材料力學第8篇組合變形

1、第8章 組合變形。8.1 組合變形的概念前面幾章我們研究了等直桿的拉伸（壓縮）、剪切、扭轉和彎曲這四種基本變形時的強度和剛度問題。但在工程實際中，還會遇到許多上述兩種或兩種以上的基本變形所組合成的變形，這種變形稱為組合變形。例如，如圖8-1所示鉆床的立柱在P作用下將發(fā)生拉伸和彎曲變形；如圖8-2所示的帶輪軸，力及軸承反力使其彎曲，而力偶矩和使軸扭轉，帶輪軸的變形是彎曲與扭轉的組合變形。圖8-1 圖8-2構件組合變形時的強度計算，在構件變形較小且服從胡克定律的條件下，可運用疊加原理，首先將作用在構件上的外力進行適當?shù)暮喕缓笸ㄟ^平移或分解，使每一組外力只產(chǎn)生一種基本變形，分別計算出各種基本變形

2、引起的應力，最后將它們疊加起來，便得到原有載荷作用下截面上的應力，并進行強度計算。下面介紹工程中最常見的彎拉（壓）和彎扭兩種組合變形的強度計算。8.2 彎曲與拉伸（壓縮）組合變形時的強度計算如圖8-3(a)為一左端固定而右端自由的矩形截面懸臂梁，在其自由端作用一力P，力P的位于梁的縱向對稱面內且與梁的軸線成一夾角（見），力P沿x、y方向可分解為兩個分力、（見圖8-3（b）, 使梁產(chǎn)生軸拉伸變形，使梁產(chǎn)生彎曲變形，因此梁在力P的作用下的變形為拉伸與彎曲組合變形。下面對其進行強度計算。圖8-3如圖8-3（b）所示，將力沿桿的軸線和軸線的垂直方向分解為兩個分力。在軸向力的單獨作用下，桿件發(fā)生拉伸變形

3、，桿上各截面的軸力都相等，,與軸力N相對應的拉伸正應力呈均勻分布，如圖8-3（f）即 在橫向力的單獨作用下，桿發(fā)生彎曲變形。桿上固定端截面具有最大彎矩，與彎矩相對應的彎曲正應力沿截面高度呈線性分布，在上、下邊緣處絕對值最大，如圖8-3（g）即 由于上述兩種應力都是正應力，故可按代數(shù)和進行疊加。當時，其應力分布如圖8-3（e）所示。危險截面的上、下邊緣的正應力分別為 由上可見，危險截面上邊緣各點的拉應力最大，是危險點。對于塑性材料，因許用拉應力和許用壓應力相同。故可建立強度條件 （8-1）對于脆性材料，因其許拉應力和許用壓應力不同，故應分別建立強度條件 （8-2） （8-3）其中，、-危險截面上

4、的最大拉、壓應力。上述討論雖然是針對圖8-3所示的情況，但其原理同樣適用于其他支座和載荷情況下的彎拉（壓）組合變形。例8-1 如圖8-4（a）所示的夾具，在夾緊零件時，夾具所受到的外力為P=2KN。已知外力作用線與夾具的豎桿軸線平行，其距離e=60mm，豎桿橫截面的尺寸b=10mm，h=22mm，其材料的許用應力MPa。試校核此夾具的豎桿強度。解 對于夾具的豎桿，P是一對偏心力。P對豎桿的作用相當于圖8-4（b）中所示的一對軸向力P和一對在豎桿的xy平面內的力偶，其矩M=Pe。顯然，豎桿將發(fā)生彎曲和拉伸的組合變形。其任一橫截面m-m上軸力和彎矩分別為N=P=2KNMz=M=Pe=20000.6

5、=120 Nm豎桿的危險點是在橫截面內側邊緣處。因為在該處對應于軸力和彎矩所產(chǎn)生的應力都是拉應力。此危險點處的應力為 MPa因為 MPaMPa所示豎桿的強度條件得到滿足。圖8-48.3 圓軸彎曲與扭轉組合變形強度計算在工程實際中會用到大量的軸，但只受到純扭轉而不發(fā)生彎曲的軸是很少見的。一般說來，軸除受扭轉外，還同時受到彎曲，即產(chǎn)生彎扭組合變形。如轉軸、曲柄軸等就是如此?，F(xiàn)以如圖8-8（a）所示的圓軸為例，說明彎扭組合變形的強度計算方法。圓軸左端A固定，自由端B受力F和力偶矩作用，力F與軸線垂直相交，使軸產(chǎn)生彎曲變形；力偶矩使軸產(chǎn)生扭轉變，所以，圓軸AB產(chǎn)生彎扭組合變形。分別考慮力F和力偶的作用

6、，畫出彎矩圖和扭矩圖，分別如圖8-8（b）、(c)所示?？梢姡瑘A軸各截面的扭矩相同，但彎矩不同，其中固定端處彎矩最大，故固定端截面A為危險截面，其上彎矩值和圖8-5扭矩值分別為在危險截面上，對應彎矩的彎曲正應力沿截面高度呈線性分布（見圖8-8（d），在鉛錘直徑的上、下邊緣點由最大彎曲正應力，其值為對應扭矩的扭轉力在截面上沿半徑線性分布（見圖8-8（d），在周邊各點有最大扭轉剪應力，其值為 由以上分析可知，在危險截面鉛錘方向上、下邊緣a、b兩點上，和均為最大值，故a、b兩點都是危險點，可選任意其中一點作為研究對象。但這種情形比彎拉組合作用時復雜的多，不能直接將和進行疊加。這種問題的強度計算，必須

7、先找出材料在復雜應力情況下的破壞原因。由于復雜應力的試驗難以達到，因此常以簡單拉伸（壓縮）實驗時所得到的材料破壞特性來作為在復雜應力情況時材料破壞原因的假設。這種假設成為強度理論。對于近代廣泛采用的塑性材料，第三、四強度理論比較符合。下面扼要地介紹第三強度理論。第三強度理論認為，無論應力情況如何復雜，只要最大剪應力達到再簡單拉伸時的最大值，材料就發(fā)生破壞。所以，第三強度理論也稱為最大剪應力理論。由第三強度理論可知，對于彎、扭組合變形問題，應找出它的最大剪應力。此最大剪應力有分析可得 (8-4)按第三強度，強度條件為 式中許用剪應力與許用正應力之間的關系為，所以有 將上式代入公式（8-4），可得

8、 （8-5）為了方便起見，將上式左邊的部分成為第三強度的相當應力，并以來表示，所以上式變?yōu)橐驗閳A軸扭轉的彎曲應力，扭轉應力，所以上式變?yōu)?(8-6)其中，、-第三、第四強度理論相當應力。、危險截面的彎矩、扭矩和抗彎截面系數(shù)；-材料的許用應力。按第四強度，強度條件為 （8-7）同理，按第四段強度理論分析所得強度計算公式為 （8-8）從上面的分析可知，圓軸彎扭組合變形強度計算時，可直接將危險截面上的、代入式（8-6）、（8-8）計算。但要特別注意，對非圓截面的彎扭組合變形不能用這兩式計算，而必須用式（8-5）、（8-7）計算。如果彎扭組合變形時，同時有鉛直面和水平面兩個方向的彎曲變形，則式（8-6

9、）、（8-8）中的表示這兩個方向的合成彎矩，即例8-3 轉軸AB由電動機帶動，如圖8-6（a）所示。在軸的中點C處裝一帶輪。重力kN,直徑mm，皮帶緊邊拉力kN，松邊拉力kN。軸材料為鋼，許用應力MPa。按第三強度理論設計轉軸直徑。圖8-6解 1)外力分析。將作用在帶輪上的皮帶拉力和向軸線簡化，其結果如圖8-6（c）所示。軸AB受鉛垂力作用為 kN此力使軸在鉛垂面內發(fā)生彎曲變形。附加力偶為 kNm此力偶矩與電動機傳給軸的力偶相平衡（見圖8-6（b），使軸產(chǎn)生扭轉變形，故軸AB產(chǎn)生彎扭組合變形。2)內力分析。畫軸的彎矩圖和扭矩圖分別如圖8-6（d）、（e）所示，由內力圖可以判斷截面C為危險截面。

10、危險截面上的彎矩和扭矩分別為 kNm kNm3)由第三強度理論的強度條件設計直徑。m3故 m取。例8-4 圖8-7（a）所示的傳動軸軸載齒輪的輪齒上受到圓周力，徑向力，輪子的直徑D=100mm，距離a=300mm，軸的材料為45鋼。若軸的許用應力MPa。試按第三強度理論設計傳動軸的直徑。解 1）外力分析。在軸上加一對平衡力P，如圖8-7（b）所示，簡化后得到一個力偶使軸受到扭轉；兩個相互垂直的力P和T使軸受到彎曲。為了方便起見，將使軸產(chǎn)生彎曲作用的力P和T合成，其合力為 圖8-72）內力分析。繪出彎矩圖和扭矩圖，并確定在危險截面上的晚上彎矩和扭矩。由彎矩圖和扭矩圖可知，扭矩圖如圖8-7（c）、

11、（d）可知，危險截面在跨圖的中點處。該截面上的彎矩和扭矩則分別為 kNm Nm3)按第三強度理論，計算軸的直徑。由公式（8-6）可得因為，所以得到軸的直徑為 軸的直徑應不小于66mm。小 結本章主要介紹了組合變形的概念，彎曲與拉伸（壓縮）組合變形的強度計算及彎曲與扭轉組合變形的強度計算。彎拉（壓）和彎扭組合變形的強度條件，強度條件 ）第三強度理論的強度條件 ）第四強度理論的強度條件 ）思考與練習8-1 簡單夾鉗如圖所示。設夾緊力P=3KN，試夾鉗內的最大正應力。8-2 如圖所示的鏈環(huán)，直徑d=50mm，拉力P=10 kN，試求鏈環(huán)的最大正應力及其位置。如將鏈環(huán)的缺口焊好，則鏈環(huán)的正應力將是原來

12、最大正應力的幾分之幾？題8-1題8-28-3 懸臂吊車（見圖8-4（a）的橫梁AB為工字鋼，其材料的許用應力MPa，吊車的最大起吊重量kN, 。選擇工字鋼的型號。8-4 梁AB的橫截面為正方形，其邊長mm，受力及長度尺寸如圖所示，若已知kN，材料的拉、壓許用力相等 ，且MPa。校核梁的強度。 題8-3圖 題8-4圖8-5 如圖所示的軸AB上裝有帶輪和齒輪。已知帶輪直徑，帶拉力kN， kN。齒輪節(jié)圓直徑 mm，壓力角。軸的材料為鋼，許用應力MPa，直徑mm。按第三強度理論校核該軸的強度。8-6 如圖所示帶輪軸由電動機通過聯(lián)軸器帶動，已知電動機的功率kW，轉速r/min，帶輪直徑mm，重量N，皮帶緊邊拉力與松邊拉力之比，軸AB直徑mm，材料為45鋼，MPa。試按第三強度理論校核該軸的強度。 題8-5圖題8-6圖8-7 銑刀軸如圖所示，已知銑刀的切削力kN，kN，銑刀軸材料的許用應力MPa。按第四強度理論設計銑刀軸的直徑。 8-8 如圖所示，軸AB由電動機帶動。在軸AB上裝一斜齒輪，作用于齒面上圓周力 kN，徑向力 kN，軸向力 N 軸的直徑，許用應力 MPa。試校核