高中數(shù)學(xué)選修1-1配北師版-課后習(xí)題第二章　習(xí)題課-拋物線的綜合問題及應(yīng)用

1、第二章DIERZHANG圓錐曲線與方程習(xí)題課拋物線的綜合問題及應(yīng)用課后篇鞏固提升1.已知拋物線x2=2py(p0)的焦點為F,過F作傾斜角為30的直線,與拋物線交于A,B兩點,若|AF|BF|(0,1),則|AF|BF|=() A.15B.14C.13D.12答案C解析因為拋物線的焦點為0,p2,直線方程為y=33x+p2,與拋物線方程聯(lián)立得x2-233px-p2=0,解方程得xA=-33p,xB=3p,所以|AF|BF|=|xA|xB|=13.故選C.2.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同的點,拋物線的焦點為F,且|AF|,4,|BF|成等差數(shù)列,則k=()A.2或-1B

2、.-1C.2D.15答案C解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx-2,y2=8x,消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,故=16(k+2)2-16k2=64(1+k)0,解得k-1,且x1+x2=4(k+2)k2.由|AF|=x1+p2=x1+2,|BF|=x2+p2=x2+2,且|AF|,4,|BF|成等差數(shù)列,得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,所以4(k+2)k2=4,解得k=-1或k=2,又k-1,故k=2,故選C.3.已知橢圓x24+y23=1的右焦點F是拋物線y2=2px(p0)的焦點,則過F作傾斜角為的直線分別交拋物線于A,B(點A在x軸上方)兩點,若

3、|AF|BF|=3,則的值為()A.30B.120C.60D.60或120答案C解析依題意,F(1,0)是拋物線y2=2px(p0)的焦點,故p2=1,則p=2,y2=4x.根據(jù)已知條件如圖所示,A在x軸上方,傾斜角是銳角,分別過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A1,B1,過B作AA1的垂線,垂足為P,設(shè)|BF|=x,|AF|=3x,根據(jù)拋物線的定義知|BB1|=x,|AA1|=3x,所以在直角梯形AA1B1B中,|A1P|=x,|AP|=|AA1|-|A1P|=2x,|AB|=4x,又直線AB的傾斜角=AFx=BAP,故cos =cosBAP=|AP|AB|=2x4x=12,又是銳角,故=60.故

4、選C.4.平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是.答案(-,-1)(1,+)解析依題意可知,機(jī)器人行進(jìn)的軌跡方程為y2=4x.設(shè)斜率為k的直線方程為y=k(x+1),聯(lián)立y=k(x+1),y2=4x,消去y,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由=(2k2-4)2-4k41,解得k1.5.已知過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,|AF|=2,則|BF|=.答案2解析設(shè)點A,B的橫坐標(biāo)分別是x1,x2,則依題意有焦點F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,

5、直線AF的方程是x=1,此時弦AB為拋物線的通徑,故|BF|=|AF|=2.6.過點P(2,2)作拋物線y2=3x的弦AB,恰被P所平分,則AB所在的直線方程為.答案3x-4y+2=0解析方法一:設(shè)以P為中點的弦AB端點坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),則有y12=3x1,y22=3x2,x1+x2=4,y1+y2=4.-,得(y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2).將代入得y1-y2=34(x1-x2),即34=y1-y2x1-x2,k=34.所求弦AB所在直線方程為y-2=34(x-2),即3x-4y+2=0.方法二:設(shè)弦AB所在直線方程為y=k(x-2)+2.由y2=3x,

6、y=k(x-2)+2,消去x,得ky2-3y-6k+6=0,此方程的兩根就是線段端點A,B兩點的縱坐標(biāo),由韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式,得y1+y2=3k,又y1+y2=4,k=34.所求弦AB所在直線方程為3x-4y+2=0.7.已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點,點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的縱坐標(biāo)為.答案-4解析由于P,Q為拋物線x2=2y,即y=12x2上的點,且橫坐標(biāo)分別為4,-2,則P(4,8),Q(-2,2),從而在點P處的切線斜率k1=4.得曲線在點P處的切線方程為y-8=4(x-4);同理,曲線在點Q處的切線方程為y-2=-2(

7、x+2).將這兩個方程聯(lián)立,解得交點A的縱坐標(biāo)為-4.8.在|PF|=x0+1;y0=2x0=2這兩個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并對其求解.問題:已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點為F,點P(x0,y0)在拋物線C上,且.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l過拋物線C的焦點F,l與拋物線C相交于A,B兩點,且|AB|=8,求直線l的方程.解(1)若選擇條件,根據(jù)焦半徑公式可知|PF|=x0+p2=x0+1,解得p=2,所以拋物線的方程是y2=4x;若選擇條件y0=2x0=2,即P(1,2),代入拋物線方程,得22=2p1,解得p=2,所以拋物線方程是y2=4x.(2)拋物

8、線的焦點F(1,0),當(dāng)直線l的斜率不存在時,|AB|=2p=48,所以直線l的斜率存在,設(shè)直線l:y=k(x-1),與拋物線方程聯(lián)立y=k(x-1),y2=4x得k2(x-1)2=4x,化簡為k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,|AB|=x1+x2+p=2+4k2+2=8,解得k=1,所以直線l的方程是y=x-1或y=-x+1.9.如圖,設(shè)點A和B為拋物線y2=4px(p0)上原點以外的兩個動點,已知OAOB,OMAB.求點M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線.解點A,B在拋物線y2=4px上設(shè)AyA24p,yA,ByB24p,yB,OA,OB的斜率分別為kOA,kOB,所以kOA=4pyA,kOB=4pyB,由OAOB,得kOAkOB=16p2yAyB=-1,又點A在AB上,得直線AB方程為(yA+yB)(y-yA)=4px-yA24p,由OMAB,得直線OM方程為y=yA+yB-4px,設(shè)點M(x,y),則x,y滿足,兩式,將式兩邊同時乘以-x4p,并利用式,可得xyA