數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料

1、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料練習(xí)3.2第2題(源自課本P42)令需求和供給函數(shù)取下述形式：(a)Qd=51-3P. Qs = 6P- 10.(b)Qd=30-2P. Qa=6-bSPo用變量消去法求P和QQ (用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果.不費(fèi)用小散。)整：(a)首先利用Qd = Q、= Q.消去Q得到51 W = 6P-1(解得：P，= 61Z代入需求或供給的敷可得：Q,=92/3.(b)首先利用Qd=Q、= Q,消去Q將到：3O2P=-6 + 5P。解得:P，= 36/7。代入需求函數(shù)可得：Q*= 138/7。練習(xí)3.5第1題(源自課本P57)給定以下模型*=C+IO+GOC = a + b(Y-T)(a0,

2、 0b0. 0Vtl)U：所得稅率1(a)有幾個(gè)內(nèi)生變量？(b)求解、，丁. C%修：(山f橫曳有三個(gè)內(nèi)生式L分別1：Y.EL(b)將第三個(gè)等式代入第二個(gè)等或可得,C=b(l-i)Y+LM再代入第一個(gè)等式可得：】Y=b(l-t)Y+a-bd+l0+G0解得 Y*=(a-hd+l0+G0)/|l-b(Ht)t進(jìn)而得如T*=d+tYt=d+|(lo+Go+a-bd)l/Hb(l-t)；=d(l-b)+t(a+lo+GO)/l-b(l-O|C*=YT0-G0=Lbd+b(lr)(l0+G0)|/(l-b(lT練習(xí)8.1第6題(源自書本P224)冉把它帶入式（10）中就有:件得（力4管）郵我們可以得到

3、在均衡點(diǎn)的導(dǎo)系數(shù)矩陣為一+。仍1（券）1 一。記2（2 1 ）4。2&（券廣4 -1 +。2不（曲中容易得到其特征方程為：A2 E瓦（巴）1-4 _ + 西&（L尸一s _ 1A 0102+M -。向勺 -。2%（與 0102根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,我們很容易得到：假設(shè)p2 4q0,且P0,那么入1入2。，即以下條件成立：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,我們很容易得到:(1)假設(shè)p2 4q0,且p0,貝I入1入20,即下歹I條 件成立：R _ 6仲1 - P(74oi)P -m2(力O2)P 06ip1 - P(74ai)p + 62(/4a2)p - (p + 1) 0上述兩式相加可得到62(4。2) 。此

4、時(shí)系統(tǒng)均衡點(diǎn)是不穩(wěn)定1 一結(jié)。而當(dāng)p 0,那么入1,入2 26m1 - P(AO1)P + (1 + 日比204。2用此時(shí)系統(tǒng)均衡點(diǎn)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。(2)假設(shè)p2V4q,當(dāng)/?”入) 0時(shí)，系統(tǒng)均衡點(diǎn)是不 穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。而當(dāng)/?e(入)0時(shí)，系統(tǒng)均衡點(diǎn)是穩(wěn)定 結(jié)點(diǎn)。(3)假設(shè)p 0,那么一個(gè)根為正另一個(gè)根為負(fù)，即 以下條件成立：1 5iu - P(4oi)P + 6o(4ao)P而當(dāng)p 0,那么入1,入2 26m1 - P(Aoi)P + (1 + |i)62(a2)p此時(shí)系統(tǒng)均衡點(diǎn)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。(2)假設(shè)p2V4q,當(dāng)/?式入) 0時(shí)，系統(tǒng)均衡點(diǎn)是不 穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。而當(dāng)(入)0時(shí)，系統(tǒng)均衡點(diǎn)是穩(wěn)定 結(jié)點(diǎn)。

5、(3)假設(shè)p 0,那么一個(gè)根為正另一個(gè)根為負(fù)，即 以下條件成立：1 = (6x + 2y)/(2x-l-122)= (3x + y)/(x + 6y2)o(b)dy/dx= - FVF=-60 x4/( -2) =30 x4。(c)dy/dx F*/Fy= (I4x + 2y2)/(4x +36y3)= (7x+y2)/(2xy+ 18y3).(d)dy/dx= Fi/Fy= - 18x2/( -3) =6x2o練習(xí)9.6第2題(源自課本P310)求以下函敷的他定(a：(a)y=(x-1)3+16：(b)y=(x-2)4：(c)y(3-x)6+7：(d)y=(5-2x)4+8.運(yùn)用、階導(dǎo)效力般

6、始定給定值的楮切性質(zhì).:(i)r(x)3(x-l)X r(x)=0Wftx=l.函故的帶定依力f(l) = 16.(l)=6(l-D=0. f(D=60.因?yàn)?號(hào)故苜次不為 o.而且是正數(shù).所以.4。是拐點(diǎn).(b)r(x)=4(x-2)X f(x)=0Uhx=|.函數(shù)的除定值力f(2)=or(2) = 12(2-2)2=0. r(2) =24(2-2) =0. f(4)(2) =240.因?yàn)?|價(jià)號(hào)數(shù)苜次不為0.而且是正.所以. f(2)是桎小值.(c)f(x) = -6(3-x)5.令Nx)=0解禪、=3.函數(shù)W定值力3)=7.r(3)0. r(3)=0, f(4)(3)*0, f(5)(3

7、)=O. f(6)(J)=6!0.因?yàn)殍?dǎo)散苜次不為0.而且是正敬.所以.f(3)是極小值.(d)/=8(2x-5)J, f(K)=0Wftx=2.5,函數(shù)愴定值力f(2.S)=8.f(2.5)=O.()=0. f()=3隊(duì),因加階導(dǎo)數(shù)苜次不為Q.而且是正此所以.f(2.S)是極小值.練習(xí)10.4第5題（源自課本P335）將以下函數(shù)轉(zhuǎn)撞成自然對(duì)數(shù)形式：(a)t=log7 :(b)t=logx(3y):(c)t = 3log15(9y);(d)t = 2logUJe整:(a)t = log7 =!ny/ln7o(b)t = lcgx(3y) =in(3y)/lnX= (ln5 + lny)/(3

8、!n2) (c)t = 3kigl5(9y)=3ln(9y)/lnl5 = 3(2!n3-MiT)/lnl5.(d)t = 2 log lOy = 2lny/ln 10練習(xí)11.3第1題(源自課本P377)直投運(yùn)用隹陣索法.將下36的建降，表示二次型:()(卜) i *31：總：(a) q = 4u24- 4u + ?、。(b)q= -2u2 + 4u -4x2.(c)q = 5x2 4-6xyo(d)q = fxxdx2+ 2tydxd + fxly2,練習(xí)11.5第1題(源自課本P400)山用IINO恰*下刎*凹的曲凸陽9K.汪祐09甌匕L府凸陽0. 4著不:()工2； ( I -9)vJ

9、2W代入JI 20). WOu2 4 ( I -Ov2|Ou (I -O)vpO( I -O) (u-)2O(CS8無，,3為廣幡凸陶1Au(i. 7)m、“i二).*ru、1工 A22f(v) =yl24-2y22q9u + ( I -O)vw(Oxi-1- ( I -H)ylj24-2(Ox2+ ( 1 - O)y2)2福M代入(” 2O).V - 2t： Hi ij-； Cl-O)vJ=b2(OmI-I-(I-O)x22O)w2| (Oyl4- (I-O)y2|-l-(Oyl4-(l-Oy2pNX代入”( I ?H2x：、”,：；flfj-i ttii jit：卜i+u-e),、工二61

10、1-X： ), 一(3； -、：“1：-：)(,1-). J A08M. 00為ufQv為不點(diǎn).數(shù)上KL格大于O.所以函, = 2*2-xy + y2力L體凸Hitk.練習(xí)12.4第1題，第2題(源自課本P453)饗山如下*及的in儀凹(好：“不凹箝.0或必又小的.TihMItlBIM ir 的，反 m丁8 *行，中彳JHU】M)才行代，一 h決eu)，ex)：(c)f(x)*a +cC(c0). fh)=曲壓IMQ1%7再.IJfXI-J00尸修上回但不以凸的0710y1%?所示.由E0判斷X星!： 備B得不立嚴(yán)，包.才千番 62.域篇個(gè)不羯的白。*：“KRtTHF：ACooi. .B1.,

11、 Cl- Att. - S| -rflfc /III)KuxuiBM ariB.U)f(O4+cC(o)n，NK 7m 京.Q)L格也回但”聲凹也口的曲110田14所承.BC40L格振凹但H凹又凸的曲員如圖12,所示.sMdKXir. bv 目?jī)?nèi)珞*.m，依 nfKtt &中的不*Mia、loxet, 、)=+、：. ”G=，oc *W*fG)jflu) “矽ft*、s心耳向a。與的友*一*不小+a、與iii)的左* a“+a-八儺+OuK2”垂w-w小+a。與廈0*甚* *a-x|tta+(l-ehpii.：/ 時(shí)(1 81， a*rn /|a|KIUXKJBKB ar=0Zx=y+!-4k

12、=OZy=x+26k=0由此可假梅：入,=3. x=l6. =!.(c)海塞加功行列式力： ,_. |0 4 6H - 4 0 1 4S0|6 1 0因此國(guó)大限滿足二階充分條件.(“沒練習(xí)12.6第1題(源自課本P472)定以下函數(shù)是否是齊次函數(shù).假設(shè)是.是幾次齊次函數(shù)？(1) /(),百(b)f(x. y) = (x2-yl) 1/2: (c)f(x. y)=x5-xy + y3：(e) f(x. y. w) = xy2/w + 2xw: (Of(x. y. w) =x4 -5yw3.W ： () t/ /一/ .一次齊次函It.f八力 Q河y 0加黑5廠5。二??；-”二加71次齊次函虬 L

13、(c)非齊次函皴。(LhNc.()就函數(shù)是齊次的四？如臬星.J1幾次齊次？(b)在何條忤下會(huì)存在不變稅模收抹？連增的柳模收登？(c)如累按功際產(chǎn)品的數(shù)量荻理支付.求投入、應(yīng)獲得的產(chǎn)品份飄.：(1)所以法函數(shù)是齊次的.次數(shù)為a+b+c.QjK.jL.jN=.4SM =/ f4=尸、Q(K.LN)(b)假設(shè)現(xiàn)模收彗不變.那么QjKJLJNg廣-QIK.L,N) = jQlK.L.N)即a+b + c=l假設(shè)短楂收弁續(xù)地.叫。(內(nèi)0(K,L.V)la+b+cl.(c)MPPN=cAIGLbNc-l.投入、應(yīng)在物的產(chǎn)品份飄為：N SfPPy N cAK可Ni-Q AKatNe =C13.7 一些結(jié)論(

14、源自課本P538)：這次費(fèi)力的旅行帶給我們：(1)從單個(gè)選擇變量到更加一般的n個(gè)選擇變量，(2)從多項(xiàng) 目標(biāo)函數(shù)到指數(shù)和對(duì)數(shù)目標(biāo)函數(shù)，(3)從無約束到有約束的極值。微積分方法在優(yōu)化問題中 的一個(gè)弱點(diǎn)是其本質(zhì)上是短視的。盡管根據(jù)導(dǎo)數(shù)個(gè)微分得到的一階和二階條件可以容易地找 出相對(duì)或局部極值，但往往還需要其他信息或進(jìn)一步的分析來確認(rèn)絕對(duì)或整體極值。微積分 方法的一個(gè)更加嚴(yán)重的局限是它無法處理不等式約束情況。在非線性規(guī)劃中，分析框架依然 是靜態(tài)的。問題和它的解只與某一時(shí)點(diǎn)上的最優(yōu)狀態(tài)有關(guān)系，無法處理這樣的問題一一在指 定情況下，最優(yōu)化的行為人在一個(gè)時(shí)間是段內(nèi)應(yīng)如何行動(dòng)。第12章 海塞加邊行列式如何構(gòu)建

15、(源自課本P434435):最后，假設(shè)函數(shù)z=/(0,小)為二階連續(xù)可微.擬凹性和擬四性 可以用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)(整理成加邊行列式)的方法來 檢驗(yàn)：我們這里將衣述兩個(gè)條件：一個(gè)是必要條件,另一個(gè)足充分條(12. 23)448 It8經(jīng)濟(jì)學(xué)妁足本方法此加邊行列式類似于上一 5中介紹的海塞加邊行列式11。但1川 與11的不同之處在于，它的邊由函數(shù)/的一階導(dǎo)數(shù)組成，而不是由 外部約束函數(shù)g組成。正是由干I川僅依靠/的一階#數(shù)本身，所以 我俏可以運(yùn)用及其逐階主千式0 /,I 優(yōu) I =.f fi10 7. /：= /, / fn .， J =1 I (12.24)h h %件。兩個(gè)條件均與僅由

16、非軟小坐分型侍(非負(fù)象限的n維模擬)即 由孫，,x. N 0組成的定義履中的反血禮和擬凸性相聯(lián)系。在非負(fù)正交分劃體中=/(f，乙)要為擬凹南數(shù),“必饕條 件為I /7, I 0. I 田,I N 0,. 8. j .當(dāng)“為(奇數(shù)，(12. 25)1偶數(shù)無論偏導(dǎo)數(shù)在詐負(fù)正交分劃體的何處計(jì)值。在非負(fù)正交分劃體中J為產(chǎn)格擬凹的充分條件為I , I 0.I m I :0.當(dāng) n 為:，(12. 26)無位偏寸數(shù)在ii負(fù)正交分那么體的何處“他。來描述該函數(shù)構(gòu)型的特征。第12章CES生產(chǎn)函數(shù)(源自課本P481484)定義：CES生產(chǎn)函數(shù)為常替代彈性生產(chǎn)函數(shù)Y = A(61k-p + 62L-p)l/p(1

17、)的簡(jiǎn)稱，這是因?yàn)槭剿硎镜纳a(chǎn)函數(shù)的替代彈性o= 1/(l + p)為常數(shù)。在經(jīng)濟(jì)理論中，生產(chǎn)函數(shù)Y=F(K,L)應(yīng)滿足:對(duì)任意的K、L有，Y(0,L)=Y(Kz0)=0o有些生產(chǎn)函數(shù)例如C-D函數(shù)Y = AKaLP,那么由其函數(shù)表達(dá)式自然滿足Y(0,L)=Y(KQ)=0,即為默認(rèn)。在研究CES生產(chǎn)函數(shù)時(shí)，必須同時(shí)準(zhǔn)確地給出其使用條件：其中K0且L0性質(zhì)：由以上討論,我們首先給出CES生產(chǎn)函數(shù)(I)的定義域?yàn)閳F(tuán)對(duì)于固定的L0,由式可得人均產(chǎn)出函數(shù)記為 y=f(k)(2)這里k二K/L表示人均資本(或稱勞動(dòng)裝備)。對(duì)求導(dǎo)，得顯然，當(dāng)k0且L0時(shí)，有性質(zhì)1,人均CES生產(chǎn)函數(shù)在其定義域內(nèi)，恒有f

18、(k)0再對(duì)式求導(dǎo)，得由此又性質(zhì)2,人均CES生產(chǎn)函數(shù)在其定義域內(nèi)，恒有f(k)0由性質(zhì)1、性質(zhì)2知，人均CES生產(chǎn)函數(shù)為凹函數(shù)。性質(zhì)1的經(jīng)濟(jì)意義為:邊際產(chǎn)出大于零,即資本k每增加一個(gè)單位,那么產(chǎn)出y增加個(gè)單 位性質(zhì)2說明人均CES生產(chǎn)函數(shù)從經(jīng)濟(jì)上來說是規(guī)模遞減的，即隨資本k的增加，邊際 產(chǎn)出遞增的速度下降。應(yīng)用：假設(shè)考慮三種生產(chǎn)要素的CES函數(shù)，即固定資 本品/1、中間消耗品/ 0, p 1 (5)在封閉的經(jīng)濟(jì)中第t+1年固定資本品投人來 源于第t年的剩余和第t年產(chǎn)出的再投入局部，比例 為。1第t+1年中間消耗來源于第t年產(chǎn)出的投人， 比例為。2,第t年消費(fèi)均來自當(dāng)年的產(chǎn)出扣除下一 年的再投入局部。假設(shè)折舊率為國(guó)整個(gè)社會(huì)的消費(fèi)記為C(t),人 均消費(fèi)記為c(t),如上兩邊同除L,人均化后即有：t/i = A6iKi + &超 +如 + ,。 0,p 1 (6)且有如下關(guān)系：用仕+ 1) = ()-陷(。+ oiy(t)心仕+ 1)=叨在)(7)c(t) = (1 - O1 - O2)jG)取考察期內(nèi)的人均消費(fèi)的效用到達(dá)最大化，我 們建立的模型如下：MAX ru(c(t)dt Jo貝)=4瓦州+心城+聞，%(t+ 1) = k僧