計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的課件

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論第二講 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)體系 一、概率論 二、數(shù)理統(tǒng)計(jì)一、概率論 知識(shí)體系（一）基本概念（二）隨機(jī)變量的數(shù)字特征總體的描述（三）抽樣分布的數(shù)字特征樣本的描述（四）隨機(jī)變量的分布總體和樣本的連接點(diǎn)（一）基本概念 知識(shí)體系1、確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象2、概念比較（隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、隨機(jī)變量、隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、隨機(jī)過(guò)程、總體、個(gè)體、樣本）3、事件及其運(yùn)算4、概率及其運(yùn)算（一）基本概念1、確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象 確定性現(xiàn)象 自然界和社會(huì)上在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。 隨機(jī)現(xiàn)象 在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。（一）基本概念2、概念比較

2、 隨機(jī)試驗(yàn)E 重復(fù)性（可以在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行）； 明確性（每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果）； 隨機(jī)性（每次試驗(yàn)之前不能確定哪一種結(jié)果會(huì)出現(xiàn)）。 隨機(jī)事件（A、B、C、D） 隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S中滿(mǎn)足某一條件的子集。（一）基本概念隨機(jī)變量 在隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中按一定概率取值的變量，即用變量X來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。隨機(jī)樣本（s.r.s） 設(shè)X是具有分布函數(shù)F的隨機(jī)變量，若X1, X2,Xn是具有同一分布函數(shù)F的、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱(chēng)X1, X2,Xn為從分布函數(shù)F（或總體F或總體X）得到的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。 2、概念比較（一）基本概念2、概念比較

3、統(tǒng)計(jì)量 設(shè)（ X1, X2,Xn ）為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，若函數(shù)y=f（ X1, X2,Xn ）不含有未知參數(shù)，則稱(chēng)其為統(tǒng)計(jì)量。隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)變量簇 ，其中T是給定的實(shí)數(shù)集，對(duì)應(yīng)每個(gè) 的 是隨機(jī)變量。（一）基本概念2、概念比較總體 將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，則其全部可能的觀察值稱(chēng)為總體。個(gè)體 將隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，則其每一個(gè)觀察值稱(chēng)為個(gè)體。樣本 總體中抽出若干個(gè)個(gè)體組成的集體。 （一）基本概念隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)變量隨機(jī)事件將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果按某一條件歸類(lèi)將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果按某一條件統(tǒng)計(jì)，用變量來(lái)描述其數(shù)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)量用隨機(jī)樣本的觀察值構(gòu)造的不含未知參數(shù)的函數(shù)，即統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量的函數(shù)。隨機(jī)樣本從隨機(jī)試驗(yàn)

4、的結(jié)果中隨機(jī)抽取n個(gè)觀察值組成的集合隨機(jī)過(guò)程按時(shí)間先后順序?qū)⒁欢〞r(shí)間段內(nèi)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果排列成的有序集合個(gè)體總體將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，則其全部可能的觀測(cè)值為總體將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，則其每一個(gè)觀測(cè)值為個(gè)體2、概念比較圖2-1 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果（一）基本概念1、總體、個(gè)體和樣本均可以用隨機(jī)變量來(lái)表示，總體表示為X，個(gè)體表示為Xi，而樣本表示為X1,X2,Xn。因此，可用隨機(jī)變量X的分布函數(shù)和數(shù)字特征來(lái)研究總體和樣本。2、統(tǒng)計(jì)量和隨機(jī)過(guò)程均是隨機(jī)變量的函數(shù)。統(tǒng)計(jì)量是由隨機(jī)變量構(gòu)造的不含未知參數(shù)的函數(shù)，可表示為Y=f(X1,X2,Xn)。 小 結(jié)（一）基本概念 小 結(jié)3、樣本來(lái)源于總體，樣本與總體具

5、有相似的分布函數(shù)和數(shù)字特征?？傮w一般是未知的，因此，可用樣本的已知信息來(lái)推斷總體。4、統(tǒng)計(jì)量是樣本信息的集中表現(xiàn)，因此，可用統(tǒng)計(jì)量的特征來(lái)反映總體的信息。（一）基本概念例：將一枚硬幣拋擲三次，求：1、觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況隨機(jī)試驗(yàn)2、第一次出現(xiàn)H的情況隨機(jī)事件3、觀察出現(xiàn)正面H的次數(shù)隨機(jī)變量X4、若正面H用“1”表示，而反面T用“0”表示，則三次拋擲硬幣出現(xiàn)的情況總體，隨機(jī)變量5、第一次出現(xiàn)正面的情況樣本6、第一次出現(xiàn)正面的期望統(tǒng)計(jì)量7、依次將三次拋擲硬幣結(jié)果的排序隨機(jī)過(guò)程（一）基本概念3、事件及其運(yùn)算運(yùn)算法則（一）基本概念3、事件及其運(yùn)算文氏圖SBASBASBASBASAS BA圖2-

6、2 事件運(yùn)算的文氏圖（一）基本概念4、概率及其運(yùn)算概率 在隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A發(fā)生可能性的相對(duì)確定性的測(cè)度。運(yùn)算法則（1）非負(fù)性 0P(A)1對(duì)所有事件A成立；P(A)=0表明事件A不會(huì)發(fā)生；P(A)=1表明事件A必定發(fā)生；（2）有限可加性 若A1，A2，An為兩兩互不相容的事件，則：P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2)+P(An) （一）基本概念（3）逆事件的概率（4）加法公式 對(duì)于任意兩事件A，B有P(AB)=P(A)+ P(B)- P(AB)（5）減法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A)。若A是B的子事件，則P(B-A)=P(B)-P(A)；P(

7、A)P(B)。運(yùn)算法則4、概率及其運(yùn)算（二）隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ( ) 知識(shí)體系1、期望隨機(jī)變量取值的集中趨勢(shì)2、方差隨機(jī)變量相對(duì)其均值的偏離程度3、協(xié)方差兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系4、相關(guān)系數(shù)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系表2-1 隨機(jī)變量的性質(zhì)（二）隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、期望隨機(jī)變量取值的集中趨勢(shì)（1）E(c)=c，c為常數(shù)。（2）若a、b為常數(shù)，則E(aX+b)=aE(X)+b（3）若X、Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則： E(XY)=E(X)E(Y)（4）若g(x)和f(x)分別為X的兩個(gè)函數(shù)，則 ： Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)（5）若X、Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則： E(XY)=E(X

8、) E(Y)（二）隨機(jī)變量的數(shù)字特征2、方差隨機(jī)變量相對(duì)其均值的偏離程度（1）Var(c)=0，c為常數(shù)；Var(c+X)=Var(X)；（2）Var(cX)=c2Var(X) ；Var(a+bX)=b2Var(X)；（3）若X，Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則： Var(XY)=Var(X)Var(Y)； Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y) ，a，b為常數(shù)；（4）Var(X)=E(X2)-(EX)2；E (X-E(X)=0（5）X，Y為隨機(jī)變量，則Var(XY)=Var(X)Var(Y) 2Cov(X,Y)（二）隨機(jī)變量的數(shù)字特征3、協(xié)方差兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系（1）Cov(

9、X,Y)=EXY-EXEY，推論： Var(XY)=Var(X) +Var(Y)2Cov(X,Y) ；（2）Cov(X,Y)= Cov(Y,X)；（3）Cov(aX,bY)= abCov(X,Y)，a,b為常數(shù)（4）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)（二）隨機(jī)變量的數(shù)字特征4、相關(guān)系數(shù)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系（三）抽樣分布的數(shù)字特征 知識(shí)體系1、樣本k階原點(diǎn)矩樣本取值的集中趨勢(shì)2、樣本均值樣本取值的集中趨勢(shì)3、樣本k階中心矩樣本取值偏離其均值的程度4、樣本方差樣本取值偏離其均值的程度5、樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本取值偏離其均值的程度6、樣本相關(guān)系數(shù)兩個(gè)樣本間的線性相關(guān)程度（

10、三）抽樣分布的數(shù)字特征1、樣本k階原點(diǎn)矩2、樣本均值( )3、樣本k階中心矩4、樣本方差( )5、 樣本標(biāo)準(zhǔn)差（三）抽樣分布的數(shù)字特征6、 樣本相關(guān)系數(shù)( )7、 重要公式( )（四）隨機(jī)變量的分布( ) 知識(shí)體系1、正態(tài)分布2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布3、T分布4、5、F分布6、分位點(diǎn)7、抽樣分布定理表2-2 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1、正態(tài)分布（四）隨機(jī)變量的分布若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則稱(chēng)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)，的正態(tài)分布， 0，是任意實(shí)數(shù)，記為 若XN(，2)，則2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（四）隨機(jī)變量的分布若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則稱(chēng)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)（0，1）的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 。 若XN(0，

11、1)，則（四）隨機(jī)變量的分布x0 x-x圖2-3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)（四）隨機(jī)變量的分布2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布變量期望的標(biāo)準(zhǔn)化若總體XN(,2)， X1,X2,Xn 為取自總體X的樣本，則 證： XN(,2)， 樣本X1,X2,Xn取自總體X 為正態(tài)分布變量的線性函數(shù)（四）隨機(jī)變量的分布3、 n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的平方和若X1,X2,Xn是來(lái)自總體N(0,1)的樣本，則：4、T分布一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量與一個(gè)消去自由度的 分布變量開(kāi)方的比值若隨機(jī)變量XN(0,1) ，隨機(jī)變量 ，且它們相互獨(dú)立，則（四）隨機(jī)變量的分布 5、F分布兩個(gè)消去自由度的 分布變量的比值。若兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 ，則

12、，而 。 正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布F分布 分布T分布圖2-4 隨機(jī)變量分布之間的關(guān)系（四）隨機(jī)變量的分布6、分位點(diǎn)0 z圖2-5 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)（1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位點(diǎn) 1- z0（四）隨機(jī)變量的分布6、分位點(diǎn)圖2-6 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的單側(cè)分位點(diǎn)（1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布單側(cè)分位點(diǎn)（四）隨機(jī)變量的分布6、分位點(diǎn)（2） 雙側(cè)分位點(diǎn)圖2-7 的雙側(cè)分位點(diǎn)xf(x)/2/21-1-/20（四）隨機(jī)變量的分布xf(x)06、分位點(diǎn)（2） 單側(cè)分位點(diǎn)圖2-8 的單側(cè)分位點(diǎn)6、分位點(diǎn)（3） T分布的雙側(cè)分位點(diǎn)（四）隨機(jī)變量的分布圖2-9 T分布的雙側(cè)分位點(diǎn)xf(x)/2/21-0（四）隨機(jī)變量的分布圖2-

13、10 T分布的單側(cè)分位點(diǎn)6、分位點(diǎn)（3） T分布的單側(cè)分位點(diǎn)xf(x)0（四）隨機(jī)變量的分布6、分位點(diǎn)（4） F分布的雙側(cè)分位點(diǎn)圖2-11 F分布的雙側(cè)分位點(diǎn)xf(x)/2/201-（四）隨機(jī)變量的分布6、分位點(diǎn)（4） F分布的單側(cè)分位點(diǎn)xf(x)0圖2-12 F分布的單側(cè)分位點(diǎn)表2-3 隨機(jī)變量分布的比較（四）隨機(jī)變量的分布7、抽樣分布定理（1） 正態(tài)分布變量的線性組合仍是正態(tài)分布 （2） 分布變量相加仍是 分布若隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且 ， 則：（四）隨機(jī)變量的分布（3）單個(gè)正態(tài)總體的樣本均值和方差7、抽樣分布定理（四）隨機(jī)變量的分布（4）兩個(gè)正態(tài)總體的樣本均值和方差7、抽樣分

14、布定理（四）隨機(jī)變量的分布（4）兩個(gè)正態(tài)總體的樣本均值和方差7、抽樣分布定理二、數(shù)理統(tǒng)計(jì) 知識(shí)體系（一）參數(shù)估計(jì)通過(guò)樣本，估計(jì)總體信息（二）假設(shè)檢驗(yàn)通過(guò)樣本，檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性（三）隨機(jī)過(guò)程時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)圖2-13 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究思路統(tǒng)計(jì)量總體隨機(jī)樣本樣本觀察值樣本的特性統(tǒng)計(jì)量分布選擇個(gè)體 觀測(cè)樣本 數(shù)據(jù)處理 構(gòu)造 分析 推斷 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思路（一）參數(shù)估計(jì)（ ） 知識(shí)體系1、點(diǎn)估計(jì)用某一數(shù)值作為參數(shù)的近似值2、區(qū)間估計(jì)在要求的精度范圍內(nèi)指出參數(shù) 可能的取值范圍 （一）參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)法區(qū)間估計(jì)對(duì)總體均值的估計(jì)極大似然估計(jì)法對(duì)總體方差的估計(jì)圖2-14 參數(shù)估計(jì)的方法（一）參數(shù)估計(jì)

15、點(diǎn)估計(jì)的基本思想（一）參數(shù)估計(jì)（1）矩估計(jì)1、點(diǎn)估計(jì) 基本思想 根據(jù)大數(shù)定律，樣本矩依概率收斂于相應(yīng)的總體矩，而樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于總體矩的連續(xù)函數(shù)。通常以樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)，以樣本方差作為總體方差的點(diǎn)估計(jì)。（一）參數(shù)估計(jì)（2）最大似然估計(jì)1、點(diǎn)估計(jì) 基本思想（一）參數(shù)估計(jì)（2）最大似然估計(jì)1、點(diǎn)估計(jì)（一）參數(shù)估計(jì)（2）最大似然估計(jì)1、點(diǎn)估計(jì) 求解步驟（一）參數(shù)估計(jì)1、點(diǎn)估計(jì)（3）點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)表2-4 點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性舉例（一）參數(shù)估計(jì)2、區(qū)間估計(jì) 基本思想（一）參數(shù)估計(jì) 求解步驟2、區(qū)間估計(jì)（一）參數(shù)估計(jì)2、區(qū)間估計(jì)圖2-15 正態(tài)總體區(qū)間估計(jì)的分類(lèi)區(qū)間估計(jì)期

16、望 的估計(jì)方差未知( )方差 的估計(jì)期望未知( )方差已知( )期望已知( )2、區(qū)間估計(jì)（一）參數(shù)估計(jì)表2-5 正態(tài)總體期望的估計(jì)（一）參數(shù)估計(jì)2、區(qū)間估計(jì)表2-6 正態(tài)總體方差的估計(jì)（二）假設(shè)檢驗(yàn)（ ） 知識(shí)體系1、Z檢驗(yàn)單正態(tài)總體期望的檢驗(yàn)2、T檢驗(yàn)單正態(tài)總體期望的檢驗(yàn)3、 單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)4、F檢驗(yàn)雙正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)5、P值檢驗(yàn)Z、T、 、F等檢驗(yàn)的逆過(guò)程（二）假設(shè)檢驗(yàn) 小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不可能發(fā)生 先對(duì)總體分布函數(shù)的形式或其參數(shù)做出某種假設(shè)，然后在假設(shè)成立的條件下，尋找一個(gè)概率發(fā)生很小的事件。 若該小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，則應(yīng)拒絕原假設(shè)，選擇備擇假設(shè)，否則，應(yīng)接受原假

17、設(shè)。 小概率事件原理（二）假設(shè)檢驗(yàn) 檢驗(yàn)步驟第一步：分析問(wèn)題，提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1；第二步：確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并在H0成立下求出它 的分布；第三步：構(gòu)造小概率事件，即給定顯著性水平 ， 在H0成立下確定拒絕域和臨界值。第四步：由樣本值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量，若該值落入拒 絕域，則拒絕H0，選擇H1，否則接受H0。（二）假設(shè)檢驗(yàn) z0 接受域 拒絕域 拒絕域接受域 顯著性水平小概率 拒絕域 圖2-16 Z檢驗(yàn)的拒絕域表2-7 單正態(tài)總體期望的檢驗(yàn)表2-8 單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)表2-9 雙正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)（二）假設(shè)檢驗(yàn)P (Probability)值檢驗(yàn) P 值即概率，反映某一事件發(fā)生的可能性大小。

18、一般以P 0.05 為顯著， P 0.01 為非常顯著，其含義是樣本間的差異碰巧由抽樣誤差所致的概率小于0.05 或0.01。實(shí)際上，P 值不能賦予數(shù)據(jù)任何重要性，只能說(shuō)明某事件發(fā)生的概率。表2-10 P值檢驗(yàn)（二）假設(shè)檢驗(yàn) z0 接受域 拒絕域 拒絕域圖2-17 Z檢驗(yàn)和P值檢驗(yàn)的比較表2-11 P值檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)意義（三）隨機(jī)過(guò)程 知識(shí)體系1、隨機(jī)過(guò)程的含義2、隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)3、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征4、隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性（三）隨機(jī)過(guò)程1、隨機(jī)過(guò)程的含義 （1）含義： 隨機(jī)變量族 ，其中T是給定的實(shí)數(shù)集， 是對(duì)應(yīng)每個(gè) 的隨機(jī)變量。 （2）本質(zhì)： 是一系列具有順序性和內(nèi)在聯(lián)系的隨機(jī)變量的集合，是隨機(jī)現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。（三）隨機(jī)過(guò)程2、隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)（1）一維分布函數(shù)族 本質(zhì)：刻畫(huà)了隨機(jī)變量在各個(gè)個(gè)別時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。（三）隨機(jī)過(guò)程2、隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)（1）n維分布函數(shù)族 本質(zhì)：不僅刻畫(huà)了每個(gè)隨機(jī)變量 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，也刻畫(huà)了各個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系，從而完整地描述了隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。表2-12 隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)變量的關(guān)系SS（三）隨機(jī)過(guò)程圖2-18 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的幾何意義（三）隨機(jī)過(guò)程3、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征表2-13