現(xiàn)代控制理論考點精講第4講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

1、現(xiàn)代控制理論 考點精講第4講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性主講人：單博網(wǎng)學(xué)天地本章的主要內(nèi)容1.2.3.引言夫意義下穩(wěn)定性的定義夫第二法4.線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.6.有界輸入-有界輸出穩(wěn)定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.1引言穩(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法。法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原第系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。對于非線性、時變、多輸入多輸出系統(tǒng)來說，第二種方法特別重要。夫第二法又稱為直接法。這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時間變化的特性來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過一個例子來說明。例4-1一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運動由如下微分

2、方程描述。x ffxkx0kx 0m（1）xxm 1令xxx 1選取狀態(tài)變量1x2fx則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2） kxx212在任意時刻，系統(tǒng)的總能量121E顯然，當(dāng)x 0 時 (Ekx（3）2而當(dāng) x 0 時0) x) 0，(E0而總能量隨時間的變化率為E d x1E d xd1x ,2x) kx22 E ( d tfx22x1x2d td t 0 時d ，E /dt可見，只有在 x2E /dt，。0在其他各處均d0這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。平衡狀態(tài) 一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為 x f ( x, t) ，其初始狀態(tài)為x(t0 )。

3、系統(tǒng)的狀態(tài)軌線 x(t)是隨時間而變化的。當(dāng)且僅當(dāng) x xe（當(dāng) tt0 ）則稱 xe 為系統(tǒng)平衡。xe如果不在坐標(biāo)原點，可以通過非奇異線性變換，使 xe 0，因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題都可以歸結(jié)為原點的穩(wěn)定性問題。4.2穩(wěn)定的定義表示求夫意義下穩(wěn)定性的定義4.2.1 x1 x 范數(shù)。xxx22則xn 1n（即：表示空間距離） ) x(f,xt非線性時變系統(tǒng)（4）xe 0定義 對于任意給定的實數(shù) 0 ，都對應(yīng)存在實數(shù)( ,t ) ，0使?jié)M足x ( t0)( , t0 xe（5）)x0出發(fā)的軌線 x( t )有的任意初始狀態(tài)x ( t0 x ( t )xe（對所有 t t0）（6）xe 0為Ly

4、apunov意義下是穩(wěn)定的。成立，則稱4.2.2漸近穩(wěn)定Lyapunov意義下穩(wěn)定如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) xe 0是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線 x(t) ，當(dāng) t 時，收斂于 0 ，則稱 xe 0為漸近穩(wěn)定。xe漸進(jìn)穩(wěn)漸進(jìn)穩(wěn)定定更精密的敘述如下：如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)T t0 xe 0, ，對于，存在和 出發(fā)的x(t0 ) xex(t) xe當(dāng) t T 時，從x(t)，都有就充分小。則稱 xe 0為Lyapunov意義下并且 T 充分大時，漸近穩(wěn)定。當(dāng) t0與T 、無關(guān)時 ，則稱 x 0為一致漸近穩(wěn)定。e4.2.3大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定lim x(t) xx(t ) x如果是整個狀態(tài)

5、空間中任一點，并且都有e00t 則為大范圍漸近穩(wěn)定或稱為Lyapunov意義下全局漸近穩(wěn)定。當(dāng)穩(wěn)定性與 t0 的選擇無關(guān)時，稱一致全局漸近穩(wěn)定。不穩(wěn)定4.2.4不穩(wěn)定對于任意的實數(shù) 0，存在一個實數(shù) 0等式，不論取的多么小，在滿足不 x0 xe的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個初始狀態(tài) x0 ，由此出發(fā)的軌線x(t)，滿足x xe稱 xe 0 為Lyapunov意義下不穩(wěn)定4.3夫第二法定義 如果標(biāo)量函數(shù)V( x )0，并且當(dāng) x 0 時，(Vx) 0；僅當(dāng)x 0 時，(Vx 0 以外，還有x) 0；則稱V(x )為正定的。除了半正定的。狀態(tài)使(Vx) ，0 稱 V( x為)定義 如果標(biāo)量函數(shù)V(

6、 x )0，并且當(dāng) x 0 時，(Vx) ；0 僅當(dāng)x 0 x) x 0 以外，還有時，(V0；則稱V(x )為負(fù)定的。除了半負(fù)定的。x) 狀態(tài)使(V定理4-1，0 稱 V( x為) xf(x)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為（7）有連續(xù)一階偏導(dǎo)在平衡狀態(tài) xe 0的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)V(數(shù)，并且滿足：x 具)2） V(x )為負(fù)定。1）V( x 為)正定； 0 為一致漸近穩(wěn)定的。則xex，V( x ) ，則 V(x )是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。如果例4-2系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。x2x 1(V x) x x 0000解選取Lyapunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿足(V x) 1212(x )2Vx

7、22)V而(x2x將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得 V( x)00 (x22x)12可見，V( x )是負(fù)定的，即滿足 (Vx) x x 00 (V x) 是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。 0因此，xe 0是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。x， 有V(xex ) ，故系統(tǒng)當(dāng)x f ( x)定理4-2設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài) xe 0的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)V ( x)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1）V ( x) 為正定； 2）V ( x) 為半負(fù)定；3）除了xe 0平衡狀態(tài)外，還有V ( x) 0 的點，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有 V ( x) 0 0 為一致漸近穩(wěn)定的。xe則，則V ( x) 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。

8、，V ( x) x如果（注：本定理是將定理4-1的條件稍微放寬了一點）x 11x2例4-3系統(tǒng)的狀態(tài)方程為a (x2其中， a 為大于零的實數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 0( x)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 xe解選取Lyapunov函數(shù)：x2 2Vx12(V x) x x 0000顯然它是正定的，即滿足(V x) )x而 V(x2)x2 a1x 222將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得V()x2x1 時，有V ( x) 0 ，而x2 0 和任意 x1可見，當(dāng)x2 0和任意的時，V( x) 0。又因為 x1 x2，只要 x1 變化 x1 x2 就不為零，因此V ( x) 0在整條狀態(tài)軌線上不會有。 0因此，xe是一

9、致漸進(jìn)穩(wěn)定的。 0是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。 ，有V ( x) ，故系統(tǒng)xex當(dāng)x f ( x)定理4-3設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)xe 0 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)V ( x)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1）V ( x) 為正定；2）V ( x)為半負(fù)定； 0 為一致穩(wěn)定的。xe則，則 xe 0是大范圍一致穩(wěn)定的。 ，V ( x) x如果（注：本定理只是比定理4-2少了第3個條件，不能保證漸近穩(wěn)定，只能保證一致穩(wěn)定。）因為V ( x)0則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有 V ( x) 0，則系統(tǒng)可能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平衡點。因此xe 0 是一致穩(wěn)定的。1例4-4 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

10、 xkx2x1x 2 其中， k 為大于零的實數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 xe 0解選取Lyapunov函數(shù)：( x)21002kxVx2(V x) x x 00顯然它是正定的，即滿足(V x) )x而(1 k1kxkxVxx2210 x22 0 為Lyapunov意義下一致穩(wěn)定。由定理4-3可知，xex f ( x)定理4-4 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 0的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)V ( x) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，在 xe2）V ( x)并且滿足： 1）V ( x) 為正定；為正定或半正定；xe 0則為不穩(wěn)定的。x 1x2例4-5系統(tǒng)的狀態(tài)方程為分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

11、為 xe 0解x)x2 2選取Lyapunov函數(shù)V： (x12(V x) x x 0000顯然它是正定的，即滿足(V x) ( 而 ) V22x21由定理4-4可知，xe 0 是不穩(wěn)定的。：到目前為止，人類還沒有找到構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的應(yīng)該一般方法。因為Lyapunov第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。因此，對于某個系統(tǒng)來說，找不到合適的Lyapunov函數(shù)，既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關(guān)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：inconclusive 沒有得出結(jié)論）。4.4 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 A( t )x)狀態(tài)方程為xx)對線性時變系統(tǒng)，其相應(yīng)的 ( t , 0

12、t由第2章介紹的方法求出其解為()xt0t(由此可判別以及非系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果收斂則都穩(wěn)定；如果發(fā)散，則都不穩(wěn)定。對線性定常系統(tǒng)x A( t )，x 可以用Lyapunov第二法。1nq12q2 n Q 22首先介紹矩陣正定性的定義：對于方陣nnq當(dāng)它的所有主子式均大于零時，則Q是正定的。即：n 2q121n2 nq, ,2200q1112 022nnqn 2如果方陣Q 是正定的，則Q 就是負(fù)定的。負(fù)定的矩陣主子式負(fù)正相間。TLyapunov函數(shù)V( x 為)Px狀態(tài)變量如果P 為nxn維正定的對稱常數(shù)矩陣，則V( x 為)正定的。dV(xx TA) P( x)xPTT(A T)PAxd t令

13、xV()Qx，其中Q 為正定實數(shù)矩陣，且滿足TPAPQ0為穩(wěn)定的。并xe如果給定Q陣，能夠推出P 為正定的，則系統(tǒng)在且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。（注：線性定常系統(tǒng)，可以判斷A的特征值是否全部具有負(fù)實部，既可以判別其穩(wěn)定性。）x 01 x例4-6線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。-1-1系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 xe 0為簡單起見，可以令Q 陣為AT P PA I解矩陣I。1 101P11P12 P11P12001PPPP 111012122211 22 3 22 P1121P12P1121P12 0P 01PP解得有1122PP1 22 2xe 0 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的

14、?？梢姡?P 為正定的矩陣，故4.6有界輸入-有界輸出穩(wěn)定4.6.1有界輸入-有界輸出穩(wěn)定Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定義：對于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱為BIBO系統(tǒng)。u K1 如果輸入 u 有界，是指y K2 y有界，是指如果輸入tttH (t ) u() d K1ttH (t ) u() d H (t )u() d yt000tH (t ) d K3y 如果于是 K1K3t0K2 K1K3可以取x Ax Buy Cx定理4-5由方程描述的線性定常系統(tǒng)。為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為ty(t) tH (t )u

15、() d （11）0BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個常數(shù)K3，有H (t ) d K3 0或者對于 H (t ) 的每一元素，都有hij () d K3 0 x ax uy cx例4-8線性定常系統(tǒng)方程為h(t) c eat其中，a 為一個非負(fù)的實數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定。解1a 0a 0ch() d cead a 00可見，只有當(dāng)a 0 時，才有有限值K3 存在，系統(tǒng)才是BIBO穩(wěn)定的。4.6.2BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系x Ax Buy Cx（12）對于線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài) xe 0的漸近穩(wěn)定性由A 的特征值決定。而BIBO的穩(wěn)定性是由傳遞函數(shù)的極

16、點決定的。G(s)的所有極點都是A 的特征值，但 A 的特征值并不一定都是G(s)的極點?？赡艽嬖诹銟O點對消。所以， xe 0 處的漸近穩(wěn)定就包含了BIBO穩(wěn)定，而BIBO穩(wěn)定卻可能不是 xe 0處的漸近穩(wěn)定。 0 漸近穩(wěn)定呢？xe那么在什么條件下，BIBO穩(wěn)定才有平衡狀態(tài)結(jié)論是：如果（12）式所描述的線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定，且系統(tǒng)是既能控又能觀測的，則系統(tǒng)在xe 0處是漸近穩(wěn)定的。4.7 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.7.1用Lyapunov第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性到目前為止，尚沒有構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般性方法。往往都是根據(jù)經(jīng)驗，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。1.斯基法x f

17、()x)0（12） f(0非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x和f (x)均為n維向f量( 。非)線性多有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。其中元函數(shù)，對各( xii 1,2,n , 都具)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下V ( x) x TWx f T ( x)Wf ( x)其中W 為 n n 正定對稱常數(shù)矩陣V ( x) f T ( x)Wf ( x) f T ( x)Wf ( x)（13）（14）（15）f ( x) d f ( x) f d x fx J ( x) f ( x)而x d tf1xd t f1f1xxxf 12nff其中稱為雅可比矩陣（16）2 2 2 x2f ( x)xJ ( x) x1xnfffn

18、x1n xn n x2V( x) J ( x) f ( x)T Wf ( x) f T ( x)WJ ( x) f ( x)f T ( x)J T ( x)W WJ ( x) f ( x) f T ( x)S( x) f ( x)S( x) J T ( x)W WJ ( x)（17）其中是負(fù)定的，則 V ( x) 是負(fù)定的。而 V ( x) 是正定的，故如果S( x) ，V ( x) ，則 xe 0 xe 0是一致漸近穩(wěn)定的。如果x是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡便，通常取 W I，這時S( x) J T ( x) J ( x)x 1x1例4-10非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為3x2xe 0試分析的穩(wěn)定性。x 1x1x) f (解x32 f1f1雅可比矩陣x) f (x) x10 xf 1 J (2f2 1 x23x12 x12 x2J(選擇 W=IS則( x) Jx) T()x 11 1 20102162 2檢驗S (x)的各階主子式：0det212312x2012 x62 2x時，(有Vx)負(fù)定