級數(shù)的概念與性質(zhì)

1、第十一章無窮級數(shù)教學內(nèi)容目錄：18本章主要內(nèi)容：常數(shù)項級數(shù)：無窮級數(shù)及其收斂與發(fā)散的定義，無窮級數(shù)的基本性質(zhì)，級數(shù)收斂的必要條件，幾何級數(shù)，調(diào)和級數(shù)，P級數(shù)，正項級數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，交錯級數(shù)，萊布尼茲定理，絕對收斂和條件收斂。幕級數(shù)：幕級數(shù)概念，阿貝爾（Abel）定理，幕級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，幕級數(shù)的四則運算，和的連續(xù)性、逐項積分與逐項微分。泰勒級數(shù)，函數(shù)展開為冪級數(shù)的唯一性，函數(shù)（ex、sinx、cosx、ln（1+x）、（1+x）m等）的冪級數(shù)展開式，冪級數(shù)在近似計算中的應(yīng)用舉例，“歐拉（Euler）公式。函數(shù)項級數(shù)：函數(shù)項級數(shù)的一般概念，收效域及和函數(shù)。教學目的與要求：1、

2、理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、掌握幾何級數(shù)和P級數(shù)的收斂性。3、掌握正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法。4、理解交錯級數(shù)的審斂法（萊布尼茲定理）。5、了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系。6、了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7、掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點的收斂性可不作要求）。8、了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。9、了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10、掌握應(yīng)用ex,sinx,cox,en（1+x和（1+x）u的馬克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡單的的函數(shù)間接展開成

3、冪級數(shù)的方法。11、了解函數(shù)展開為傅里葉（Fourier）級數(shù)的狄利克雷（Dirchet）條件，會將定義在（-nn）上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，并會將定義在（-nn）上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。本章重點與難點：重點:正項級數(shù)的審斂法；將一些簡單的的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)難點：應(yīng)用逐項積分、逐項微分的性質(zhì)求和函數(shù)、本章計劃學時：16學時（2節(jié)習題課）教學手段：課堂講授、習題課、討論，同時結(jié)合多媒體教學推薦閱讀文獻：高等數(shù)學同步輔導（下）高等數(shù)學名師導學（下）高等數(shù)學雙博士課堂推薦閱讀文獻：高等數(shù)學同步輔導（下）高等數(shù)學名師導學（下）高等數(shù)學雙博士課堂（第十一章）主編（第十一章）主編（第十一章）主編

4、同濟大學應(yīng)用數(shù)學系彭舟航空工業(yè)出版社大學數(shù)學名師導學叢書編寫組中國水利水電出版社北京大學數(shù)學科學學院機械工業(yè)出版社作業(yè)：習題111：2（2、4）、3（2）、4（1、3、5）習題112:1（1、3、5）、2（2、4）、3（1、3、4）、4（1、3、5）、5（1、3、5）習題113:1（1、3、5、6、8）、2（1、3）習題114:1、2（2、3、5）、4、6習題117:1（1、3）、2（1）4、6能力培養(yǎng)及措施：通過精講多練，啟發(fā)式教學，討論式教學，重點講授重點、難點，自學部分內(nèi)容，課堂討論，結(jié)合習題課及多媒體教學培養(yǎng)學生的比較熟練的運算能力、邏輯推理的能力及抽象思維能力，推薦學生閱讀相關(guān)文獻培

5、養(yǎng)學生自學能力11-1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)問題的提出一一計算半徑為R圓的面積用內(nèi)接正3X2n邊形的面積逐步逼近圓面積：正六邊形面積Aa1,正十二邊形面積Aa1+a2,正32n形面積Aa+a?+an若內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n無限增大，則和a1+a2+的極限就是所要求的圓面積A。這時和式中的項數(shù)無限增多，出現(xiàn)了無窮多個數(shù)量依次相加的數(shù)學式子。一、常數(shù)項級數(shù)的概念1.常數(shù)項級數(shù)如果給定一個數(shù)列U1,U2,U3,Un，,則表達式u1+u2+u3+un+（1）叫（常數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱（常數(shù)項）級數(shù)，記為n1注1:怎樣理解級數(shù)中無窮多個數(shù)量相加呢？觀察有限項和的變化趨勢2.級數(shù)的部分和：前n項的和SnUi

6、U22.級數(shù)的部分和：前n項的和SnUiU2nUnUii1部分和數(shù)列Sn：qU1S2U1+U2SnUi+U2+U3+Un3.級數(shù)的收斂與發(fā)散limSnsn定義（斂散性）如果級數(shù)Un的部分和數(shù)列Sn有極限S，即n1則稱無窮級數(shù)Un收斂，極限S為這級數(shù)的和，并寫成n1SU1+U2+U3+Un+如果數(shù)列Sn沒有極限，則稱無窮級數(shù)Un發(fā)散n1注2：若級數(shù)收斂，Sn是和S的近似值，rnSSnUn1Un2叫做級數(shù)的余項.,Sn代替和S所產(chǎn)生的誤差是該余項的絕對值，即誤差是rn。判別級數(shù)1市市的收斂性-解Unk1（k2）（k3）k1（k2）（k3）1111111（n2n3）31limSn-n1所以級數(shù)收斂，

7、它的和是1例2討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)）aqn（ak0,q:級數(shù)的公比）的收斂性n0分析：若q1,Snaaqnn1aaqaq1q當q1時，limqn0,limSn級數(shù)收斂，其和二.當q1時,limqn,limSn,級數(shù)發(fā)散當|q1時，級數(shù)發(fā)散即:若q1,級數(shù)收斂；若q1，級數(shù)發(fā)散.例3討論調(diào)和級數(shù)11111的收斂性.n1n23n分析因為xIn1xx013141n11In2,InInIn2233nn11134n11In2InInInInn123n23nlimsnnlimInnn1,所以級數(shù)發(fā)散、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1若級數(shù)Un收斂于和S,則級數(shù)kUn也收斂，且其和為kS.TOCo1-5hzn1n

8、1分析：設(shè)Un與kUn的部分和分別為Sn與n，則nkS.,n1n1limnlimksnklimsnks.貝Ukun收斂，和為ks.nnnn1由nkSn知，若Sn無極限且k0,則n也無極限.結(jié)論：級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)后，它的收斂性不會改變.3門333n02n22n級數(shù)收斂；2n1n2222n級數(shù)發(fā)散性質(zhì)2若Un、Vn分別收斂于S、，則(UnVn)也收斂,且其和為Sn1n1n1分析：Un、vn:sn、n)(UnVn）的部分和nsnnn1n1n1limns.則(unvn)收斂，且其和為s.nn1注3：性質(zhì)2也說成：兩收斂級數(shù)可以逐項相加減.性質(zhì)3在級數(shù)中去掉或加上有限項，不會改變級數(shù)的收

9、斂性.分析：只需證明“在級數(shù)的前面部分去掉或加上有限項,不會改變級數(shù)的收斂性”因為其他情形(即在級數(shù)中任意去掉、加上或改變有限項的情形)都可以看成在級數(shù)的前面先去掉有限項,然后再加上有限項的結(jié)果.將級數(shù)Ui+U2+U3+Uk+Uk1+Ukn+的前k項去掉，得級數(shù)Uk1+Ukn+新級數(shù)的部分和為n=Uki+U=Snk其中S是原級數(shù)的前k+n項的和因Sk是常數(shù)，故n時，n與Skn或者同時有極限，或者同時沒有極限類似地，可以證明在級數(shù)的前面加上有限項，不會改變級數(shù)的收斂性.性質(zhì)4如果級數(shù)Un收斂,則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)n1(U1Un1)(Un11Un2)(Unk1Unk)(2)仍然收斂

10、,且其和不變.即加括弧后所成的級數(shù)收斂,且其和不變.注意如果加括弧后所成的級數(shù)收斂,則不能斷定去括號后原來級數(shù)也收斂.例如級數(shù)(1-1)+(1-1)+收斂于零但級數(shù)1-1+1-1+是發(fā)散的推論：如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原來級數(shù)也發(fā)散事實上，倘若原來級數(shù)收斂，則根據(jù)性質(zhì)4知道，加括弧后的級數(shù)就應(yīng)該收斂了.性質(zhì)5(級數(shù)收斂的必要條件)若nUn收斂,則limUnn分析設(shè)mUn的部分和為且SnS(n),則燈山河&Sn1)0.注4:(1)limUn0是級數(shù)收斂的必要條件而非充分條件n如調(diào)和級數(shù)1-23雖然Un10(n),但它是發(fā)散的nlimUnn0(不存在)，則Un發(fā)散。n1例4討論下列級數(shù)的收斂性小結(jié):本節(jié)介紹了無窮級數(shù)