不定積分的計算

1、一、“湊”微分法例如：形式上“湊”成能由不定積分公式求出的積分!簡單替換例1.“湊”微分法:設法湊成積分公式帶回 x實質上是一種簡單換元積分法.例2.例3.例4.例5.二、換元積分法例6.Theorem :則證明：例7.解：例8.解：例9.解：例10.解：注：“湊”微分法與換元積分法比較“湊”微分法將函數(shù)替換為變量：換元積分法將變量替換為函數(shù)：注：對某些函數(shù)的不定積分，有時可用不同的方法、不同的 函數(shù)作變量替換，因之所得結果在形式上可能不相同. 例如：注：積分方法以“化繁為簡”為目的.三、分部積分法or作不定積分運算, 即得or稱之為 分部積分公式.注1. 不能直接求改寫轉化解：例11.例12

2、.解：例13.例14. 求解：例15.解：聯(lián)立, 解之得：注2. 類似的, 下列函數(shù)的不定積分?？捎梅植糠e分法可得.注3. 使用分部積分法，有時須連續(xù)使用若干次；有時使用若 干次之后，常會重新出現(xiàn)原來所求的那個積分，從而成 為求積分的方程式，解之可得所求積分；有時應特別注 意如下情形： 將不定積分視為一個數(shù)進行運算是錯誤的, 不定積分是原函數(shù)的集合. 此時,使用分部積分公式還可得到一些有用的遞推公式, 例如： 初等函數(shù)的導數(shù)仍是初等函數(shù), 但求不定積分卻不那么簡單, 有些不定積分不能用初等函數(shù)來表示, 如是非初等函數(shù), 即初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù).（多項式）四、有理函數(shù)積分法1. 代數(shù)

3、的預備知識 設P(x)與Q(x)都是多項式, 則有理函數(shù)的一般形式是例如：根據(jù)代數(shù)分項分式定理, 有方法一：將()式右端通分，得方法二：使用“賦值法”簡化對待定系數(shù)的求解.例16.解：比較兩端分子的同次冪系數(shù), 得例16.解：2. 有理函數(shù)的不定積分In fact,（分部積分法）注2. 有理函數(shù)總存在初等函數(shù)的原函數(shù).注1. 例16.解：例17. 求 解：例18. 求 解：五、其他類型的不定積分（一）簡單無理函數(shù)的不定積分原則：簡單無理函數(shù)變量替換有理函數(shù)符號 R (u, v) 表示以 u 和 v 為變量的有理函數(shù).積分有理化有理化求解.例1.解：例2.解：例3.解：例4. 解：分以下情況考慮

4、：此積分形式同：或例5.解：此積分形式同：或例6.解：（二）三角函數(shù)的不定積分就有 這樣就把積分有理化了. 從而三角函數(shù) R(sinx,cosx) 存在初等函數(shù)的原函數(shù).例7.解：例8.解：關于 R(sinx,cosx) 具有某種性質時的一些特殊變量替換： 例9.解：例10.解：例11.解：例12.解：a) 含有 sin2x 或 cos2x 的奇次冪，此時可由(1)求之；將被積函數(shù)化簡, 其結果：b) 含有sin2x 或 cos2x 的偶次冪，用上述三角公式化簡, 化成含 sin4x 與 cos4x 的函數(shù)，依次類推.例13.解：解：利用三角函數(shù)的積化和差公式可解.例14.解：三角有理式的定義

5、： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構成的函數(shù)稱之一般記為1、三角函數(shù)有理式的積分五、其它形式的不定積分令（萬能置換公式）例7 求積分解由萬能置換公式例8 求積分解（一）解（二）修改萬能置換公式,令解（三）可以不用萬能置換公式.結論比較以上三種解法, 便知萬能置換不一定是最佳方法, 故三角有理式的計算中先考慮其它手段, 不得已才用萬能置換.例9 求積分解討論類型解決方法作代換去掉根號.例10 求積分解 令2. 簡單無理函數(shù)的積分例11 求積分解 令說明無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例12 求積分解先對分母進行有理化原式六、小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根

6、式代換基本積分表(2)合理選擇 ，正確使用分部積分公式tKp+2&9atrDpkUnrt!h-Dt2$vax#YWjMzcf3a+2RF0zAA(n6OImi$PcR#1NlpkFN6hILZLD)rk8ovZ5DSadp6!i-iIHTIOEPP6q6U0j85OB3Zvqbox4LW1ZXzq+%KRQ9BslTpF)4tC-i*BFHcV0pqGCSUas3LRK+i$qbPA0L)plkRc1SXQ%X)TPj!2dWpl6f8ckgANkY$-IpQjB0iXh2R$2OtPbi)*LFaZbAsiFWv%Nh3EgDyAz-AHXMPxxipnM(N5VxCxQT68ofeTsBJ

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