三維晶格的振動(dòng)

1、聲子是真實(shí)的粒子嗎？不是, 是“準(zhǔn)粒子”一維雙原子鏈的布里淵區(qū), 或 q 的取值范圍是多大？q 可以取多少個(gè)不同的值？怎樣分布？N 個(gè)，在周期性邊界條件下是均勻分布的每個(gè) q 對(duì)應(yīng)幾個(gè)格波解？分別稱為什么？2個(gè)，聲學(xué)波、光學(xué)波13-4 三維晶格的振動(dòng)雙原子鏈的模型已比較全面地表現(xiàn)了晶格振動(dòng)的基本特征，這一節(jié)以對(duì)比雙原子鏈的方法來說明三維晶格的振動(dòng)考慮原胞含有 n 個(gè)原子的復(fù)式晶格, n 個(gè)原子的質(zhì)量為m1, m2, , mn , 原胞以 l (l1 l2 l3) 標(biāo)志, 表明它位于格點(diǎn)1. 運(yùn)動(dòng)方程與振動(dòng)模式數(shù)2原胞中各原子的位置用 表示偏離格點(diǎn)的位移則寫成和雙原子鏈的情形一樣, 可以寫出一個(gè)

2、典型原胞中的運(yùn)動(dòng)方程其中 k 標(biāo)明原胞中的各原子, k =1, 2, , n. 代表原子的三個(gè)位移分量, 方程右端是原子位移的線性齊次函數(shù)3指數(shù)函數(shù)表示各種原子的振動(dòng)都具有共同的平面波的形式, q 是其波數(shù)矢量方程解的形式和一維完全相似，可以寫成A1 (A1x, A1y, A1z), A2 (A2x, A2y, A2z), 可以是復(fù)數(shù), 表示各原子的位移分量的振幅和位相可以有區(qū)別上式實(shí)際上表示了三維晶格格波的一般形式4同樣可證明, 代回運(yùn)動(dòng)方程后, 得到以 A1x , A1y , A1z , , Anx , Any , Anz 為未知數(shù)的 3n 個(gè)線性齊次聯(lián)立方程 它的有解條件是 的一個(gè) 3n

3、 次方程式,從而給出了 3n 個(gè)解 j ( j = 1, 2, , 3n)具體分析證明, 當(dāng) q0 時(shí), 有三個(gè)解 jq, 且對(duì)這三個(gè)解 A1, A2, An 趨于相同, 也就是說在長(zhǎng)波極限整個(gè)原胞一齊移動(dòng)。這三個(gè)解實(shí)際上與彈性波相合5所以在三維晶格中, 對(duì)一定的波矢 q, 有 3 個(gè)聲學(xué)波, (3n3) 個(gè)光學(xué)波?；蛘哒f有 3 支聲學(xué)波, (3n3)支光學(xué)波另外(3n3)個(gè)解的長(zhǎng)波極限描述 n 個(gè)格子之間的相對(duì)振動(dòng), 并具有有限的頻率 問題：銅晶體的格波有幾支聲學(xué)波，幾支光學(xué)波？ NaCl 晶體？ 金剛石？CsCl?6在三維情形 q 同樣受到邊界條件的限制，只能取某些值而不是任意的“q 空間

4、”以倒矢量 b1, b2, b3為基矢, 即 q 寫成的形式常引入 “q 空間”來表示邊界條件所允許的 q 值, 即把 q 看作空間的矢量, 而邊界條件允許的 q 值將表示為這個(gè)空間中的點(diǎn)2. 玻恩卡曼邊界條件與布里淵區(qū)7仍采用玻恩卡曼邊界條件，在三維情況下其中 a1、a2、a3 為晶格基矢, N1、N2、N3 為沿三個(gè)基矢方向的原胞數(shù), 顯然有晶體總原胞數(shù)N=N1N2N3. (Rl) 代表 Rl 格點(diǎn)上原胞的位移邊界條件表示, 沿著 ai 方向, 原胞的標(biāo)數(shù)增加 Ni , 振動(dòng)情況必須相同 (i=1,2,3)8邊界條件要求h1 、h2、 h3為整數(shù), 因此它們代表 q 空間均勻分布的點(diǎn)9每個(gè)

5、點(diǎn)占據(jù)的 q 空間體積考慮到倒格子原胞的“體積”與正格子原胞的體積之間的關(guān)系, 可以得到邊界條件允許的 q 在 q 空間均勻分布的密度：V 為晶體的體積10從原子振動(dòng)考查, q 的作用只在于確定不同原胞之間振動(dòng)位相的聯(lián)系, 具體表現(xiàn)在格波解中的位相因子如果 q 改變一個(gè)倒格子矢量 (n1, n2, n3為整數(shù)), 則由于 是 2的整數(shù)倍, 并不影響上述位相因子這表示為了得到所有不同的格波, 也只需要考慮一定范圍的 q 值, 例如可以只考慮一個(gè)倒格子原胞中的 q 值11在圖中所示的倒格子中, 可以把平行四邊形原胞選為 q 的取值范圍, 對(duì)其它的 q 值在指定的原胞內(nèi)總存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的 q, 它們之

6、間相差一個(gè) Gn, 因而對(duì)格波的描述沒有任何區(qū)別12由于邊界條件允許的 q 分布密度為 V/(2), 因此不同 q 的總數(shù)應(yīng)當(dāng)是和晶體中包含的原胞數(shù)目相同. 對(duì)于每個(gè) q 有 3 個(gè)聲學(xué)波, (3n3) 個(gè)光學(xué)波, 所以不同的格波的總數(shù)是正好等于晶體 Nn 個(gè)原子的自由度。這表明,上述的格波已概括了晶體的全部振動(dòng)模13但是把 q 的取值范圍選為上述倒格子原胞并不是最方便的, 通常是選為第一布里淵區(qū)(也稱簡(jiǎn)約布里淵區(qū))做由原點(diǎn)出發(fā)的各倒格子矢量的垂直平分面, 由這些平面所圍成的最小體積就是第一布里淵區(qū)可以證明第一布里淵區(qū)的體積等于倒格子原胞的體積,第一布里淵區(qū)具有環(huán)繞原點(diǎn)更為對(duì)稱的優(yōu)點(diǎn)14j(q

7、) 作為 q 的函數(shù)稱為晶格振動(dòng)譜, 或稱為格波的色散關(guān)系, 它可以通過實(shí)驗(yàn)的辦法測(cè)量得到, 也可以根據(jù)原子間相互作用力的模型從理論上進(jìn)行計(jì)算由理論與實(shí)驗(yàn)的比較中獲得對(duì)相互作用力的認(rèn)識(shí)共價(jià)晶體、離子晶體、金屬晶體、分子晶體等由于它們的原子間相互作用力有著不同的特點(diǎn), 因而在格波的譜上也有著相應(yīng)的特征3. 晶格振動(dòng)譜15三維晶格還需要考慮原子位移方向與格波傳播方向之間的關(guān)系, 若沿著晶體的一個(gè)對(duì)稱軸晶體繞這個(gè)軸轉(zhuǎn) /2, 或/3, 2/3 是對(duì)稱操作時(shí), 這時(shí)格波可以分為縱波和橫波縱波原子位移平行于波的傳播方向; 橫波原子位移垂直于波的傳播方向, 而且包括兩個(gè)頻率簡(jiǎn)并的波TA 表示橫聲學(xué)波, L

8、A 表示縱聲學(xué)波 TO 表示橫光學(xué)波, LO 表示縱光學(xué)波三維晶體中 q 是矢量, 在作圖時(shí)總是固定 q 的方向,一般選典型的對(duì)稱軸的方向。分別畫出 q 沿不同方向時(shí)j(q) 的變化16由于金剛石結(jié)構(gòu)中每個(gè)原胞含有兩個(gè)原子, 因而存在縱光學(xué)波和橫光學(xué)波. TA, TO 是兩重簡(jiǎn)并的. 可看出長(zhǎng)聲學(xué)波極限縱波和橫波有不同的波速, 長(zhǎng)光學(xué)波極限, 縱波與橫波有相同的頻率硅的格波譜17GaAs 是族化合物, 具有閃鋅礦結(jié)構(gòu), 它的格波譜與 Si 很相似, 主要的區(qū)別在于 q=0 時(shí)縱光學(xué)波與橫光學(xué)波的頻率是不相同的, 這是離子性的反映, 離子性越強(qiáng), 兩個(gè)頻率之差越大GaAs 的格波譜18Pb 的格

9、波譜金屬 Pb, 由于它具有面心立方晶格結(jié)構(gòu), 只有聲學(xué)波。在圖中某些 q 值附近 (q) 函數(shù)出現(xiàn)扭折, 這是因?yàn)檫@些 q 值的格波與金屬中電子之間耦合特別強(qiáng)的結(jié)果, 科恩(Kohn)1959年曾預(yù)言了與此有關(guān)的效應(yīng), 稱為科恩異常19三維晶格有 3n 個(gè)格波，其中 3 支聲學(xué)波，(3n3)支光學(xué)波采用周期性邊界條件, 波矢 q 在倒空間均勻分布, 取值范圍選為第一布里淵區(qū), 共 N 個(gè)值 (N 是原胞數(shù))格波的總數(shù)為 3nN, 等于晶體 Nn 個(gè)原子的自由度3-4 三維晶格的振動(dòng)小 結(jié)不同結(jié)合方式的晶體由于原子間相互作用力的特點(diǎn), 格波譜上有相應(yīng)特征203-5 離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波一、長(zhǎng)光學(xué)

10、波的宏觀運(yùn)動(dòng)方程長(zhǎng)聲學(xué)波就是把晶體看成連續(xù)介質(zhì)時(shí)的彈性波, 彈性波滿足在彈性理論基礎(chǔ)之上建立的宏觀運(yùn)動(dòng)方程對(duì)長(zhǎng)聲學(xué)波原胞中所有原子的位移是相同的, 它對(duì)應(yīng)于彈性波中的位移量, 彈性波中的密度可以用單位體積中的原子質(zhì)量得到黃昆首先提出了長(zhǎng)光學(xué)波也可以在宏觀理論的基礎(chǔ)之上進(jìn)行討論21長(zhǎng)光學(xué)波與長(zhǎng)聲學(xué)波不同, 正、負(fù)離子之間做相對(duì)運(yùn)動(dòng)在 q0 的極限, 實(shí)際上是正、負(fù)離子組成的兩個(gè)格子之間的相對(duì)振動(dòng), 質(zhì)心不動(dòng)以立方晶體為例, 每個(gè)原胞只含一對(duì)離子,質(zhì)量分別用 M 和 M 表示。黃昆選擇了 W 做為描述長(zhǎng)光學(xué)波運(yùn)動(dòng)的宏觀量 為約化質(zhì)量, 為原胞體積;、為正、負(fù)離子的位移22P 是宏觀極化強(qiáng)度, E

11、是宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度黃昆方程而且建立了下面一對(duì)宏觀的運(yùn)動(dòng)方程 第一個(gè)方程是決定離子相對(duì)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程第二個(gè)方程表示除去正、負(fù)離子相對(duì)位移產(chǎn)生極化, 還要考慮宏觀電場(chǎng)存在時(shí)的附加極化這里的系數(shù)不都是無關(guān)的，可以證明 b12=b2123首先考慮存在靜電場(chǎng)情況下晶體的介電極化。 在恒定的靜電場(chǎng)下, 令 為零, 得到代入另一式中從靜電學(xué)知道0 為真空介電常數(shù), (0)為晶體的靜電介電常數(shù)比較兩式得以上的唯象方程中的系數(shù)都可以通過實(shí)驗(yàn)來確定24再看很高頻電場(chǎng)情況下的介電極化, 如果電場(chǎng)的頻率遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)頻率有 W =0, 得到與介電常數(shù)的定義比較得到() 為晶體的高頻介電常數(shù)與 比較得到25下面討論長(zhǎng)光學(xué)

12、振動(dòng)時(shí)將看到0 為橫長(zhǎng)光學(xué)波的頻率, 可以從晶格的紅外吸收譜中測(cè)量得到, 因而26二、長(zhǎng)光學(xué)波的橫波頻率TO 與縱波頻率LO在考慮有帶電粒子的晶格振動(dòng)時(shí),必須考慮它們之間的電磁相互作用在這樣的宏觀理論中, 把靜電學(xué)方程與唯象方程的介電極化結(jié)合起來, 就相當(dāng)于考慮了電荷之間的庫(kù)侖作用往往只限于計(jì)算它們之間的庫(kù)侖作用對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波, 可以用以上的唯象方程求解晶格振動(dòng)27在立方晶體中長(zhǎng)光學(xué)波有橫波和縱波，其 W 可以分別用 WT 和 WL 表示, 則有電場(chǎng)滿足靜電方程對(duì)黃昆方程第一式取旋度得到可得28對(duì)黃昆方程第一式取散度得到再對(duì)黃昆方程第二式取散度有將 代入得到29將 代入有即因此有LST關(guān)系Lyddano-Sachs-Teller30由于一般來說靜電介電常數(shù) (0) 總是大于高頻介電常數(shù) (),