概率論期末復習總

1、總復習題型：一、選擇 5個 10分二、填空題： 10個 20分三、全概率貝葉斯公式 10分四、一維連續(xù)性隨機變量分布函數(shù)、區(qū)間上的概率。10分五、二維連續(xù)性隨機變量邊緣密度，獨立性，區(qū)域上的概率， 分布函數(shù)。 10分六、隨機向量函數(shù)的期望，方差，隨機向量的相關系數(shù)矩陣， 協(xié)方差矩陣，隨機向量函數(shù)的協(xié)方差矩陣，相關系數(shù)矩陣 10分七：中心極限定理 10分八、極大似然估計 、區(qū)間估計 10分九、假設檢驗 10分九：假設檢驗1.方差已知,關于期望的假設檢驗2.方差未知,關于期望的假設檢驗3.期望未知,關于總體方差的假設檢驗6.2節(jié)1.方差已知,對正態(tài)總體期望的檢驗步驟(1) 提出待檢假設H0:= 0

2、 (0已知);(2) 構造檢驗統(tǒng)計量.(3) 根據(jù)檢驗水平a, 查表確定臨界值ua/2 , 使 P(|U|ua/2)=a, 從而得到拒絕域|U|ua/2 ；(4) 根據(jù)樣本觀察值計算統(tǒng)計量U的值u并與臨界值ua/2比較；(5) 若|u|ua/2則否定H0, 否則接收H0 。U檢驗法 例、 根據(jù)長期經驗和資料的分析, 某磚瓦廠生產磚的“抗斷強度”X服從正態(tài)分布, 方差2=1.21. 從該廠產品中隨機抽取6塊, 測得抗斷強度如下(單位: kg/cm2): 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03;檢驗這批磚的平均抗斷強度為32.50kg/cm2 是否成立(a

3、=0.05)?例題和解答拒絕原假設！2.方差未知,對正態(tài)總體期望的檢驗步驟(1) 提出待檢假設H0:= 0 (0已知);(2) 構造檢驗統(tǒng)計量.(3) 根據(jù)檢驗水平a, 查表確定臨界值ta (n-1), 使 P(|T|ta/2 (n-1) )=a, 從而得到拒絕域|T|ta/2 (n-1) ；(4) 根據(jù)樣本觀察值計算統(tǒng)計量T的值并與臨界值 ta/2 (n-1)比較；(5) 若|T|ta/2 (n-1),則否定H0, 否則接收H0 。T檢驗法例、 從1975年的新生兒(女)中隨機地抽取20個, 測得其平均體重為3160克, 樣本標準差為300克. 而根據(jù)過去統(tǒng)計資料, 新生兒(女)平均本重為3

4、140克. 問現(xiàn)在與過去的新生兒(女)體重有無顯著差異(假設新生兒體重服從正態(tài)分布)?(a=0.01)例題和解答故，接受原假設：體重無差異。3. 總體期望未知,對正態(tài)總體方差的檢驗步驟(1) 提出待檢假設(2) 構造檢驗統(tǒng)計量.2檢驗法(3) 根據(jù)檢驗水平a, 查表確定臨界值Xf(x)/2例、 某煉鐵廠的鐵水含碳量x在正常情況下服從正態(tài)分布. 現(xiàn)對操作工藝進行了改進, 從中抽取5爐鐵水測得含碳量數(shù)據(jù)如下:4.412, 4.052, 4.357, 4.287, 4.683據(jù)此是否可以認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082(a=0.05). 即不能認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.

5、1082.例題和解答最大似然估計的主要步驟 設總體X的分布為 f(x;1, 2,m),其中1, 2,m是待估參數(shù).11（1）寫出似然函數(shù)（2）寫出對數(shù)似然函數(shù)(對似然函數(shù)求導)（3）寫出似然方程（4）求解似然方程并寫出估計量八：參數(shù)估計5.1節(jié)例 Xe(),即求的極大似然估計值(MLE).例題和解答計算題所以的最大似然估計量為例題和解答2. 原理（矩估計替換原理）: 用樣本矩去替換相應的總體矩, 或用樣本矩的函數(shù)去替換總體矩的函數(shù).實質：用樣本的經驗分布函數(shù)近似總體分布函數(shù).3. 定義（矩估計, 矩法估計）: 設總體 X 的分布函數(shù) 的函數(shù)類型已知, 為待估未知參數(shù), 若未知參數(shù) 可表示為總體

6、矩的函數(shù), 利用替換原理, 將表達式中的總體矩替換為相應的樣本矩, 這樣得到的統(tǒng)計量稱為 的矩估計.解:第二步, 用相應的樣本矩替換總體矩 (2) 根據(jù)樣本觀測值, 計算得 代入上式得例2: 設總體 , 其中 為未知參數(shù), 是來自總體X 的簡單隨機樣本, (1) 求 和 的矩估計; (2) 若樣本觀測值為 4.5, 5.0, 4.7, 4.0, 4.2,求和 的矩估計.(1) 第一步, 將 表示為總體矩的函數(shù). 由于 易知，并設 為來自總體的 樣本 ,分別為樣本均值和樣本方差 .均值 的置信區(qū)間為已知或正態(tài)總體的區(qū)間估計5.3節(jié) 例1 . 設總體XN(,0.92),X1, X2,X9為來自總體

7、的簡單隨機樣 本,樣本均值為5,求的置信度為95%的置信區(qū)間.解：由題意得1.96,所以所求置信區(qū)間為例題和解答 例2 假定初生嬰兒(男孩)的體重服從正態(tài)分布, 隨機抽取12名嬰兒, 測體重為3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540. 試以95%的置信度估計新生男嬰兒的平均體重(單位:克).18所以的95%置信區(qū)間為: 解 設新生男嬰兒體重為X克, 由于X服從正態(tài)分布, 方差2未知, 2.201,所以的95%置信區(qū)間為: 例3 、假定初生嬰兒(男孩)的體重服從正態(tài)分布, 隨機抽取12名嬰兒, 測

8、體重為3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540. 對嬰兒體重的方差進行區(qū)間估計(a=0.05)。 解:s2的置信區(qū)間公式為因此得s2的95%置信區(qū)間為21.9203.816七：中心極限定理3.4節(jié)例題講解例1、用機器包裝味精,每袋味精凈重為隨機變量,期望值為100克,標準差為10克,一箱內裝200袋味精,求一箱味精凈重大于20500克的概率?解:設一箱味精凈重為X,箱中第i袋味精凈重為Xi(i=1,2,200)則 X1,X2,X200獨立同分布, EXi=100, DXi=102=100, n=

9、200 由中心極限定理得:P(X20500)=1-P(X20500)=1-F(20500)=0.0002故 一箱味精凈重大于20500的概率為0.0002.計算題棣莫佛-拉普拉斯定理(最早的中心極限定理)推論:特別，若X（n，p）,則當n充分大時，（np，npq）即若隨機變量(n，p),則對任意實數(shù)x有正太分布是二項分布的極限分布。例題講解例3、 設電站供電所有10000盞電燈, 夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7, 而假定開關時間彼此獨立, 估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率. 解 開著的燈數(shù)XB(10000,0.7)（np，npq）六、協(xié)差矩陣D(XY)=DX+DY2cov

10、(X,Y) 例、已知隨機向量(X,Y)的協(xié)差矩陣試求(X+Y,X-Y)的協(xié)差矩陣V.解：3.2節(jié)五、邊緣密度、獨立性、概率計算 3.1節(jié)例：設隨機向量(X,Y)的概率密度函數(shù)(1)求X，Y的邊緣分布；（2）判斷X，Y是否相互獨立；（3）求概率(3)要求畫出密度函數(shù)不為0的積分區(qū)域的圖形四、連續(xù)型隨機變量的綜合題（2.1-2.2-2.3節(jié)）例：設隨機變量X的概率密度函數(shù)為求：(1)常數(shù)k；（2）EX；(3)P1X3；（4）X的分布函數(shù)F(x)29連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布1、求連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的“分布函數(shù)法” 若Xf(x), -x+, Y=g(X)為隨機變量X的函數(shù),則先將事件“Y在范圍Yy

11、取值”，通過從g(X) y中求解出X, 從而得到與g(X) y等價的X的不等式”, 然后求Y的分布函數(shù) FY(y) PYyPg(X) y最后再求Y的密度函數(shù)這種方法就是所謂的“分布函數(shù)法”2 “公式法” 若XfX(x), y=g(x)是單調可導函數(shù)且導數(shù)恒不為零.記x=h(y)為yg(x)的反函數(shù), (a,b)是yg(x)的值域, 其中-ab+, Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量,其密度為 注意：1 只有當g(x)是x的單調可導函數(shù)時，才可用以上公式 推求Y的密度函數(shù)。2 注意定義域的選擇例5. “公式法”y=g(x)單調可導例5. “公式法”y=g(x)單調可導三、全概率公式和貝葉斯公式 （1.4）節(jié)