解三角形 角度、高度問題

1、第2課時(shí)角度、高度問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)1準(zhǔn)確理解實(shí)際測(cè)量中常用的仰角、俯角、方向角等概念2掌握測(cè)量高度的常見方法.3能把方向角等角度條件轉(zhuǎn)化為解三角形的條件，解決航海等角度問題預(yù)習(xí)新知夯奕富礎(chǔ)問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一測(cè)量仰角（或俯角）求高度問題思考如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，如果能測(cè)出點(diǎn)C，D間的距離m和由C點(diǎn)，D點(diǎn)觀察A的仰角，怎樣求建筑物高度AB？（已知測(cè)角儀器的高是h)答案解題思路是：在AACD中ACmsinBsin(a).所以AC=msinBsin(a)在RtAAEC中,AE=ACsina，AB=AE+h.梳理問題的本質(zhì)如圖，已知ZAEC為直角,CD二m,用a，B,m

2、表示AE的長(zhǎng)，所得結(jié)果再加上h./I知識(shí)點(diǎn)二測(cè)量方向角求高度思考如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在北偏西75的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在北偏西65的方向上，仰角為8。，怎樣求此山的高度CD?5sin15答案再在RtADBC中求DC=BCtan8.先在ABC中，用正弦定理求BC=sin10梳理問題本質(zhì)如圖，已知三棱錐D-ABC,DC丄平面ABC,AB二m,用a,B,m,y表示DC的長(zhǎng).思考辨折判斷正逞1在方向角中，始邊一定是南或北，旋轉(zhuǎn)方向一定是順時(shí)針.(X)2在仰角或俯角中，視線與水平線的關(guān)系實(shí)質(zhì)是斜線與斜線在水平面內(nèi)的射影(V)題型

3、探究類型一測(cè)量仰角(或俯角)求高度問題例1如圖所示，D,C,B在地平面同一直線上，DC=10m,從D,C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30和45，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A.10mB.53mC.5(V31)mD.5(V3+1)m考點(diǎn)解三角形求高度題點(diǎn)測(cè)量俯角(仰角)求高度答案D解析方法一設(shè)AB=xm,則BC=xm.BD二(10+x)m.0tanZADBAB=DBx310+x3解得x_5（、洛+1）m.A點(diǎn)離地面的高AB等于5（屈+1）m.方法二TZACB_45,AZACD_135,:.ACAD_180-135-30_15.由正弦定理，得AC_CDsinZCADsinZADC10sin15：sin

4、30206-2.*.AB_ACsin45_5（；3+1）m.反思與感悟(1)底部可到達(dá)，此類問題可直接構(gòu)造直角三角形.(2)底部不可到達(dá)，但仍在同一與地面垂直的平面內(nèi)，此類問題中兩次觀測(cè)點(diǎn)和所測(cè)垂線段的垂足在同一條直線上，觀測(cè)者一直向“目標(biāo)物”前進(jìn).跟蹤訓(xùn)練1某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為35,沿傾斜角為20的斜坡前進(jìn)1000m后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5，則山的高度為m.(精確到1m)答案811解析如圖，過點(diǎn)D作DEHAC交BC于E,因?yàn)閆DAC_20,所以ZADE_160,于是ZADB_360-160-65_135.又ZBAD_35-20_15，所以ZABD_30.在AABD中

5、，由正弦定理，得ADsinZADBAB_sinZABD1000Xsin135sin30_1000農(nóng)（m）.在RtAABC中，BC_ABsin35811（m）.答山的高度約為811m.類型二測(cè)量方向角求高度問題例2如圖所示，A,B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m,在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45,ZBAD=120。，又在B點(diǎn)測(cè)得ZABD=45。，其中D點(diǎn)是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.考點(diǎn)解三角形求高度題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求高度解由于CD丄平面ABD,ZCAD二45，所以CD二AD.因此只需在AABD中求出AD即可，在AABD中，ZBDA二180-45-120二15,由AB二ADsin15sin4

6、52得AD二ABsin45sin15800 xy-800(肩+1)(m).6-、：2即山的高度為800G/3+1）m.反思與感悟此類問題特點(diǎn)：底部不可到達(dá)，且涉及與地面垂直的平面，觀測(cè)者兩次觀測(cè)點(diǎn)所在直線不經(jīng)過“目標(biāo)物”，解決辦法是把目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)某量，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問題.跟蹤訓(xùn)練2如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10m到位置D,測(cè)得ZBDC=45，則塔AB的高是（）-L|卜、JrJ71:/zA.10mB.10；2mC.100mD.106m考點(diǎn)解三角形求高度題點(diǎn)測(cè)量方向角、仰

7、角求高度答案D解析在ABCD中，CD-10m,ZBDC-45,/BCD-15+90-105,ZDBC-30,由正弦定理，得念CDsinZDBCBC=lOsin45。sin30二10/2(m).在RtAABC中，tan60二BCAB二BCXtan60二10m).類型三航海問題例3如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處（“朽一1）海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10爺海里/時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/時(shí)的A速度，從B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間.考點(diǎn)解三角形求距離題點(diǎn)測(cè)量方向角求

8、距離解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲（在D點(diǎn)）走私船，則CD二10t,BD二10t，在ABC中，由余弦定理，有BC2-AB2+AC2-2ABACcosA二(護(hù)-1)2+22-2(-1)2cos120-6.竺二sinAACsinZABCsinZABCACsinA二BC2sin120二邁62又ZABCW(0,60),ZABC-45,B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，ZCBD-90+30-120,在中，由正弦定理得盤sinZCBD.BDsinZCBD_10tsin120_1sinZBCD-CD-10問又ZZBCD(0,60),.ZBCD-30,緝私船沿北偏東60的方向行駛.又在ABCD中，ZCB

9、D二120。，/BCD二30,AZD二30,ABD=BC，即10t二品.t二語(yǔ)小時(shí)15分鐘.A緝私船應(yīng)沿北偏東60啲方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘.反思與感悟解決航海問題一要搞清方位角（方向角），二要弄清不動(dòng)點(diǎn)（三角形頂點(diǎn)），然后根據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為解三角形問題.跟蹤訓(xùn)練3甲船在A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60的B處，乙船以每小時(shí)a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時(shí)、月a海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？考點(diǎn)解三角形求距離北li-j題點(diǎn)測(cè)量方向角求距離解如圖所示設(shè)經(jīng)過t小時(shí)兩船在C點(diǎn)相遇，則在ABC中，BC=at（海里）,AC=3at（海里）,B=90

10、+30=120,由BC=ACsin/CABsinB，得3_BCsinB_atXsin120_2_1=礦=v3=2,.0v/CABv60,:./CAB=30,A/DAC=60-30=30,A甲船應(yīng)沿著北偏東30啲方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇.栓測(cè)評(píng)僑達(dá)萍過關(guān)Ati達(dá)標(biāo)檢測(cè)1某公司要測(cè)量一水塔CD的高度，測(cè)量人員在地面選擇了A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，如圖所示，在A處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為弘在B處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為.若AB=na,0B2，則水塔CD的高度為（）basinAsinBsin（AB）asin（AB）sinBsinadasina.sin（AB）sinB考點(diǎn)解三角

11、形求高度題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求高度答案解析a根據(jù)題意知，在AABD中，/ADB二a-B,由正弦定理，得sin（A-B）笙，即ADsinBasinBsin（A-B）在RtAACD中，CD二ADsina二asinAsinBsin（A-B）2如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15。，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45,若CD=50m，山坡對(duì)于地平面的坡度為0,則cosB等于（）BCa；3-1D./2-1考點(diǎn)解三角形求角度題點(diǎn)解三角形求角度asin（AB）sinaA.答案解析ABAC在ABC中，由正弦定理得sin30-sin135AC二1

12、00邁.在ADC中，AC二CDsin（0+90）sin15cos0-sin（0+90）二“CDX13-3架飛機(jī)在海拔8000m的高度飛行，在空中測(cè)出前下方海島兩側(cè)海岸俯角分別是30和45，則這個(gè)海島的寬度為m.（精確到0.1m）考點(diǎn)解三角形求寬度題點(diǎn)已知高度、俯角（仰角）求寬度答案5856.4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練左重艱基強(qiáng)化蓿實(shí)解析_8000-tan308000tan45_5856.4(m).4甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0,則甲、乙兩樓的高分別是考點(diǎn)解三角形求高度題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求高度答案203米，40占米解析甲樓的高為20tan60二20X語(yǔ)_2

13、0佰（米）,乙樓的高為20肩-20tan30_20百-20渾_誓（米）.5某船開始看見一燈塔在南偏東30方向，后來(lái)船沿南偏東60的方向航行45km后，看見該燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是km.考點(diǎn)解三角形求距離題點(diǎn)測(cè)量方向角求距離答案15：3解析設(shè)燈塔位置為A，船的初始位置為O，船的終止位置為B,由題意知ZAOB_30,ZOAB_120,則ZOBA_30,所以由正弦定理，得AB_15乜，即此時(shí)船與燈塔的距離是15舀km.廠規(guī)律與方法1在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁瑣，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳

14、的計(jì)算方式.2測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題.由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.一、選擇題俯角為45，那么塔AB的高為（1為了測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0,塔基的C.20（1+；3）m考點(diǎn)解三角形求高度解析塔的高度為20tan30+20tan45。二,故選A.題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求高度答案A2.在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為0,對(duì)著山峰在地面上前進(jìn)600m后測(cè)得仰角為20,繼續(xù)在地面上前進(jìn)20,3m以后測(cè)得山峰的仰角為40,則該

15、山峰的高度為（）A.200mB.300mC.400mD.10J,，3m考點(diǎn)解三角形求高度題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求高度答案B解析如圖，BED,BDC為等腰三角形，BD二ED二600m,BC=DC=200佰m.在ABCD中，由余弦定理可得6002+(2003)2-(200肩)2_一.勺C0S23-2X600X2032.0。2090。,A20=30,40二60.在RtAABC中，AB二BCsin40二200-芒X邁二300(m),2故選B.3.海上有A,B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B,C間的距離是（）B.3nmileD.5.Rnmil

16、eA.10叮3nmileC.5：2nmile考點(diǎn)解三角形求距離題點(diǎn)測(cè)量方向角求距離答案D解析在ABC中,C=180-60-75二45.由正弦定理，得BC二sinAAB.BCsinC，sin60。10sin45解得BC二5.Z6nmile.4.已知兩座燈塔A,B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40,燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的（）A.北偏東10B.北偏西10C.南偏東10D.南偏西10考點(diǎn)三角形中角度的求解題點(diǎn)三角形中角度的求解答案B解析如圖，因?yàn)锳ABC為等腰三角形，所以ZCBA=2(180-80)二50,60-50二10,故選B.5從高出海平面h米的小島

17、看正東方向有一只船俯角為30,看正南方向有一只船俯角為45,則此時(shí)兩船間的距離為（）A.2h米B.遠(yuǎn)h米C./3h米D.22h米考點(diǎn)解三角形求距離題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求距離答案A解析如圖所示，BC二忑h,AC二h,A6某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80,塔頂仰角為45。,此人沿南偏東40方向前進(jìn)10m到D,測(cè)得塔頂A的仰角為30，則塔高為（）A.15mB.5mC.10mD.12m考點(diǎn)解三角形求高度題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求高度答案CA解析如圖，設(shè)塔高為h,在RtAAOC中，ZACO二45,貝0OC=OA=h.在RtAOD中，ZADO二30,則OD二護(hù)h.在AOCD中，Z0CD二120,CD二10,由余

18、弦定理，得OD2二OC2+CD2-2OCCDcosZOCD,即（石h）2=h2+102-2hX10Xcos120,.h2-5h-50=0,解得h二10或h二-5（舍）.即塔高為10m.7.艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（）a.102海里C.20h海里考點(diǎn)解三角形求距離B.10V3海里D.202海里題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求距離答案A解析如圖所示，易知，在ABC中，AB二20,ZCAB二30,ZACB二45。,根據(jù)正弦定理得B

19、C二ABsin30-sin45，北解得BC二1028要測(cè)量河流一側(cè)某建筑物的高度，在河流的另一側(cè)選擇甲、乙兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)分別測(cè)得該建筑物頂點(diǎn)的仰角為45，30，在水平面上測(cè)得該建筑物和甲地連線與甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500m,則該建筑物的高度是（）A.100：2mB.400mC.200./3mD.500m考點(diǎn)解三角形求高度題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求高度答案D解析由題意畫出示意圖，設(shè)高AB=h，在RtAABC中，由已知得BC=h.在RtABD中，由已知得BD二、3h.在ABCD中，由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BCXCDXcosZBCD,得3h2-h2+500

20、2+hX500,解得h-500（m）（負(fù)值舍去）故選D.二、填空題9.如圖所示為一角槽，已知AB丄AD，AB丄BE,并測(cè)量得AC=3BC=2；2mm，AB=V29mm,則ZACB=.考點(diǎn)解三角形求角度題點(diǎn)解三角形求角度答案解析在ABC中，由余弦定理，得32+（2半）2-（伸）2逼gACB二2X3X2唾=-2.因?yàn)閆ACBW（0,n），所以ZACB二乎.10.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,測(cè)得ZBCD=15,ZBDC=30,CD=30米，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60,則塔高AB=米.考點(diǎn)解三角形求高度題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求高度答案15p6解析在ABC

21、D中，由正弦定理，得幾CDsinZCBD所以BC二30sin30sin135ZCBD二180-15-30二135.在RtAABC中，AB二BCtanZACB二15羽Xtan60二16（米）.11.如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75,30,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)km.的仰角均為60,AC=0.1km.若AB=BD,貝VB,D間的距離為.考點(diǎn)解三角形求距離題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求距離答案3巨+；20解析在ABC中，/BCA二60,ZABC二75-60二15,AC二0.1km,由正弦定理，得sin卷T古所

22、以AB=嚀(km)，又因?yàn)锽D=AB,所以BD二叭I；（km）.三、解答題12如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30,45,60，且AB=BC=60m,求建筑物的高度.考點(diǎn)解三角形求高度題點(diǎn)測(cè)量俯角（仰角）求高度解設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA=2h,PB二伽,PC二,.在APBA和APBC中，分別由余弦定理，得cosZPBA二60222,2X60X/2h4602+2h2-3h2COsZPBC=2X602h.BA+ZPBC二180。,cosZPBA+cosZPBC二0.由，解得h二30護(hù)或h二-30阿舍去），即建筑物的高度為36m.13.甲船在A處，乙船在A的

23、南偏東45方向，距A有9海里的B處，并以20海里/時(shí)的速度沿南偏西15方向行駛，若甲船以28海里/時(shí)的速度行駛，用多少小時(shí)能最快追上乙船？考點(diǎn)解三角形求距離題點(diǎn)測(cè)量方向角求距離解如圖所示，設(shè)用t小時(shí)甲船能追上乙船，且在C處相遇.在ABC中，AC二28t,BC=20t,AB=9,ZABC二180-45-15=120.由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC,即(28t)2=92；(20t)2-2X9X20tX128t2-60t-27=0=l或t=-392（舍去），甲船用3小時(shí)能最快追上乙船.考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析四、探究與拓展14某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40m后，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得