新人教版高中數(shù)學必修第二冊第六章平面及其應用：6.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示 6.3.3 平面向量加、減運算的坐標表示 6.3.4 平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

1、6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示 1.借助平面直角坐標系,掌握平面向量的正交分解及坐標表示. 2.會用坐標表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算. 3.理解用坐標表示的平面向量共線的條件,會根據(jù)平面向量的坐標判斷向量是否共線.本資料分享自千人教師QQ群323031380 期待你的加入與分享 平面向量的正交分解及坐標表示 1.平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐標表示 (1)在平面直角坐標系中,設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i, j,取i,j作為基底

2、.對于平面內(nèi)的任意一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=xi+yj.這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y),此式叫做向量a的坐標表示. (2)在直角坐標平面中,以原點O為起點作=a,則點A的位置由向量a唯一確定.設=xi+yj,則向量的坐標(x,y)就是終點A的坐標. (3)向量i,j,0的坐標表示:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 平面向量加、減、數(shù)乘運算的坐標表示 文字敘述坐標表示加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+

3、b=(x1+x2,y1+y2)減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=(x1-x2,y1-y2)數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標若a=(x,y),R,則a=(x,y)向量的坐標一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1) 平面向量共線的坐標表示 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,向量a,b共線的充要條件是x1y2-x2y1=0. 向量的坐標表示的重要結(jié)論 1.中點向量坐標 若A(x1,y1),B(x2,

4、y2),P為AB的中點,則=(O為平面內(nèi)任一點). 2.三角形的重心向量坐標 ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若ABC的重心為G,則=(O為平面內(nèi)任一點).1.兩個向量的終點不同,則這兩個向量的坐標一定不同. ()提示：兩個向量的終點不同,但這兩個向量可能相等,即坐標有可能相同.2.向量的坐標就是向量終點的坐標.()判斷正誤，正確的畫“” ，錯誤的畫“ ” .提示：只有以坐標原點O為起點的向量的坐標才是其終點的坐標.3.在平面直角坐標系中,兩個相等向量的坐標相同. ()4.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若ab,則=.()5.向量a=(1,2)與

5、b=(-3,-6)共線且同向.()提示：b=(-3,-6)=-3(1,2)=-3a,所以a與b共線且反向. 平面向量坐標運算的應用 利用平面向量的坐標運算解決有關問題的基本思路 1.向量的坐標運算一般是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的,若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求出向量的坐標,然后進行向量的坐標運算,另外解題過程中要注意方程思想的運用. 2.利用向量的坐標運算解題,主要根據(jù)相等的向量坐標相同這一原則,通過列方程(組)進行求解. 3.利用坐標運算求向量的基底時,一般先求出基底向量和被表示向量的坐標,再用待定系數(shù)法求出相應系數(shù).在直角梯形ABCD中,ABAD,DCAB,AD=DC=2,AB=4,E,F分別為AB,BC的中點,點P在以A為圓心,AD為半徑的圓弧上運動(如圖所示).若= +,其中,R,則2-的取值范圍是(A)A.-,1 B.-,C.D. 思路點撥建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算,從而求出2-的取值范圍.解析建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),E(2,0),D(0,2),F(3,1).設P(2cos ,2sin ),則=(2cos ,2sin ),=(-2,2),=(3,1).=+,(2cos ,2sin )=(-2,2