屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第二篇函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第3講函數(shù)的奇偶性與周期性

1、2022 屆高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教案：其次篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)第 3 講 函數(shù)的奇偶性與周期性【2022 年高考會(huì)這樣考】1判定函數(shù)的奇偶性2利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值3考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合詳細(xì)實(shí)例和函數(shù)的圖象,懂得函數(shù)的奇偶性、周期性的概念,明確它們?cè)跔?zhēng)論函數(shù)中的作用和功能題重點(diǎn)解決綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)基礎(chǔ)梳理1奇、偶函數(shù)的概念一般地,假如對(duì)于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有 fxfx,那么函數(shù)fx就叫做偶函數(shù)一般地,假如對(duì)于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有 fx fx,那么函數(shù) fx就叫做奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

2、；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)1奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū) 間上的單調(diào)性相反2在公共定義域內(nèi) 兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù),兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù),一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)3周期性1周期函數(shù)： 對(duì)于函數(shù) yfx,假如存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有 fxTfx,那么就稱(chēng)函數(shù) yfx為周期函數(shù),稱(chēng) T 為這個(gè) 函數(shù)的周期2最小正周期：假如在周期函數(shù)fx的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 fx的最小正周期一條規(guī)律奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)

3、對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件兩個(gè)性質(zhì)1如奇函數(shù) fx在 x 0 處有定義,就 f00. 2設(shè) fx,gx的定義域分別是 D1,D2,那么在它們的公共定義域上：奇奇奇,奇 奇偶,偶偶偶,偶 偶偶,奇 偶奇三種方法判定函數(shù)的奇偶性,一般有三種方法：三條結(jié)論1定義法； 2圖象法； 3性質(zhì)法1如對(duì)于 R 上的任意的 x 都有 f2axfx或 fxf2ax,就 yfx的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱(chēng)2如對(duì)于 R 上的任意 x 都有 f2axfx,且 f2bxfx其中 ab,就： yfx是以 2ba為周期的周期函數(shù)3如 fxa fx或 fxa1 f x或 fxa 1 f x,那么函數(shù) fx是周期函數(shù),其

4、中一個(gè)周期為 T2a；3如 fxafxba b,那么函數(shù) fx是周期函數(shù),其中一個(gè)周期為 T2|ab|. 雙基自測(cè)12022 全國(guó) 設(shè) fx是周期為 2 的奇函數(shù),當(dāng) 0 x1 時(shí),fx2x1x,就 f5 2 A.1 2 B.1 4 C.1 4 D.1 2解析 由于 fx是周期為 2 的奇函數(shù),所以 f 5 2 f 5 2 f 1 21 2.應(yīng)選 A. 答案 A 22022 福州一中月考 fx1 xx 的圖象關(guān)于 Ay 軸對(duì)稱(chēng) B直線 y x 對(duì)稱(chēng)C坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D直線 yx 對(duì)稱(chēng)解析 fx的定義域?yàn)?,00, ,又 fx1xx1 xx fx,就 fx為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)答案 C 320

5、22 廣東設(shè)函數(shù) fx和 gx分別是 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù),就以下結(jié)論恒 成立的是 Afx |gx|是偶函數(shù) C|fx|gx是偶函數(shù)Bfx|gx|是奇函數(shù) D|fx|gx是奇函數(shù)解析 由題意知 fx與|gx|均為偶函數(shù), A 項(xiàng)：偶偶偶； B 項(xiàng)：偶偶偶,B 錯(cuò)； C 項(xiàng)與 D 項(xiàng)：分別為偶奇偶,偶奇奇均不恒成立,應(yīng)選 A. 答案 A 42022 福建對(duì)于函數(shù) fxasin xbxc其中, a,bR,cZ,選取 a,b,c 的一組值運(yùn)算 f1和 f1,所得出的正確結(jié)果肯定不行能是 A4 和 6 B3 和 1 C2 和 4 D1 和 2 解析f1asin 1bc,f1 asin 1bc 且 c

6、Z,f1f12c是偶數(shù),只有 D 項(xiàng)中兩數(shù)和為奇數(shù),故不行能是 D. 答案 D 52022 浙江如函數(shù) fxx 2|xa|為偶函數(shù),就實(shí)數(shù)a_. 解析 法一fxfx對(duì)于 xR 恒成立,|xa|xa|對(duì)于 xR 恒成立,兩邊平方整理得 ax0 對(duì)于 xR 恒成立,故 a0. 法二 由 f1f1,得|a1|a1|,得 a0. 答案 0考向一 判定函數(shù)的奇偶性【例 1】.以下函數(shù)： fx1x2x21； fx x3 x； fxlnxx21 ； fx3 x32x； fxlg1x 1x.其中奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是 A2 B3 C4 D5 審題視點(diǎn) 利用函數(shù)奇偶性的定義判定解析 fx1x2x 21的定義域?yàn)?1,1

7、,又 fxfx0,就 fx1x 2x 21是奇函數(shù),也是偶函數(shù)；fxx 3x 的定義域?yàn)?R,又 fxx 3xx 3x fx,就 fxx 3x 是奇函數(shù)；由 xx 21x|x|0 知 fxlnxx 21的定義域?yàn)?R,又 fxlnxx 21ln 1xx 21lnxx 21fx,就 fx為奇函數(shù)；3 x3xfx2 的定義域?yàn)?R,3x3 x 3 x3x又 fx22fx,就 fx為奇函數(shù)；1x 1x由 0 得 1x1,fxln 的定義域?yàn)?1,1,1x 1x1x 1x 1x又 fxlnln1 ln fx,1x 1x 1x就 fx為奇函數(shù)答案D 判定函數(shù)的奇偶性的一般方法是：1求函數(shù)的定義域； 2證

8、明 fxfx或 f xfx成立；或者通過(guò)舉反例證明以上兩式不成立假如二者皆未做到是不能下任何結(jié)論的,切忌主觀臆斷【訓(xùn)練 1】 判定以下函數(shù)的奇偶性：1fx4x2 |x3|3；2fxx 2|xa|2. 解1解不等式組4x 20,|x3|3 0,得 2x0,或 0 x2,因此函數(shù) fx的定義域是 2,00,2,就 fx4x 2x . 24x 2fx,fx4 xxx所以 fx是奇函數(shù)2fx的定義域是 , 當(dāng) a0 時(shí), fxx2|x|2,fxx 2|x|2x2|x|2fx因此 fx是偶函數(shù)；當(dāng) a 0 時(shí), faa22,2|2a|2,faa fa fa,且 fa fa因此 fx既不是偶函數(shù)也不是奇函

9、數(shù)考向二 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例 2】.已知 fxx 2x11 2 x 01判定 fx的奇偶性； 2證明： fx0. 審題視點(diǎn) 1用定義判定或用特值法否定；函數(shù)值大于 0. 2由奇偶性知只須求對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的1解 法一 fx的定義域是 , 00, fxx 2 x11 2x 22x12 x1. fxx 22x1x1x 22 x1x1fx故 fx是偶函數(shù)法二 fx的定義域是 , 00, ,f13 2,f13 2, fx不是奇函數(shù)fxfxx 2 x11 2x 2x11x 2 x1112 2 xx1x 12 2 x11 x110,xfxfx,fx是偶函數(shù)2證明 當(dāng) x0 時(shí), 2 x1,2 x10,所以 f

10、xx 2x11 20. 當(dāng) x0 時(shí), x0,所以 fx0,又 fx是偶函數(shù),fxfx,所以 fx0. 綜上,均有 fx0. 依據(jù)函數(shù)的奇偶性,爭(zhēng)論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法 奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同；單調(diào)性相反 所以對(duì)具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的爭(zhēng)論,單調(diào)性即可偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的 只需爭(zhēng)論對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的【訓(xùn)練 2】 已知奇函數(shù) fx的定義域?yàn)?2,2,且在區(qū)間 2,0內(nèi)遞減,求滿意：f1mf1m20 的實(shí)數(shù) m 的取值范疇解fx的定義域?yàn)?2,2,21m2,有21m22,解得 1m3. 又 fx為奇函數(shù),且在 2,0上遞減,在 2,2上遞減,f1mf1m2fm 21. 1mm21,即 2

11、m1. 綜合可知, 1m1. 考向三 函數(shù)的奇偶性與周期性【例 3】.已知函數(shù) fx是, 上的奇函數(shù), 且 fx的圖象關(guān)于 x1 對(duì)稱(chēng),當(dāng) x0,1時(shí), fx2x1,1求證： fx是周期函數(shù)；2當(dāng) x1,2 時(shí),求 fx的解析式；3運(yùn)算 f0f1f2 f2022的值審題視點(diǎn) 1只需證明 fxTfx,即可說(shuō)明 fx為周期函數(shù)；2由 fx在0,1上的解析式及 fx圖象關(guān)于 x1 對(duì)稱(chēng)求得 fx在1,2上的解析式；3由周期性求和的值1證明 函數(shù) fx為奇函數(shù),就 fxfx,函數(shù) fx的圖象關(guān)于 x1 對(duì)稱(chēng),就 f2xfx fx,所以 f4xf2x2 f2xfx,所以 fx 是以 4 為周期的周期函數(shù)

12、2解 當(dāng) x1,2 時(shí),2x0,1,又 fx的圖象關(guān)于 x1 對(duì)稱(chēng),就 fxf2x22x1,x1,2f00,f11,f20,3解 f3f1f1 1 又 fx是以 4 為周期的周期函數(shù)f0f1f2 f2022 f2 012f2 013f0f11. 判定函數(shù)的周期只需證明 fxTfxT 0便可證明函數(shù)是周期函數(shù), 且周期為 T,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他 性質(zhì)綜合命題,是高考考查的重點(diǎn)問(wèn)題【訓(xùn)練 3】 已知 fx是定義在 R 上的偶函數(shù), gx是定義在 R 上的奇函數(shù),且 gxfx1,就 f2 013f2 015的值為 D無(wú)法運(yùn)算 A 1 B1 C0 解析 由題意,得 gxfx1,又fx是定義在

13、R 上的偶函數(shù), gx是定義在 R 上的奇函數(shù), gx gx,fxfx,fx1 fx1,fx fx2,fxfx4,fx的周期為 4,f2 013f1,f2 015f3f1,又f1f1g00,f2 013f2 0150. 答案 C規(guī)范解答 3如何解決奇偶性、單調(diào)性、周期性的交匯問(wèn)題【問(wèn)題爭(zhēng)論】函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大性質(zhì),它們之間既有區(qū)分又有聯(lián)系, 高考作為考查同學(xué)綜合才能的選拔性考試,在命題時(shí), 經(jīng)常將它們綜合在一起命制試題 . 【解決方案】依據(jù)奇偶性的定義知,函數(shù)的奇偶性主要表達(dá)為 f x 與 f x 的相等或相反關(guān)系,而依據(jù)周期函數(shù)的定義知,函數(shù)的周期性主要表達(dá)為 f xT

14、 與f x 的關(guān)系,它們都與 f x 有關(guān),因此,在一些題目中,函數(shù)的周期性經(jīng)常通過(guò)函數(shù)的奇偶性得到 .函數(shù)的奇偶性表達(dá)的是一種對(duì)稱(chēng)關(guān)系,而函數(shù)的單調(diào)性表達(dá)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律,因此,在解題時(shí), 往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來(lái)確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性,即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換, 再利用單調(diào)性來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題 . 【示例】.此題滿分 12 分2022 沈陽(yáng)模擬 設(shè) fx是,上的奇函數(shù), fx2fx,當(dāng) 0 x1 時(shí), fxx. 1求 f 的值；2當(dāng)4x4 時(shí),求 fx的圖象與 x 軸所圍成圖形的面積；3寫(xiě)出, 內(nèi)函數(shù) fx的單調(diào)增 或減區(qū)間第1 問(wèn)先求函數(shù) fx的周期,再求f ；第2問(wèn)

15、,推斷函數(shù) yfx的圖象關(guān)于直線 x1 對(duì)稱(chēng),再結(jié)合周期畫(huà)出圖象,由圖象易求面積；第3問(wèn),由圖象觀看寫(xiě)出解答示范 1由 fx2fx得,fx4fx22 fx2fx,所以 fx是以 4 為周期的周期函數(shù), 2 分 f f1 4 f 4 f4 4 4.4 分 2由 fx是奇函數(shù)與 fx2 fx,得： fx12 fx1 fx1,即 f1xf1x故知函數(shù) yfx的圖象關(guān)于直線 x1 對(duì)稱(chēng) 6 分 又 0 x1 時(shí),fxx,且 fx的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng), 就 fx的圖象如圖所 示 8 分 當(dāng) 4x4 時(shí),fx的圖象與 x 軸圍成的圖形面積為S,就S4S OAB41 2 2 1 4.10 分 3函數(shù) fx的單調(diào)遞增區(qū)間為 4k1,4k1kZ,單調(diào)遞減區(qū)間 4k1,4k3 kZ12 分 關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問(wèn)題,關(guān)鍵是利用奇