三角形面積為：ABC232（12）13=62=說明：本題利用軸對稱性質(zhì)來作圖. 常見的作圖題依據(jù)著軸對稱、中心對稱及點的軌跡的性質(zhì)來作圖. 例2某地板廠要制作正六

3、邊形形狀的地板磚，為了適應(yīng)市場多樣化需求，要求在地板磚上設(shè)計的圖案能夠把正六邊形6等分，請你幫助他們設(shè)計等分圖案（至少設(shè)計兩種）. （2003年甘肅省中考試題） 分析：由題意得：本例屬于等分分割圖形問題，正六邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.設(shè)計圖案的關(guān)鍵：以正六邊形的6個頂點和正六邊形的中心為頂點分割設(shè)計成6等分圖案. 解：（答案不惟一，在下圖9-2中任選兩種）. 圖9-2 說明：本例屬于等分分割圖形問題(wnt)，與此例類似的如將平行四邊形、矩形、正方形分割成4等分等.這類問題解決，只有抓住被分割圖形的中心及圖形的頂點后，發(fā)揮個人的想象力，才能創(chuàng)造性地設(shè)計(shj)出圖案. 例3如圖9-

4、3，把一個等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高CD（裁剪線）剪一刀，從這個三角形中裁下一部分，與剩下(shn xi)部分能拼成一個平行四邊形ABCD（見示意圖a）. (以下探究過程中有畫圖要求的，工具不限，不必寫畫法和證明.)探究一：（1）想一想判斷四邊形ABCD是平行四邊形的依據(jù)是 ；(c)CAB(b)DCAB圖9-3（2）做一做按上述的裁剪方法，請你拼一個與圖（a）位置或形狀不同的平行四邊形，并在圖（b）中畫出示意圖.(a)DCBAA探究二：在直角三角形ABC中，請你找出其他的裁剪線，把分割成的兩部分拼出不同類型的特殊四邊形.（1）試一試你能拼得不同類型的特殊四邊形有 ，它們的裁剪線分別是 ；

5、（2）畫一畫請在圖（c）中畫出一個你拼得的特殊四邊形示意圖. （2003年浙江省麗水市中考試題）DCABD(1) 分析：探究二：本例屬于分割圖形后，再重新組合圖形問題.由于裁剪線的不定性，使組合圖形變得更加多姿多彩.重新組拼圖形的關(guān)鍵是找出不同類型的特殊四邊形：平行四邊形、矩形、等腰梯形、直角梯形再用實驗和類比的方法來尋找答案.ADCAB(2)圖9-4 解：探究一：/ = / = （1）CD AB（或AD BC等）. (2)(只要畫出圖9-4（1），（2）之一的示意圖).探究(tnji)二：平行四邊形、矩形、等腰梯形、直角梯形. 三角形ABC的中位線（或一條(y tio)三角形的中位線）（注：

6、若寫出直角梯形，并指出這條裁剪線是“把一條直角(zhjio)邊分成：1的兩段，且平行于另一條直角邊（或斜邊）的線段”，才算正確.） DCABD(3)AABCDD(2)AABCD(1)C k Dk BAC(6) k kCBADA(5)圖9-5CABDD(4) (2)只要畫出圖9-5中（1）（6）之一的示意圖. 說明：本例探究二中，由于裁剪線的不定性，給重新組合圖形留下較大的創(chuàng)新空間.解答此類問題，常用的方法有實驗法、分析法、類比法、聯(lián)想法和驗證法.想一想：探究一中，能否拼成菱形？請說明理由. 例4閱讀下面短文：如圖9-6（1）所示，ABC是直角三角形，C=900，現(xiàn)在ABC補成矩形，使ABC的兩

7、個頂點為矩形一邊的兩端點，第三個頂點落在矩形這一邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩個：矩形ACBD和矩形AEFB（如圖9-6（2）所示）.F圖9-6（2）DACAB圖9-6（1） EBC 解答問題： （1）設(shè)圖9-6（2）所示矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S1、S2，則S1 S2（填“”、“=”、“”） （2）如圖9-6（3）所示， ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出 個 ，利用圖9-6（3）把畫出來.圖9-6（4）ABCCAB9-6（3） （3）如圖9-6（4）所示，ABC是銳角三角形三邊滿足BCACAB，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要

8、求的矩形可以畫出 個，利用圖9-6（4）把它出來. （4）在（3）中所畫出的矩形中，哪一個的周長最?。繛槭裁?？（2002年陜西省中考試題） 分析：（2）只能(zh nn)以AB為一邊，作一個矩形；（3）可以銳角ABC的三邊(sn bin)作三個矩形；（4）由（1）類推（3）中的三個矩形(jxng)的面積相等，設(shè)其面積為S，用S與a、b、c三邊分別表示三個矩形的周長L1、L2、L3，用作差法類比三個矩形的周長的大小.解：（1）S1=S2；（2）一個（如圖9-6（5）；（3）三個（如圖9-6（6）； 圖9-6（6）HABCDEFGQ圖9-6（5）CAB(4)以AB為邊的矩形周長最小. 設(shè)矩形BCE

9、D、ACHQ、ABGF的周長分別為L1、L2、L3，BC=a,AC=b,AB=c.易知這三個矩形的面積相等.令其面積為S，則有，L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c.L1 L2=+2a(+2b)=2(ab). 而abS，ab，L1 L20，即L1 L2，同理L2 L3. 以AB為邊的矩形周長最小. 說明：本例要求在熟悉按要求補圖、組合圖形的基礎(chǔ)上，分析、歸納、類比一此量的變化.另外通過解答可以發(fā)現(xiàn)本例有三個規(guī)律：一是所畫矩形個數(shù)的規(guī)律（一個、二個、三個）.二是符合要求的矩形的面積的規(guī)律（各圖中矩形面積均為原三角形面積的2倍等）. 三是矩形周長的規(guī)律（以短邊為矩形一邊的矩形周長最短）. 例5

10、已知兩個等圓O1和O2相交A、B兩點，O1經(jīng)過O2，點C是AO2B上任一點（不與A、O2、B重合），連結(jié)BC并延長交O2于D，連結(jié)AC、AD. 圖9-7（1）供操作測量用，（測量時使用刻度尺和圓規(guī)）將圖9-7（1）按題中敘述補充完整，并觀察或度量AC、CD、AD三條線段的長短，通過觀察和度量，說出三條線段的長度之間存在怎樣關(guān)系？猜想結(jié)論（求證部分），并證明你的猜想，在補充完整圖9-7（1）中進行證明.如圖9-7（2），若C點是BO2的中點，AC與O1O2相交于點E. 連接O1C、O2C，求證CE2= O1O2E O2.ABEO1 O2C(2)O1 O2ABCD(1) 圖9-7 （2002四川眉

11、山市中考試題）O1 O2ABCD圖9-7（3）分析：（1）畫圖(hu t)測量，易得AC=CD=AD. （2）欲證ACD為正三角形，可利用(lyng)圓周角定理及其推論證明ACD每一個(y )內(nèi)角都等于600即可.（3）欲證CE2= O1O2E O2.只需證：O1O2CCO2E. 解：（1）補充完整圖形如圖9-7（3），三條線段AC、CD、AD相等.（2）結(jié)論：ACD是正三角形.證明：連結(jié)AO1、AO2、BO2、O1O2.O1、O2是等圓，且O1過O2點，A O2= O1O2=A O1. AO2 O1=600, AO2B=1200. D=AO2B=1200=600. ACB=AO2B=1200

12、,ACD=600. ACD是正三角形.（3）（如圖9-7（2）C是BO2的中點, C O1O2=300. ACO2=300. C O1O2=ACO2O1O2C=CO2E O1O2CCO2E. =. O1O2=O1C， O1O2 C =O1CO2=CEO2 CO2=CE. CE2= O1O2E O2. 說明：本例是一道以相交兩圓為背景，集操作、測量、猜想、證明于一體探究性問題,著重考查動手操作變換圖形和推理論證的能力.本例以留空回填命題的思路，解答時應(yīng)順向逐層進行. 例6取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖9-8（1）；第二步：再把B點疊在折痕

13、線MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應(yīng)點為B，得RtA BE，如圖9-8（2）；第三步：沿E B線折疊得折痕EF，如圖9-8（3）.利用展開圖9-8（4）探究：AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論.對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由.BFEMABCDN（4）CAD（2）圖9-8FAE（3）FABCMDN（1）ENC NDBB（2003年山西省中考試題） 分析：（1）經(jīng)過操作(cozu)測量易判定AEF是正三角形(zhn sn jio xn).再運用(ynyng)平行線等分線段定理、直角三角形的性質(zhì)來證明AEF是正三角形； (2) 不一定.運用由特殊到一般的思路來解答：若

14、矩形恰好能折出等邊三角形，先找出矩形長a與寬b的關(guān)系，再按ba、aba的情形分類討論. FEMABBCDN 31 2P 解：（1）AEF是正三角形.證法一：（如圖右圖）由平行線等分線段定理知：PE=PA，BP是RtA BE斜邊上的中線， PA=P B，1=3. 又PN/AD，2=3.而BAF=21+2=900， 1=2=300. 在RtA BE，1+AEF=900，AEF=600，EAF=1+2=600，AEF是正三角形.證法二：ABE與A BE完全重合， ABEA BE，BAE=1.由平行線等分線段定理知 EB=BF. 又A BE=900，ABEA BF，AE=AF. 1=2=BAD=300

15、.AEF是正三角形.（2）不一定.由上推證可知當矩形的長恰好等于AEF的邊AF時，即 矩形的寬：長AB：AF=sin600=：2時正好能折出. 如果設(shè)矩形的長為a，寬為b ,可知當ba時，按此法一定能折出等邊三角形；當aba時，按此法無法折出完整的等邊三角形. 說明：折疊圖形問題，著重考察動手操作和分析推理能力、圖形的直覺判斷能力和書面表述的數(shù)學素養(yǎng)等. 折疊圖形的常見類型：對角線折疊問題；角平分線折疊問題；軸對稱折疊問題；兩點重合折疊問題等. 想一想本例屬于哪種折疊問題？例7 OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y 軸上，OA=10，OC=6.（1）如

16、圖9-9（1），在OA上選取一點G，將COG沿CG翻折，使點O落在BC邊上，記為E，求折痕CG所在直線的解析式.(2)如圖9-9（2），在OC上選取一點D，將AOD沿AD翻折，使點O落在BC邊上，記為 E. = 1 * GB3 求折痕AD所在直線的解析式. = 2 * GB3 再作EF/AB，交AD于點F，若拋物線y=x2+h過點F，求此拋物線的解析式，并判斷它與直線AD的交點的個數(shù). FxED OyCBA圖9-9（2）xOyCBAGE圖9-9（1）（3）如圖9-9（3），一般地，在OC、OA上選取適當?shù)狞cD、G，使紙片沿DG翻折后，點O落在BC邊上，記為E. 請你猜想：折痕DG所在直線與 =

17、 2 * GB3 中的拋物線會有什么關(guān)系？用（1）中的情形驗證你的猜想.BG xEDOyCA圖9-9（3） （2003年江蘇省蘇州市中考試題） 分析(fnx)：（1）由折法易知：G（6，0）、C（0，6）. 求得折痕(sh hn)CG的解析式為y=x+6；（2） = 1 * GB3 由勾股定理(u dn l)易求得D E=，則折痕AD的解析式為：y=x+； = 2 * GB3 由題意設(shè)F（2，yF），點F在AD上，F(xiàn)的坐標為（2，），求出拋物線為y=x2+3. 再聯(lián)立方程組，判定直線AD與拋物線只有一個交點. 解：（1）由折法知，四邊形OCEG是正方形，OG=OC=6，G（6，0）、C（0，6

18、）.設(shè)直線CG的解析式為：y=kx+b，則0=6k+b, 6=0+b. k=1,b=6 直線CG的解析式為：y=x+6.(2) = 1 * GB3 在RtABE中，BE=8，CE=2. 設(shè)OD=s，則DE=s， CD=6s，在RtDCE中，s2=(6s)2+22, s=.則D（0，）.設(shè)AD：y=kx+.由于它過A（10，0），k=. AD：y=x+. = 2 * GB3 EF/AB, E(2,6) ,設(shè)F（2，yF），F(xiàn)在AD上，yF=2+=，F(xiàn)（2，）.又F在拋物線上，=22+h. 拋物線的解析式為：y=x2+3.將y=x+代入y=x2+3. 得x2+x=0. =()24()()=0. 直

19、線AD與拋物線只一個交點.例如可以猜想：折痕所在直線與拋物線y=x2+3只有一個交點；驗證：在圖1 中折痕為CG. 將y=x+6 代入y=x2+3.得x2+x3=0. =14 (3)()=0, 折痕(sh hn)CG所在直線的確與拋物線y=x2+3只有(zhyu)一個交點. 說明：本例在直角坐標(zh jio zu bio)系中，以軸對稱折疊為變化情境，探究折痕的動態(tài)變化，引其函數(shù)變化，并用特殊的（1）中的情形加以驗證.若不用（1）中的情形驗證，請猜想：DG所在直線與 = 2 * GB3 中的拋物線會有什么位置關(guān)系？【習題9】只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求畫圖：（1）在圖9-

20、10（1）中用下面的方法畫等腰三角形ABC的對稱軸： = 1 * GB3 量出底邊BC的長度，將線段BC二等分，即畫出BC的中點D； = 2 * GB3 畫直線AD，即畫出等腰三角形ABC的對稱軸. （2）在圖9-10（2） 中畫出AOB的對稱軸，并寫出畫圖和方法.圖9-10（2）ACB圖9-10（1）BOA（2003年江蘇省南京市中考試題）107國道BAOC D320國道圖9-112如圖9-11，107國道OA和國道OB在我市相交于O點，在AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要修建一個貨站P，使P到OA、OB的距離相等且PC=PD，用尺規(guī)作貨站P的位置（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）.(2003

21、年湖南省湘譚市中考試題)CAB圖9-123.一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料（如圖9-12），現(xiàn)找出其中的一種，測得C=900，AB=BC=4.今要從這種三角形中剪出一種扇形， 做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在ABC的邊上，且扇形的弧與ABC的其他邊相切，請設(shè)計出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑）. （2002年湖北省黃岡市中考試題）4. 如圖9-13，有兩個正方形的花壇，準備把每個花壇都分成形狀相同的四塊，種不同(b tn)的花草.下面(xi mian)左邊的兩個圖案是設(shè)計示例，請你在右面的兩個正方形中設(shè)計兩個不同的

22、圖案. 示例(shl)： 請你設(shè)計： 圖9-13 （2003年江蘇省蘇州市中考試題）已知，如圖9-14，ABC中，AB=AC，A=360.仿照圖（a），請你再設(shè)計兩種不同的分法，將ABC分割成3個三角形，使得每個三角形都是等腰三角形. (圖（b）、圖(c)供畫圖用，作圖工具不限，不要求寫出畫法，不要求證明；要求標出所分得的每個等腰三角形三個內(nèi)角的度數(shù)). （2003年江蘇省鎮(zhèn)江市中考試題）360CBA360CBA360360 1080 360360 720 720360CBA (a) (b) (c) 圖9-14 如圖9-15，把一個邊長為2cm的的正方形剪成四個全等的直角三角形. 請用這四個直

23、角1 1圖9-15三角形拼成符合下列要求的圖形（全部用上，互不重疊且不留空隙），并把你的拼法仿照右圖按實際大小畫在方格紙內(nèi)（方格為1cm1cm）.(1)不是正方形的菱形（一個）；（2）不是正方形的矩形（一個）. (3)梯形（一個）. (4)不是矩形和菱形的平行四邊形（一個）(5)不是梯形和平行四邊形的凸四邊形（一個）. 7.已知，AB為O的直徑，P為AB延長上的一個動點，過點P作O的切線,設(shè)切點為C.當點P在AB延長線上，如圖9-16（1）時，連結(jié)AC，作APC的平分線，交AC于D，請你測量CDP的度數(shù).當點P在AB延長線上，如圖9-16（2）和（3）所示時，連結(jié)AC，請你分別在這兩個圓中用尺

24、規(guī)作APC的平分線（不寫作法，保留痕跡），設(shè)此角平分線交AC于點D，然后在這兩個圖中分別測量出CDP的度數(shù). 猜想：CDP的度數(shù)是否隨點P在AB延長線上位置的變化而變化？請對你加以證明.DP OCBA(3)CPBA(2)圖9-16DCABP(1) OD O （2002年北京市要城區(qū)(chngq)中考試題）B圖9-17DCA 8. 操作(cozu)：如圖9-17，在正方形ABCD中，P是CD上一動(ydng)點（與C、D不重合），使三角尺的直角頂點與P重合，并且一條直角邊始終經(jīng)過點B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點E.探究：（1）觀察操作結(jié)果，哪一個三角形與BPC相似？并證明你的結(jié)論；

25、（2）當點P位于CD的中點時，你找到的三角形與BPC的周長比是多少？ （2003年云南省昆明市中考試題）【習題9】參考答案1（1）略；（2）畫圖略.畫圖方法： = 1 * GB3 利用有刻度的直尺，在AOB的邊OA、OB上分別截取OC、OD，使OC=OD. = 2 * GB3 連結(jié)CD，量出CD的長，將線段CD二等分，畫出線段CD的中點E. = 3 * GB3 畫直線OE.直線OE即為AOB的對稱軸.畫圖略.提示：作AOB的平分線OP，再作CD的垂直平分線PQ與OP相交于點P. 點P就是貨站的位置.CAB Or3=44OCAB圖9-18r2=4r4=2CAB通過觀察、分析，符合題目要求的方案可以設(shè)計出如圖9-19所示的四種方案.r1=2DDABC 4（任選圖9-19中兩個圖案，答案不惟一.）圖9-1910807207