工程力學(xué)(上)電子教案第十三章

1、 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第十三章 動(dòng)能定理教學(xué)時(shí)數(shù)：2 學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：對(duì)功的概念有清晰的理解，能熟練計(jì)算重力、彈性力和力矩的功。教學(xué)重點(diǎn)：力的功的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)方法：板書PowerPoint教學(xué)步驟：一、力的功1、作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的功： F S F S cos（1）常力沿直線作功：W功是代數(shù)量，在國(guó)際單位制中，功的單位為Nm,稱為焦耳（J）（2）變力沿曲線作功：將曲線分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的弧段，每一小段弧長(zhǎng)為 dS ，與它相對(duì)應(yīng)的無(wú)限小位移為 dr ，方向與切向單位矢量 同向。在每一小段弧上，變力F 可視為常力，于是力F 在無(wú)限 小 位 移 drW F dr F cos ds F ds上 的 元

2、 功 為M F dsMWF dr 22M1M1 F i F j F k dr d i d j d k用解析式表示： Fxyzxyz 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載M W F dx F dy F dz F dx F dy F dzW2xyzxyzM12. 作用在質(zhì)點(diǎn)系上力系的功：,ri設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn) M的作用力，矢徑和曲線路程分別為 F則力系ii F , F ,F 的總元功等于力系中所有力的元功之和，力系的總功等于力系中所有力的總12n功之和。即： F drF drW幾種常見力的功： 重力功： 設(shè)有重為mg 的質(zhì)點(diǎn) M，由 M xWMi 2iiiiMi13, y , zM x , y , z處沿曲線移至

3、，此11112222 0 F 0F mg時(shí)質(zhì)點(diǎn)的重力在坐標(biāo)軸上的投影為：Fxyz 質(zhì)點(diǎn)的重力在曲線路程/上的功為：W mgdz mg(z z )z212z1故重力的功僅與質(zhì)點(diǎn)的重量及始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。（2）彈力功： 設(shè)原長(zhǎng)為r 的彈簧一端固定于點(diǎn) O，另一端 M 沿任一空間曲線由M 運(yùn)動(dòng)01r至 M ，設(shè)彈簧的剛性系數(shù)為c(N / m),在彈性范圍內(nèi)，彈性力F c(r r ) 20r r dr F dr c(r r ) 彈性力的元功W0r r r2 r dr d(r) d( ) r d r22彈性力 F 在曲線路程/上的功為：ccW c(r r )dr (r r ) (r r ) (

4、 22 )2122r22201020r1 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 r r , r r分別表示彈簧在起點(diǎn)和終點(diǎn)的變形量。令110220 作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功：設(shè)剛體可繞固定軸 Z 轉(zhuǎn)動(dòng)，作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力F 可分解成相互正交的三個(gè)分力平行于軸 Z 的軸向力 F ，沿半徑的徑向力 F ，沿軌跡切線的切向力F 。當(dāng)剛體有微小轉(zhuǎn)角d 時(shí)，zr力作用點(diǎn)的位移為dr ， ds r d ( ) W F dr F r d M F dz( ) ( )W M F d M2zz211 動(dòng)摩擦力的功：v fF 設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M 在粗糙面上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)摩擦力FvN v drW F dr f F fF ds摩擦力的元功

5、vNNMM 摩擦力在曲線上的元功 W fF dsfF ds22NNM1M1可見動(dòng)摩擦力的功恒為負(fù)值，它不僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，且與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。 fF s,特別地，若 F =常量時(shí)，Ws 為的曲線長(zhǎng)度。nN課堂小結(jié)： 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載對(duì)于各種功的求法要熟練掌握作業(yè)布置：課本習(xí)題 13-1教學(xué)后記： 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能第一節(jié) 動(dòng)能定理教學(xué)時(shí)數(shù)：2 學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、能熟練計(jì)算平動(dòng)剛體、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體、平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能。2、能熟練應(yīng)用動(dòng)能定理解動(dòng)力學(xué)問題。教學(xué)重點(diǎn)：物體動(dòng)能的計(jì)算動(dòng)能定理的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：動(dòng)能定理的應(yīng)用教學(xué)方法：板書PowerPoint教學(xué)步驟：一

6、、動(dòng)能（一）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：瞬時(shí)量,與速度方向無(wú)關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位是 J1T mv22122T m vi i（二）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能：對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)系：（ 為第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度）vi柯尼希定理1212T Mv m v 22Ci i剛體的動(dòng)能：12121212 m v ( m )v Mv Mv1平動(dòng)剛體T2222Ci ii121212 m v 2 ( m r 2 ) 2 I2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體T2i ii iz3平面運(yùn)動(dòng)剛體（P 為速度瞬心）12T I 2P 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載I I Md2PC1 I2121212C( ) M d M v I22222CC二、動(dòng)能定理1 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理兩

7、邊點(diǎn)乘以有d mv vdtFdrdtdm1而 (mv)vdt d(vv)d( mv2 )dma F2(mv)2 Fdtdtdr v dt12d( mv2) W動(dòng)能定理的微分形式：將上式沿路徑弧M M 積分，可得動(dòng)能定理的積分形式121212mv2 mv2 W212 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理12( m v ) W2對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn)M ： di iii對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式dT Wi1122d( m v ) W d() m v W2 i ii2 i ii將上式沿路徑弧M M 積分，可得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式12T T W21i在 理 想 約 束 的 條 件 下 ， 質(zhì) 點(diǎn) 系 的 動(dòng)

8、 能 定 理 可 寫 成 以 下 的 形 式dT W( ) ; T T W( )FF21例 1 圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤 A、B 各重 P，半徑均為R, 兩盤中心線為水平線, 盤 A 上作用矩為 M(常量)的一力偶；重物 D 重 Q。問下落距離 h 時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤 B 作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止) 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載W mQh ( h/R)(F )121Q2 g12T I v I 2222OACB1 P1Q2 g1 3 P2 2 g R2 2g2v R 2222ABv216g(8Q7P)T 0由T T Wv216g(F)121M(M /RQ)hg(8Q7P)0( Q

9、)h v4R8Q7P解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象上式求導(dǎo)得：8Q7P dv M2v ( Q)dt Rdhdtdh(v )dt16g8(M /RQ)ga8Q7P三、動(dòng)能定理的應(yīng)用:1、圖示的均質(zhì)桿 OA 的質(zhì)量為 30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù) k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置 OA 轉(zhuǎn)到水平位置 OA，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？388.4(J)解：研究OA桿1212W P1.2 k( 2 2 )(F)30 9.8 1.230000 (2.4 1.2 2) 22121 12 3T 302.4 2 28.8 2 , T 0 T T W2(F)由,100221028.8 38

10、8.420 3.67rad/s0 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2、行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu), 放在水平面內(nèi)。 動(dòng)齒輪半徑 r ,重 P, 視為均質(zhì)圓盤；曲柄重 Q, 長(zhǎng) l ,作用一力偶, 矩為 M(常量), 曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)； 求曲柄的角速度 (以轉(zhuǎn)角 的函數(shù)表示) 和角加速度.解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象QlPP r l2Q9P12g22T (l) ( ) l 2 22226g2g4 g r21Ql1 P2 g1 P r2 2 g22T 2 v 2222 3g11W M(F )T 01vlv l , 1r r112Q9Pl22 0M12g根據(jù)動(dòng)能定理，得3gMl 2Q 9P26gM對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得(2Q 9P)l

11、2課堂小結(jié)：從以上分析可見，在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理時(shí)，要根據(jù)具體情況仔細(xì)分析所有的作用力，以確定它是否做功。應(yīng)注意：理想約束的約束力不做功，而質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力做功之和并不一定等于零。作業(yè)布置： 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載課本習(xí)題 13-7、13-12教學(xué)后記： 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第五節(jié) 勢(shì)力場(chǎng) 勢(shì)能 機(jī)械能守恒定律第六節(jié) 普遍定理的綜合應(yīng)用教學(xué)時(shí)數(shù)：2 學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、能熟練計(jì)算重力和彈性力的勢(shì)能。2、熟知何種約束力的功為零，何種內(nèi)力的功之和為零。3、能熟練應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解動(dòng)力學(xué)問題。4、能熟練應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本定理解動(dòng)力學(xué)的綜合問題。教學(xué)重點(diǎn)：機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用。綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本定理。教學(xué)難點(diǎn)：綜

12、合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本定理教學(xué)方法：板書PowerPoint教學(xué)步驟：一、有勢(shì)力，勢(shì)力場(chǎng)，勢(shì)能：勢(shì)力場(chǎng)： 在力場(chǎng)中, 如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)。有勢(shì)力（保守力 conservative force）：質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中受到的場(chǎng)力稱為有勢(shì)力(保守力),如重力、彈力等。勢(shì)能：在勢(shì)力場(chǎng)中, 質(zhì)點(diǎn)從位置 M 運(yùn)動(dòng)到任選位置 M , 有勢(shì)力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在位置 M0相對(duì)于位置 M 的勢(shì)能，用 V 表示。0MMV F dr Xdx Ydy Zdz00MMV P(zz )Ph01.重力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)系：2. 彈性力場(chǎng)：取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)V P(z z

13、)P hCC01V k2 2 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3. 萬(wàn)有引力場(chǎng)：取與引力中心相距無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能位置二有勢(shì)力的功Gm m1V 2rM0 F dr W在 M 位置 V1110M1M0M 位置：V FdrW2220M2W W W V VM M ：1212102012有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的始末位置的勢(shì)能之差。Fdr Fdr ( )F dr F dr F d BAWABAB三質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功只要 A、B 兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零四理想約束:約束力的元功的和等于零的約束稱為理想約束(1）光滑固定面（2）光滑鉸鏈或軸承約束（3）剛性連接的約束（4）聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛體的鉸（5）柔性而不可伸長(zhǎng)

14、的繩索約束物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載五機(jī)械能守恒定律 機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和.設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到有勢(shì)力(或同時(shí)受到不作功的非有勢(shì)力) 作用，則機(jī)械能守恒定律T V T V 常量這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。1122例 1 長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m 的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角 q 和質(zhì)心的位置表達(dá)）。解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C 鉛垂下降。由于約束反力不作功, 主動(dòng)力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。1 I21212412l2 2T 0,V mg 任一瞬時(shí)：T

15、my ml my初瞬時(shí)：2222112C2yl212412l20 mg ml2 2 2 ( )my mgy 將由機(jī)械能守恒定律后得代入上式，化簡(jiǎn)lsin2ylsinl2l2 sin ,又 即 yy1 cos6g sin 2y y1 3 sin 2動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可以研究其它形式的運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問題。動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)?/p>

16、定理求解，包括各種守恒情況的判斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開那些無(wú)關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。二是對(duì)比較復(fù)雜的問題，能根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)合求解。求解過程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析, 提供正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。 舉例說明動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用： 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載例 1 兩根均質(zhì)桿 AC 和 BC 各重為 P，長(zhǎng) 為 l，在 C 處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C 點(diǎn)高度為 h，求鉸 C 到達(dá)地面時(shí)的速度。解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開。lV mg( y)22研究對(duì)象：整體 0，分析受力： F ( )exh( ) 2 Ph1 PW FP2T 01 1

17、 P1 P3 gl22 2 l22T 2 3 g12v lT v2C3 gC2且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒代入動(dòng)能定理1 P3 gv 0Ph v 3gh2CC例 2 均質(zhì)圓盤 A：m，r；滑塊 B：m；桿 AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角q，摩擦系數(shù) f，圓盤作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2mg S sin f mgScosmg S f( 2sin cos) W(F )12121 1T 0T mv2 mv2 mr2 22 2125v r T mv2運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：425由動(dòng)能定理 mv240mgS( 2sin f cos)42a (

18、sin fcos)g55例 3 一礦井提升設(shè)備如圖所示。質(zhì)量為m、回轉(zhuǎn)半徑為p 的鼓輪裝在固定軸上，鼓輪上半徑為 r 的輪上用鋼索吊有一平衡重量 m g。鼓輪上半徑為 R 的輪上用鋼索牽引重為 m g 的21礦車。設(shè)車在傾角為的軌道上運(yùn)動(dòng)。如在鼓輪上作用一常力矩M 。求：o（1）礦車的加速度；（2）連接平衡重物鋼索中的拉力；（3）鼓輪的軸承約束力。不計(jì)各處的摩擦及車輪的滾動(dòng)摩阻。1 mr Mm gr222m m v 2O m g sin s解：2RRRR12A1A22rrv r vBsr s RARBAM / g m Rsin m ra Rg2O1m R m r m2A2212求鋼索拉力和鼓輪軸承約束力研究重物 B,利用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程,有: 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載rm g F m a maA2TB2 B2RrF