研究生數(shù)值分析(9)矩陣的條件數(shù)和病態(tài)線性方程組

1、 3 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)線性方程組 判斷計(jì)算方法的好壞，可用算法是否穩(wěn)定、解的精確程度以及計(jì)算量、存儲(chǔ)量的大小來衡量。然而，同一方法用于不同問題，效果卻可以相差很遠(yuǎn)。解為例如 方程組 方程組 的解為它們的解變化很大，這樣的方程組稱為“病態(tài)”方程組。 下面，我們給出方程組“病態(tài)”，“良態(tài)”概念及其衡量標(biāo)準(zhǔn)，并介紹判斷近似解可靠性方法。 為找出刻畫方程組AX=b （A非奇異，b0）病態(tài)程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)，我們來分析A，b初始數(shù)據(jù)微小變化對(duì)解X的影響。 由于方程組AX=b系數(shù)矩陣A與右端向量b的初始數(shù)據(jù)微小變化引起解的很大變化，這樣的方程組稱為“病態(tài)”方程組。1 矩陣的條件數(shù)與線性方程組的性態(tài)（1）僅b

2、有小擾動(dòng)b設(shè)方程組 AX=b+b 的解為即 -得 即 于是有另一方面，由得 且故 由與有 表明解的相對(duì)誤差不超過右端向量b的相對(duì)誤差的倍。（2）僅有小擾動(dòng)A（設(shè) A+ A 仍可逆）設(shè)方程組的解為即-得即于是有因A+A可逆且b0從而X+X0，故由上式可得倍。表明解的相對(duì)誤差不超過系數(shù)矩陣A的 分析表明，數(shù) 反映了方程組AX=b的解對(duì)初始數(shù)據(jù)A，b擾動(dòng)的靈敏度，可用來刻畫方程組的病態(tài)程度。我們稱數(shù) 為矩陣A的條件數(shù)，記作即與由線性代數(shù)知識(shí)，有 通常使用的條件數(shù)有在行模意義下的條件數(shù)與在譜模意義下的條件數(shù)，即定義 設(shè)A是非奇異矩陣，若則稱方程組AX=b為病態(tài)方程組；若相對(duì)地小，則稱方程組 AX=b 為比如矩陣及其逆矩陣良態(tài)方程組。在行模意義下的條件數(shù)因此稱方程組為病態(tài)方程組。 在實(shí)際計(jì)算中，常通過一些容易得到的信息來推斷方程組是否病態(tài)。例如，當(dāng)出現(xiàn)下列情況之一時(shí)，方程組很可能病態(tài)：（1）用選主元消去法消元中出現(xiàn)小主元；（2）系數(shù)行列式的絕對(duì)值相對(duì)地很小；（3）系數(shù)矩陣元素間在數(shù)量級(jí)上相差很大且無一定規(guī)律；（4）出現(xiàn)了相對(duì)地很大的解。 利用定義判斷一個(gè)方程組是否病態(tài)，需要計(jì)算矩陣的條件數(shù)，從而涉及計(jì)算逆矩陣，極不方便。 方程組的病態(tài)性質(zhì)，是方程組本身的特性。對(duì)于病態(tài)方程組，用一般