高等數(shù)學(xué)微積分第2章第7節(jié)無窮小量與無窮大量課件

1、第七節(jié) 無窮小量與無窮大量一.無窮小量1.定義如果在某變化過程中,變量的極限為零,則稱為無窮小量.注(1)七種變化過程、數(shù)列及一般函數(shù)都成立.(2)談無窮小量時(shí)指明自變量變化過程.(3)區(qū)分無窮小量與一個(gè)非常小的數(shù).(4)是無窮小量.(5)精確性定義.2.性質(zhì)必要性因所以故為無窮小量記為則充分性由得定理2.17證 此性質(zhì)是把極限和無窮小量聯(lián)系起來的一個(gè)性質(zhì),如有涉及極限與無窮小量的題型，想到這個(gè)性質(zhì).鄭重聲明應(yīng)首先有限個(gè)無窮小量的和、差、積注(1)本性質(zhì)只對有限個(gè)無窮小量成立.補(bǔ)充無窮小量與極限不為零的變量的商(2)本性質(zhì)無窮小量的商不成立.定理2.18仍為無窮小量.仍為無窮小量.無窮小量與有

2、界變量的乘積設(shè)則對恒成立此時(shí)定理2.19仍為無窮小量.證無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量.設(shè)所以從而故即為無窮小量.推論常數(shù)與無窮小量的乘積為無窮小量.定理2.19證例1求解因?yàn)樗宰⒍?無窮小量的比較定義設(shè)在某一過程中,都是無窮小量(1)如果稱高階的無窮小量.記作:(2)如果稱是同階無窮小量.特別地,當(dāng)時(shí),稱是等價(jià)無窮小量.記作:(3)低階的無窮小量如果稱如果則稱(4)階無窮小量.的注：并非任意兩個(gè)無窮小量都可進(jìn)行比較例時(shí)與都是無窮小量.但不存在故二者不可進(jìn)行比較注(1)首先是無窮小量.(2)比值極限存在(或).(3)常見的等價(jià)無窮小:時(shí)(4)在求極限的過程中,等價(jià)無窮小量可互相代換.設(shè)

3、則證注本性質(zhì)只適合乘除,對加減失效.例2求解原式原式例3已知時(shí),是等價(jià)無窮小,求常數(shù)解由題設(shè)有又故(05年考研真題4分)極限解(04年考研真題4分)若則解因故從而三.無窮大量定義如果在某變化過程中,變量的絕對值無限增大則稱在該變量變化過程中為無窮大量.注(1)七種變化過程、數(shù)列及一般函數(shù)都成立.(2)談無窮大量時(shí)指明自變量變化過程.(3)區(qū)分無窮大量與一個(gè)非常大的數(shù).(4)精確性定義.定義如果在某變化過程中,變量無限則稱在該變化過程中變量為正無窮大量.增大定義如果在某變化過程中,變量則稱在該變化過程中變量無窮大量.且絕對值無限增大取負(fù)值為負(fù)復(fù)習(xí)基本初等函數(shù),找出特殊無窮大量、注正無窮大量、負(fù)無窮大量.定義設(shè)在某一過程中,都是無窮大量(1)如果稱低階的無窮大量.(2)如果稱是同階無窮大量.特別地,當(dāng)時(shí),稱是等價(jià)無窮大量.(3)高階的無窮大量如果稱四.無窮大量的比較五.無窮小量與無窮大量的關(guān)系(1)如果變量是無窮大量,則是無窮小量.(2)如果變量是無窮小量,則是無窮大量.并且證因,由無窮大量定義對,從而成立,成立則總結(jié)本節(jié)重點(diǎn):無窮小量的定義、性