微積分-D8_1二重積分概念-PPT精品課件

1、第8章 重 積 分 一元函數(shù) 積 分 學(xué)（定積分）多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分8. 1 二重積分的概念與性質(zhì)8. 2 二 重 積 分 的 計 算8. 3 三 重 積 分 8. 4 重 積 分 的 應(yīng) 用8 . 1 二重積分的定義與性質(zhì)8 .1 .1 問 題 的 提 出 8 .1 .2 二 重 積 分 的 定 義 與 可 積 性 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8章 8 .1 .3 二 重 積 分 的 性 質(zhì) 8 .1 .4 曲 頂 柱 體 體 積 的 計 算 解法:8. 1. 1 問 題 的 提 出1.曲頂柱體的體積 給定一柱體:底： xoy 面上的閉區(qū)域頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?

2、D 的邊界為準(zhǔn)線 ，“大化小，機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若柱體的頂部為平頂，求其體積 。 即 則其體積為：且區(qū)域 D 的面積為，母線平行于 軸的柱面；當(dāng)柱體的頂部為非平頂(曲面)時，只能類似于定積分處理問題的辦法進(jìn)行。常代變， 近似和，取極限” 用任意曲線網(wǎng)將區(qū)域 D 分割為 n 個小區(qū)域 :以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個小曲頂柱體；2 )“常代變”在每個3 )“近似和”則中任取一點(diǎn)表示小區(qū)域機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的面積，1）“大化小”令機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義的直徑為：4 ) “取極限”2. 平面薄片的質(zhì)量 有一個平面薄片， 在 xoy 平面上占有區(qū)

3、域 D ，計算該薄片的質(zhì)量 M .為：設(shè) D 的面積為 ，則若為非常數(shù)，仍可用其面密度函數(shù)“大化小， 常代變，近似和，取極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分 D 為 n 個小區(qū)域：相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 ；機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若（常數(shù) ），中任取一點(diǎn)3 )“近似和”4 )“取極限”則第 k 個小塊的質(zhì)量機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在每一小區(qū)域表示小區(qū)域的面積 ；其中：2）“常代變”令(1) 解決問題的方法與步驟相同：(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同：“大化小，常代變，近似和，取極限”曲頂柱體體積： 平面薄片的質(zhì)量： 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個問題的共性：8

4、. 1. 2 二 重 積 分 的 定 義 與 可 積 性定義:任意將區(qū)域 D 分割成 n 個小區(qū)域作和式，在區(qū)域 D 上可積 ，在 區(qū)域 D 上的二重積分。是定義在有界閉區(qū)域 D上的有界 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 并以 分別表示區(qū)域的面積與直徑，設(shè)函數(shù)則稱函數(shù)稱 I 是函數(shù)若存在一個常數(shù) I ，1. 二 重 積 分 的 概 念函數(shù)，滿足：其中：引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:在有界閉區(qū)域 D上可積時，二重積分：此時的直線分割區(qū)域 D ， 因而面積微元可用平行坐標(biāo)軸常記作：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)函數(shù)積分域被積函數(shù)被積表達(dá)式面積微元稱為積分變量2. 二重積分

5、存在的充分條件若函數(shù)定理 2.(證明略)定理 1.在區(qū)域 D 上可積 。則函數(shù)在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，則函數(shù)若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上 “分塊連續(xù)”， 例如, 在區(qū)域D :上可積（二重積分收斂）；在 D 上不可積（二重積分發(fā)散）。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在區(qū)域 D 上可積 。而8. 1. 3 二 重 積 分 的 性 質(zhì)對于任意的常數(shù) 、 有：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)(被積函數(shù)的可加性)：設(shè)則性質(zhì)(積分區(qū)域可加性)：特別地，則設(shè)函數(shù)性質(zhì)（比較性）：性質(zhì)（估值性）特別地 ，設(shè)函數(shù)則有 為區(qū)域 D 的面積 ，性質(zhì)（積分的中值性）：在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則必存在一

6、點(diǎn)使得則 有設(shè)函數(shù)滿足：若 為區(qū)域 D 的面積， 例1. 其中：解:而區(qū)域 D 位于該直線的右上方，從而有：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 與直線在點(diǎn) ( 1 , 0 ) 處相切，比較積分積分域 D 的邊界為圓周：故在區(qū)域 D 上有 與積分的大小，例 2. 值的正負(fù)。解:則原式 =猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計舍去此項(xiàng)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 判斷積分將積分域分為：再將區(qū)域細(xì)分例 3. 解:由于積分性質(zhì)即: 1.96 I 2D機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 估計下列積分之值：D 的面積為：如 ：圓域性質(zhì)(區(qū)域?qū)ΨQ與函數(shù)奇偶性 )D 位于 x 軸上方的部分為D1 ， 當(dāng) D 關(guān)于 y

7、 軸對稱，若在區(qū)域 D 上在閉區(qū)域 D 上連續(xù)，設(shè)函數(shù)則則位于第一象限部分記為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則而區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱，函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時，仍有類似結(jié)果。8. 1. 4 曲 頂 柱 體 體 積 的 計 算設(shè)曲頂柱體的底為：任取平面故曲頂柱體體積為：截柱體的截面積為：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則其體積可按如下兩次積分計算機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同樣，曲頂柱體的底為：例4. 解:利用對稱性， 考慮第一卦限部分，其曲頂柱體的頂為:則所求體積為：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求兩個底圓半徑為R 的直交的圓柱面所圍的立體的體積。設(shè)兩個直交的

8、圓柱方程分別為:內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義2. 二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 被積函數(shù)相同, 且非負(fù), 思考與練習(xí)解: 由它們的積分域范圍可知1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)D 是第二象限的一個有界閉域 , 且 0 y 1, 則的大小順序?yàn)?( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 計算解:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 證明：其中：解:又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用題中 x , y 位置的對稱性，以及區(qū)域的獨(dú)特性，有備用題1. 估計 的值, 其中 D 為解: 被積函數(shù)D 的面積的最大值的最小值機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返