2018年江蘇高考第13題(三角形中最值)-2018年高考數(shù)學(xué)經(jīng)典題分析及針對(duì)訓(xùn)練Word版含解析

1、2018年江蘇高考第13題(三角形中最值)2018年高考數(shù)學(xué)經(jīng)典題分析及針對(duì)訓(xùn)練Word版含解析一、典例分析，融合貫通典例1.【2018年江蘇高考第13題】在AABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,ZABC二120,ZABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為.解法一：【答案】9如圖，由題可知S=S+S,AABCABCDAABD由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得iacsiDliOiaxlxsiueO+lcxlxsineO0化簡(jiǎn)得ac=a-c丄+丄=1；acTOC o 1-5 h z1194zi HYPERLINK l bookmark10 o Current Doc

2、ument 因此斗a+c=(4a+cX+)=5+5+2J=9, HYPERLINK l bookmark12 o Current Document acacc當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時(shí)取等號(hào)，則斗+亡的最小值為9.點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積公式、利用基本不等式求最值，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力、運(yùn)算求解能力，難度較大.解法二：由面積得：acsin120。二21asin60。+csin60。2化簡(jiǎn)得a+c=acnc=(0a2：4(a-1)+5二9a-1(a-1丿Ya-113當(dāng)且僅當(dāng)4(a-1)=，即a二,c二3時(shí)取等號(hào)。a-12點(diǎn)評(píng)：在求最值中同樣運(yùn)用了均值不等式，同解法一比較

3、，只是體現(xiàn)了消元思想和不同的拼湊途徑。均值不等式的運(yùn)用特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足均值不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.解法三：如圖宙余弦定理得：AD=7+1-CD=V+l-o由角平分線定理可得:閤錨眄需化簡(jiǎn)得：(a-c)(a-c-ac)=).當(dāng)口=亡日寸：易得：a=c=2?貝i4a+=ID當(dāng)口訛時(shí)，可得r+“皿，下同解法一點(diǎn)評(píng)：解法對(duì)題目條件的切入點(diǎn)，選擇在余弦定理和角平分線性質(zhì)，從而建立關(guān)于a,c方程，最終借助均值不等式求最值。解法四：113c*如圖以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則d

4、(22)5a(-2，2c),C(a,0)uuur仝c)22由向量共線得：(2+2)-=(込三c)(a+c)222uuu1c3.；4(a1)-(c1)2x2=4可得：4a+c=4(a1)+(c1)+54+5=9。3當(dāng)且僅當(dāng)4(a1)二c1,即a二-c二3時(shí)取等號(hào)。2點(diǎn)評(píng)：解法對(duì)題目條件的切入點(diǎn)，選擇在建立坐標(biāo)運(yùn)用向量共線，從而建立關(guān)于a,c方程，最終借助均值不等式求最值。解法五：由角平分線性質(zhì)可得：+)阿BC口由A3D3C三點(diǎn)共線，可得：-+-=1,即：期門+巧=皿一ca式兩邊平方得：1=汩(1+1+2cos120)=汩=1二兄=1_所以可得r+zg下同解法一-點(diǎn)評(píng)：解法從角平分線的向量結(jié)論切入

5、，結(jié)合三點(diǎn)共線，從而建立關(guān)于a,c的式子，最終借助均值不等式求最值。解法六：如圖過(guò)D點(diǎn)作DEPAB交CB于點(diǎn)E.-DECE1a-1則DE=1，由二n二，化簡(jiǎn)可得a+c=ac,下同解法一.ABBEca點(diǎn)評(píng)：解法從角平分線及600入手，巧妙構(gòu)圖，建立a,c的關(guān)系式，最終借助均值不等式求最值。二方法總結(jié),胸有成竹高考對(duì)三角形中最值問(wèn)題的考查，不僅需要用正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)，還涉及到基本不等式和向量知識(shí)的結(jié)合上；要求學(xué)生有較強(qiáng)的綜合分析能力、準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答。解決三角形中最值問(wèn)題的基本思路：（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)變量的函數(shù)：通過(guò)邊角互化和代入消元，將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求

6、函數(shù)的值域；（2）利用均值不等式求得最值?；局R(shí)與基本方法【基本知識(shí)】1）正弦定理：abcsinAsinBsinC(2)余弦定理：a2=b2+c22bccosA,b2=a2+c22accosB,C2=a2+b22abcosC.b2c2a2a2c2b2a2b2c2余弦定理可以變形為：cosA=bc,cosB=ac,cosC=JB=2absinC=2bcsinA=2acsinB4）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構(gòu)成三角形時(shí)，只需驗(yàn)證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可。由于不存在等號(hào)成立的條件，在求最值時(shí)使用較少；5）在三角形中，邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系aboABosinAsinBnc

7、osABocosABosinAsinB僅在一個(gè)三角形內(nèi)有效?！净痉椒ā款愋?求三角形面積的最值問(wèn)題解題模板：第一步通過(guò)觀察分析，決定選用合適的公式；第二步通過(guò)運(yùn)算、變形，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、恒等變換以及邊角轉(zhuǎn)化、正弦余弦定理等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角變換、基本不等式、函數(shù)值域等類型加以解決；第三步得出結(jié)論.類型2求三角形中邊或角的最值(取值范圍)解題模板：第一步通過(guò)觀察分析，將所給的邊或角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角或邊之間的關(guān)系；第二步利用三角恒等變換、正弦定理、余弦定理及其輔助角公式等轉(zhuǎn)化三角函數(shù)；第三步得出結(jié)論.三.精選試題，能力升級(jí)1.【2018蘭州模擬】AABC中，角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,

8、b,c，若a2+b2二2c2,則cosC的最小值為(ABCD【答案】C【解析】叮?+&=2c?:.COSC=、labAab4ab2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).故C正確.2.【2018湖北襄陽(yáng)市聯(lián)考】在AABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若a二J3,A二才,則b+c的最大值為()A.4B.3爲(wèi)C.2、運(yùn)D.2答案】C兀b2+c23【解析】由余弦定理得：cos=，整理得：b2+c2二3+bc,32bc貝y有(b+c)2=3+bc3+(c+b.)2即（b+c）212，所以b+c2J3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)所以b+c的最大值為2爲(wèi)，故C正確.a3.【2018寶雞模擬】已知AABC是銳角三

9、角形，若A=2B，則的取值范圍是（）bA.（2打）B.（邁,2）C.（1,壽）D.（1,2）答案】AasinA【解析】由題意得，在AABC中，由正弦定理可得萬(wàn)=而，又因?yàn)锳=2B，asinAsin2B所以b=嵐=石nB=2cosB，又因?yàn)殇J角三角形,所以A=2Bw（0,）且兀一（A+2B）=兀一3Be（0,），22所以三B丁，所以2cosBe（、：2,：3），所以：的取值范圍是（：2,、：3），故選A.64b4.【2018福建省數(shù)學(xué)基地?？肌吭贛BC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且BC邊上的高為孚6a，cb則廠+的最大值是（）bcA.8B.6C.3P2D.4答案】D【解析】由題?+

10、?=藝攔，聯(lián)系余弦定理得：5/=滬bcbe2bc又*口口=*氐血蟲(chóng)很卩?=2Vsiu圮得：cosJ=b2+c2-23bcA整理得：b2+c2=2bc(cosA+sinA)?貝i_J：-+=2(cosJ+-j5nA)=4-n(A+)?當(dāng)A=時(shí)，取得最犬值4一bc635.【2018浙江臨海模擬】若AABC的內(nèi)角滿足sinA+2sinB=2sinC，則cosC的最小值是答案】6邁4解析】cosC=2aba+：2b、a2+b2一()2=22ab3a2+2b2一2：2ab2、6ab一2：2ab2ab+abaab12，當(dāng)且僅當(dāng)4a=b=2；3,c=6時(shí)，等號(hào)成立，即ab的最小值為12.7.【2018蘭州模

11、擬】已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊依次為a,b,c,外接圓半徑為1,且滿足tanBb4也即sinJcos5=2sinCeosJsinBcosA,故sin(J+5)=2sinCeosJ,tanA2c-b-二一:，則AABC面積的最大值為.ABAC2也即2cosJ=1JiA=由正弦定理可得a=2血/=曲，再由余弦定理可得3=仗+可3初眾卩3+3初=+疔4cb,所以bc，故S=bcsinA2.2tanAtanBtanC,ntanAtanBtanC8,即最小值為8.10.【2018大連模擬】若AABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列，a,b,c所對(duì)的角依次為A,B,C,則SiB鈕B的取值范圍是.【答

12、案】（1,2.【解析】由題宀叫由余弦定理得：3胡=心上=土竺上竺生土竺=12oc2ac2ac2所0B-,貝ijsin5+cos5smB+-）,且-+-cosC=0即C=f=9科=6“&tcos4=9；*氐呂in/=6仏丄根據(jù)直角三角形可得血/斗cosJ=|,bc=15?3衛(wèi)=斗，以./C所在的直線為益軸，以.月C所在的直線為P軸建立直角坐標(biāo)系可得C(030)3A(530)(03斗)，尸為線段曲上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)兄使得CP=CA+(1-A)CB=(5A3斗一4A)(OA2J12xy,解得xy1所以cosB的最小值為2。所以cosC=2ab7(a+ba2+b2一I2丿2ab11一一42當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.1故cosC的最小值為-.厶15.【2018延安中學(xué)模擬】AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.(1)若a,b,c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin(A+C)；（2）若a,b,c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.1【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）-.【解析】gb,