江蘇省2019-2020學年高二數(shù)學上學期期末考試試題1

1、江蘇省啟東中學2019-2020學年度第一學期期終考試高二數(shù)學(文理)試卷一、填空題：(本大題共14大題，每小題5分，共70分).已知命題p : x R,sin x 1,則 p為.復數(shù)2L.1 2i.女子國際象棋世界冠軍中國江蘇選手侯逸凡與某計算機進行人機對抗賽，若侯逸凡獲勝的概率為 0,65,人機和棋的概率為 0.25 ,那么侯逸凡不輸?shù)母怕蕿?. 2.若命題x R,使x (a 1)x 1 0是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是 .x2y2.若雙曲線 工 1的一條準線方程是 y 1 ,則實數(shù)m的值是 _ _.2m m.現(xiàn)有一個關(guān)于平面.圖形的命題：如圖，同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一

2、個的某頂點a2恰好是另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長均為 a的正4第6題圖方體，若其中一個的某頂點恰好是另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為22.雙曲線x- -y- 1上的點P到點(5,0)的距離為8.5,則點P到169左準線的距離為 .拋物線x2 4y的弦AB過焦點F ,且AB的長為6,則AB的中點M 縱坐標為.復數(shù)z滿足z 2 i 1 ,則z 1 2i的最小值為 .當a為任意實數(shù)時，直線(2a+3)x+y 4a+2=0恒過定點P,則過點P的拋物線的標準方程是.甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的

3、.如 果甲船停泊時間為 1 h ,乙船停泊時間為 2h ,則它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概 率.已知橢圓E的左、右焦點分別為 Fi、F2,過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點，若 PFF2為直角三角形，則橢圓E的離心率為 .2.若f(n)為n 1 (n N )的各位數(shù)字之和，如 142 1 197 , 1 9 7 17,則f (14) 17 ；記fi(n) f(n), f2(n) f(n),，fk i(n) f(fk(n), k N ,則 f2oi6(8) x2 y2.設(shè)點Ai, A2分別為橢圓C： -y 與 1(a b 0)的左右頂點，若在橢圓 C上存在異于點 A” A a

4、b的點P,使得POPA2,其中。為坐標原點，則橢圓 C的離心率的取值范圍是二、簡答題：(本大題共6小題，共90分).(本小題14分)一個袋中有紅、白兩種球各若干個，現(xiàn)從中一次性摸出兩個球，假設(shè)摸出的兩個球 7 13至少有一個紅球的概率為,至少一個白球的概率為,求摸出的兩個球恰好紅球白球各一個的概1515率.(本小題14分)設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x2-4ax+3a20,命題q：實數(shù)x滿足x2-x-60.(1)若a= 1,且pA q為真，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實數(shù) a的取值范圍.(本小題15分)從含有兩件正品 as a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取 1件，每次取

5、出后不放回，連續(xù)取兩次.(1)求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；(2)如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，則取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率是多少?1.(本小題15分)已知中心在原點，焦點在 x軸上的橢圓C的離心率為2，一， 一 3且經(jīng)過點M 1, 2 .(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在過點 P(2,1)的直線11與橢圓C相交于不同的兩點 A, B,滿足亦 PB3=PM2?若存在，求 出直線11的方程；若不存在，請說明理由.(本小題16分)已知關(guān)于x的絕對值方程|x2+ax+b|=2,其中a, bC R(1)當a, b滿足什么條件時，方程的解集M中恰有3個元素？

6、(2)在條彳(1)下，試求以方程解集 M中的元素為邊長的三角形，恰好為直角三角形的2220.（本小題16分）已知橢圓C：與 22 i（a b 0）上的一動點P到右焦點的最短距離為 2 衣，且 a b右焦點到右準線的距離等于短半軸的長.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)P 4,0 , A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié) PB交橢圓C于另一點E ,證明直線 AE與x軸相交于定點Q;（3）在（2）的條件下，過點 Q的直線與橢圓C交于M ,N兩點， uuur uuir 求OM ON的取值范圍.高二數(shù)學（附加題）22一21.（本小題10分）已知P是橢圓 y-1上的任意一點，F(xiàn)i、F2是它的

7、兩個焦點，O為坐標原點，OQ=94 PF1+ PF2,求動點Q的軌跡方程.（本小題10分）已知（JX |-）n （n N*）的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)3的比是10： 1.求展開式中含X2的項.（本小題 10 分）如圖，在三好B P ABC 中，PA 底面 ABC,PA AB, ABC 60 , BCA 90 ,點D, E分別在棱PB, PC的中點，求 AD與平面PAC所成的角的正弦值的大??；.(本小題10分)是否存在 a、b、c使得等式122+2-32+- +n(n+1)2=n(n 1) (an2+bn+c)對于一切正整數(shù)n都成立?12證明你的結(jié)論.江蘇省啟東中學2019-2020學

8、年r度第一學期期終考試答案1.x R,sin x 13. 0.94.1x 31a3823/2 1y 2= 32x 或 x2=1 2y10131152g.或 75 282 萬，1)1r5.解：設(shè)摸到的兩個球均為紅色的事件為A, 一紅一白的事件為B,均為白球的事件為C.顯然，A、B、C為互斥事件,P (A+ B)依題意:一一一 13P(B+C)=許P ( A+ B+C) = 1P (A) + P ( B)P (B) + P (Q13? P(B) = !3P (A) + P (B) + P (C) = 1，,1即兩個球恰好紅球白球各一個的概率為-316.設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x2-4ax+ 3a20,

9、命題q：實數(shù)x滿足x2 x 6 0, x2+2x80.(1)若a= 1,且pA q為真，求實數(shù)x的取值范圍;(2)若p是q的必要不充分條件，求實數(shù) a的取值范圍.解 (1)由 x2 4ax+3a20 得(x3a)(xa)0,所以 ax3a,當 a=1 時，1x0得 2xW3,若pAq為真，則p真且q真，所以實數(shù)x的取值范圍是x2x3;(2)設(shè) A= x| x2-4ax+ 3a20,x2 - x 6 0 0 x2 + 2x- 80則 B A,又 A= x|awxw3a, B= x|2xW3,則 03, (a1) + (3 a 3)2w0所以實數(shù)a的取值范圍是a|1b0), a2 b2 TOC o

10、 1-5 h z 19 .c+1 ,a2 4b2由題意得 c= 1解得a2=4, b2=3.a=2 a2=b2+c2,、， x2 y2故橢圓C的方程為尸卜.(2)假設(shè)存在直線11且由題意得斜率存在，設(shè)滿足條件的方程為y= ki( x 2) + 1,代入橢圓C的方程得,(3+4k2)x28ki(2ki 1)x+16k216ki 8=。因為直線11與橢圓C相交于不同的兩點 A, B,設(shè)A, B兩點的坐標分別為(xi, yi) , (x2, y2),所以 = 8ki(2ki i) 24(3 +4k2)(i6 k2 i6ki 8) = 32(6 ki+3) 0,一, i所以ki 2.又* + *2=錯

11、誤！，*仇2=錯誤！， 因為PA-pb=pm,一5即(xi 2)( x2-2) + (yi- i)( y2一 i)=4所以(xi 2) ( x22)(i +k2)=|PM2=5. 一. .5即xix22(xi+x9+4(i +k2)=-. 4所以錯誤！(i+k錯誤！)=錯誤！=錯誤！，解得 = 錯誤！.因為ki,所以ki =.22 i于是存在直線11滿足條件，其方程為 y = 2x.i9.已知關(guān)于x的絕對值方程|x2+ax+b|=2,其中a, be R.(1)當a, b滿足什么條件時，方程的解集 M中恰有3個元素？(2)試求以方程解集M中的元素為邊長的.三角形，恰好為直角三角形的充要條件. T

12、OC o 1-5 h z 解(1)原方程等價于x2+ax+b=2,或 x2 + ax+ b= - 2,由于 A1 = a24b + 8a24b8 = A 2,42=0時，原方程的解集 M中恰有3個元素，即a2 4b= 8； .a .aa(2)必要性：由(1)知萬程的根 x=-2,萬程的根 xi=-2-2, x2=-+2, a o a o a c如果它們恰為直角三角形的三邊，即(-2) +(-2- 2) =(-2+2 ,解得 a= 16, b= 62.充分性：如果 a= 16, b=62,可得解集 M為6, 8, 10,以6, 8, 10為邊長的三角 形恰為直角三角形. a= - 16, b=

13、62為所求的充要條件.2220.已知橢圓c：x24i(a b 0)上的一動點P到右焦點的最短距離為 2好，且右 a b焦點到右準線的距離等于短半軸的長.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P 4,0 一，A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié) PB交橢圓C于另一點E ,證明直線AE與x軸相交于定點Q ;(3)在(2)的條件下，過點Q的直線與橢圓uuiuC交于M,N兩點，求，0”uuirON的取值20.解：(1)由題意知故橢圓C的方程為c2y21.(2)由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線 PB的方程為y k(x 4).y k(x22x y 了萬4),得(2k* 2 1)x2 16k2x

14、32k2 4 0. 遼 1.設(shè)點 B(xi,yi), E(X2,y2),則 A(k, y1).直線AE的方程為yV2 色(X x2).x2 x1y2(x2 xjV2 yi將 yi k(xi 4) , V2k(x2 4)代入,整理，得x由得x1整理，得x2x1x24(xi x2)2法代入2k 1所以直線AE與x軸相交于定點Q(1,0).(3)當過點Q直線MN的斜率存在時,設(shè)直線 MN 的方程為 y m(x 1), M (xM , yM ), N (xn, yN).y m(x 1),/一24m xm xn22m 1，xm xn22m4,Vm yN22m1uuur iuur則 OM ON xM xN

15、Vm yN22m423m_2_22m12m 1因為m2 0 ,所以4 W1711922 2m12uuur uur所以 OM ON 4,1) .2/日，c 2222得(2m1)x 4mx 2m 40 .23m22m 12m 4-2-2m 171二 722 2m 1當過點Q直線MN的斜率不存在時，其方程為 x 1.解得M (1，N(1,此時uuur0MuuirON所以uuun OMiur0N的取值范圍是,1, 4， 2 1621.2已知P是橢圓91上的任意一點,F1、F2是它的兩個焦點，0為坐標原點，0Q= PF1 + PF2,求動點Q的軌跡方程.解析 由 OQ= PF1+PF2,又 PF1 +

16、PF2= PM= 2P0= 2OP,設(shè)Qx,y),則 0P= ；0Q= -2(x, y)即P點坐標為x2y _2 ,又P在橢圓上,則49(y)241.2即362y1622.已知(市-5* 一 一 一一、 一一 一- nC N)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10 : 1.求展開式中含x2的項.解：解：由題意知，第五項系數(shù)為C4 - (-2)4,第三項的系數(shù)為C2 - (-2)2,則有C4-C2-一 2 4-2 2101，2化間得 n5n 24=0,解得n= 8或n= 3(舍去).2通項公式 Tr + 1=C8 - (/x)8 (-)一r 8 r 八 ， 一一、=C8 ( 2) , x

17、2一 2r, (r = 0,1 ,，8),人8r -3.令2 2r =,則 r = 1,33AB, ABC 60 , BCA 90 ,故展開式中含x的2項為F=16x523.如圖，在三棱錐P ABC中，PA底面ABC,PA點D , E分別在棱PB, PC的中點，求:AD與平面PAC所成的角的正弦值的大小;設(shè)PA a,由已知可得解：如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系A(chǔ) xyz ,A(0,0,0), B(a,0) , C(0,-23a,0), P(0,0, a), D(a . 3a a)442)uuuAP0,0, auuur ,BC12a,0,0uuu APuuur0,0, a , BC1 -a

18、,0,0 2uuir ,BCuurAP 0，.二 BC AP.BCA 90 , Bd AC,Bd平面PAC.uuir平面PAC的一個法向量 BC(2,0,0)設(shè)AD與平面PAC所成的角為sinuuuuuur cos AD, BCAD與平面PAC所成的角的正弦是 424.是否存在a、b、c 使得等式 1 22+232+- +n( n+1)2=n(n-1) (an2+bn+c)對于一切12正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。解.假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立,這時令n=1,2,3,有221(a b c) 61-(4a 2b 2c)311c 10于是，對n=1,2,3下面等式成立1 - 22+2- 32+ - +n(n+1)2= n(n 1) (3n2 11n 10