新北師大版九年級上冊初中數(shù)學(xué) 2.2.2配方法 教案

1、精品文檔 精心整理精品文檔 可編輯的精品文檔第二章 一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程2.2.1直接開平方法1.會(huì)用配方法求解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程.2.了解用配方法解一元二次方程的基本步驟. 用配方法求解一元二次方程.理解配方法.1.什么叫配方法?2.怎樣配方?方程兩邊都加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.3.解方程:(1)x2+4x+3=0;(2)x2-4x+2=0.教師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及有關(guān)概念,現(xiàn)在同學(xué)們來討論一下你能解哪些一元二次方程?學(xué)生甲:等式x2=4就是一元二次方程,像這樣類型的方程我們就能解.學(xué)生乙:方程(x+3)2=9,我們也可以解,即是要求x+3,使

2、它的平方等于9,而9的平方根是3和-3,所以x+3=3或x+3=-3,因此x=0或x=-6.教師:乙同學(xué)分析得很好,大家聽清楚了沒有?好,下面大家看大屏幕.出示投影片2.2.1B你會(huì)解下列一元二次方程嗎?你是怎么做的?(1)x2=5;(2)3x2=0;(3)x2-4=0;(4)2x2-50=0;(5)(x+2)2=5;(6)(x-3)2=6;(7)2x2+50=0.學(xué)生甲:方程(1)的根為5,-5,因?yàn)閤是5的平方根.方程(2)的根為0,因?yàn)榉匠?x2=0可以化為x2=0,即x是0的平方根.學(xué)生乙:方程(3)可以通過移項(xiàng)化為方程(1)的形式,即x2=4,所以方程(3)的根為2,-2.方程(4)

3、也可以通過移項(xiàng)化為方程(2)的形式,即2x2=50,然后再化為x2=25,因此方程(4)的根為5,-5.學(xué)生丙:解方程(5)和(6)時(shí),只要把x+2和x-3當(dāng)作整體看待,其形式就如方程(1),這樣方程(5)和(6)即可求解.方程(5)就是求x+2,使它的平方為5,則x+2=5或-5,因此,x等于-2+5或-2-5.方程(6)就是求x-3,使它的平方為6,則x-3=6或-6,因此,x等于3+6或3-6.學(xué)生丁:方程(7)通過移項(xiàng)得2x2=-50.而由平方根的性質(zhì)可知負(fù)數(shù)沒有平方根,所以沒有一個(gè)實(shí)數(shù)適合這個(gè)方程.教師:同學(xué)們分析得真棒,大家利用平方根的定義求解了一類一元二次方程,這種解一元二次方程

4、的方法叫作直接開平方法.其中適合方程(7)的實(shí)數(shù)x不存在,所以原方程無實(shí)數(shù)根.從剛才的解題過程中,我們知道了一元二次方程如果有根,那么它有兩個(gè)根,這兩個(gè)根可以是相等的,如方程(2),也可以是不相等的,如方程(1)(3)(4)(5)(6),所以我們在書寫時(shí),通常用x1,x2表示關(guān)于未知數(shù)為x的一元二次方程的兩個(gè)根.注意:(1)方程3x2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即x1=0,x2=0.這與一元一次方程3x=0有一個(gè)根x=0是有區(qū)別的.(2)剛才我們解的一元二次方程,可用ax2+c=0(a0)的形式來表示.當(dāng)a,c異號(hào)時(shí),方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)a,c同號(hào)時(shí),ax2+c=0沒有實(shí)數(shù)根

5、.好,接下來同學(xué)們看大屏幕.出示投影片2.2.1C判斷下列方程能否用直接開平方法來求解?如何解?(1)x2-4x+4=2;(2)x2+12x+36=5.(分組討論)學(xué)生甲:方程(1)能用直接開平方法來求解.因?yàn)榉匠?1)的左邊正好是一個(gè)完全平方式,右邊是一個(gè)正數(shù),所以它可以化為(x-2)2=2.這樣利用直接開平方法可求得x-2=2,即x1=2+2,x2=2-2.學(xué)生乙:方程(2)也能用直接開平方法來求解,方法同解方程(1),即原方程化為(x+6)2=5.兩邊開平方,得x+6=5,即x1=-6+5,x2=-6-5.教師:很好,同學(xué)們基本了解了解一元二次方程的基本思路,誰來給大家敘述一下呢?學(xué)生丙

6、:解一元二次方程的基本思路是把原方程化為(x+m)2=n(n0),然后兩邊開平方,這樣原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.教師:真棒,實(shí)際上解一元二次方程的關(guān)鍵是要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程,即將原方程“降次”,“降次”也是一種數(shù)學(xué)思想.下面我們來看能否求出方程x2+12x-15=0的精確值,同學(xué)們先來想一想.出示投影片2.2.1D解方程x2+12x-15=0的困難在哪里?你能將方程x2+12x-15=0轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n的形式嗎?學(xué)生:解方程x2+12x-15=0的困難就是怎么樣能把x2+12x-15=0的左邊變成一個(gè)完全平方式,右邊變成一個(gè)常數(shù).教師:噢,那同學(xué)們想一想完全平方式的特征是什

7、么?學(xué)生:完全平方公式是a22ab+b2=(ab)2.教師:好,下面大家來做一做.出示投影片2.2.1E填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使下列等式成立.(1)x2+10 x+=(x+5)2;(2)x2-8x+=(x-)2;(3)x2+8x+=(x+)2.學(xué)生甲:(1)的左邊應(yīng)填25.(2)的左邊應(yīng)填16,右邊應(yīng)填4.(3)的左邊應(yīng)填16,右邊應(yīng)填4.學(xué)生乙:老師,我看出來了,這三個(gè)等式的左邊填的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,而右邊填的是一次項(xiàng)系數(shù)的一半.是嗎?教師:大家說呢?學(xué)生:是.教師:好,我們理解了完全平方式的特征后,把方程x2+12x-15=0轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n的形式.師生共析:x2+12x-15=0

8、,可以先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,得x2+12x=15.兩邊都加62(一次項(xiàng)系數(shù)12的一半的平方),得x2+12x+62=15+62,即(x+6)2=51.教師:接下來能否求出方程x2+12x-15=0的精確值,即梯子底端滑動(dòng)的距離呢?學(xué)生:能,給方程兩邊開平方,得x+6=51,即x+6=51或x+6=-51.所以x1=-6+51,x2=-6-51.教師:噢,所以梯子底端滑動(dòng)了(-6+51)m或(-6-51)m.學(xué)生:老師,梯子底端滑動(dòng)的距離是正數(shù),不能是負(fù)數(shù),所以x1是原問題的解,而x2不是.教師:大家說,對嗎?學(xué)生:對.教師:很好,x1,x2是方程x2+12x-15=0的根,但x2不是原問題

9、的解,所以應(yīng)舍去.我們通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-15=0的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法.例2解方程:3x2+8x-3=0.師生共析:將二次項(xiàng)系數(shù)化為1后,用配方法解此方程.解:兩邊都除以3,得x2+83x-1=0.配方,得x2+83x+432-432-1=0,即x+432-259=0.移項(xiàng),得x+432=259.兩邊開平方,得x+43=53,即x+43=53或x+43=-53.所以x1=13,x2=-3.從上面例題可以歸納總結(jié)出用配方法解一元二次方程的步驟:(1)把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.(2)配方,方程兩邊都加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.(3)移項(xiàng),方程的一邊為完全平方式,另一邊為常數(shù).(4)求根,用直接開平方法求出方程的根.做一做一個(gè)小球從地面以15 m/s的初速度豎直向上彈出,它在空中的高度h(m)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系:h=15t-5t2.小球何時(shí)能達(dá)到10 m高?學(xué)生:根據(jù)題意,得15t-5t2=10.把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得t2-3t=-2.配方,得t2-3t+-322=-2+-322=14,即t-322=14.所以t-32=12.所以t1=1,t2=2.所以在1 s時(shí)小球上升到10 m處;至最高點(diǎn)后下落,在2 s時(shí),小球的高度為10 m.【鞏固練習(xí)】教材隨堂練習(xí)補(bǔ)充練習(xí):用配方法解下列方程:(1)4x2-12x-1=0;(2