例談放縮法證明不等式的基本策略

1、.：.；例談“放縮法證明不等式的根本戰(zhàn)略江蘇省蘇州市木瀆第二高級中學(xué) 母建軍 215101近年來在高考解答題中，常浸透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，它可以調(diào)查學(xué)生邏輯思想才干以及分析問題和處理問題的才干。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法證明不等式的頻率很高，它是思索不等關(guān)系的樸素思想和根本出發(fā)點(diǎn), 有極大的遷移性, 對它的運(yùn)用往往能表達(dá)出發(fā)明性?！胺趴s法它可以和很多知識內(nèi)容結(jié)合，對應(yīng)變才干有較高的要求。由于放縮必需有目的，而且要恰到益處，目的往往要從證明的結(jié)論調(diào)查，放縮時(shí)要留意適度，否那么就不能同向傳送。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮的根本戰(zhàn)略，期望對讀者能有

2、所協(xié)助 。1、添加或舍棄一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)例1、知求證：證明： 假設(shè)多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需求，有時(shí)需求舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或減少，利用不等式的傳送性，到達(dá)證明的目的。此題在放縮時(shí)就舍去了，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和或先求和再放縮例2、函數(shù)fx=，求證：f1+f2+fnn+.證明：由f(n)= =1-得f1+f2+fn.此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進(jìn)展放縮，從而對左邊可以進(jìn)展求和. 假設(shè)分子, 分母假好像時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ浚质降?/p>

3、放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，那么只需把分子放大或分母減少即可；如需減少，那么只需把分子減少或分母放大即可。3、先放縮，后裂項(xiàng)或先裂項(xiàng)再放縮例3、知an=n ，求證： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) eq f( eq r(k) , eq ao(2,k) ) 3證明： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) = eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) 1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(1, eq r(k1)k(k1) ) eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(2, eq r(k1)(k1) ( eq r(

4、k1) eq r(k1) ) =1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) ( eq f(1, eq r(k1) ) eq f(1, eq r(k1) ) ) =11 eq f(1, eq r(n1) ) 23此題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目的.4、放大或減少“因式；例4、知數(shù)列滿足求證：證明 此題經(jīng)過對因式放大，而得到一個(gè)容易求和的式子，最終得出證明.5、逐項(xiàng)放大或減少例5、設(shè)求證： 證明： ， 此題利用，對中每項(xiàng)都進(jìn)展了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，到達(dá)化簡的目的。6、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；例6、求證：證明：此題采用了從第三項(xiàng)開場拆項(xiàng)放縮的技

5、巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開場，須根據(jù)詳細(xì)題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒益處。7、利用根本不等式放縮例7、知，證明：不等式對任何正整數(shù)都成立.證明：要證，只需證 .由于 ，故只需證 ，即只需證 .由于，所以命題得證.此題經(jīng)過化簡整理之后，再利用根本不等式由放大即可.8、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮例8、.知i，m、n是正整數(shù)，且1imn.(1)證明：niAmiA；(2)證明：(1+m)n(1+n)m證明：(1)對于1im，且A =m(mi+1)，由于mn，對于整數(shù)k=1，2，i1，有，所以(2)由二項(xiàng)式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn，(

6、1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1imn ，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=mn，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.以上引見了用“放縮法證明不等式的幾種常用戰(zhàn)略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)還需求幾種方法融為一體。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)展放縮，可以化繁為簡、化難為易，到達(dá)事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，經(jīng)常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的景象。因此，運(yùn)用放縮法時(shí)，如何確定放縮目的尤為重要。要想正確確定放縮目的，就必需根據(jù)欲證結(jié)論，抓住標(biāo)題的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根