函數(shù)極值與其求法

1、關(guān)于函數(shù)的極值及其求法第1頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四定義使得有則稱 為 的一個(gè)極大值點(diǎn) (或極小值點(diǎn) )極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 .1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn)(稱為可疑極值點(diǎn)). 稱 為 的一個(gè)極大值 (或極小值 )注意第2頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四函數(shù)極值的求法定理1(函數(shù)取得極值的必要條件)(費(fèi)馬定理)定義注意:例如,設(shè)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù), 且在處取得極值,則第3頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四定理2 (第一充

2、分條件)(是極值點(diǎn)情形)設(shè)在點(diǎn) 處連續(xù) ,(1) 若 時(shí), 而時(shí),則在點(diǎn)處取得極大值;(2) 若 時(shí), 而時(shí),則在點(diǎn)處取得極小值;(3) 若時(shí), 的符號(hào)相同, 則在點(diǎn)處無極值.第4頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)第5頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四例1解列表討論極大值極小值第6頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四圖形如下第7頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四例2解第8頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四的極值 .解得駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)是極大值點(diǎn)，其極大值為是極

3、小值點(diǎn)，其極小值為例3 求函數(shù)不存在第9頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四定理3(第二充分條件)證同理可證(2).二階導(dǎo)數(shù) , 且則 在點(diǎn) 取極大值 ;則 在點(diǎn) 取極小值 . 設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處 具有第10頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四例4解圖形如下第11頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四注意:第12頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四的極值 . 解: 令得駐點(diǎn)因故 為極小值 ;又故需用極值的第一充分條件來判別.例5. 求函數(shù)第13頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四則

4、1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn) , 且不是極值點(diǎn) ,證定理4設(shè) f (x) 在點(diǎn) x0 處 具有n 階導(dǎo)數(shù)，且則 在點(diǎn) 取極大值 ;則 在點(diǎn) 取極小值 . 點(diǎn) 為拐點(diǎn) 。第14頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四故1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),由極限的保號(hào)性,知又得故 在點(diǎn) 取極大值 。則 在點(diǎn) 取極小值 .同理可證，2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),可證 在 點(diǎn)鄰近兩 側(cè)異號(hào), 故 在點(diǎn) 不取極值 。第15頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四故 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),可證 在 點(diǎn)鄰近兩側(cè)異號(hào), 故點(diǎn) 為拐點(diǎn) 。第16頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，

5、星期四設(shè) 其中a 為常數(shù) .證明: 時(shí), f (0) 為 f (x)的極小值 ;時(shí), f (0) 為 f (x)的極大值 .證 時(shí), f (0) 為 f (x)的極小值 ;時(shí), f (0) 為 f (x)的極大值 ;時(shí), 例6第17頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四f (0) 為 f (x)的極大值.第18頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四函數(shù)圖形的描繪步驟 :1. 確定函數(shù)的定義域 ,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在的點(diǎn) ;并考察

6、其對稱性及周第19頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四例7解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.定義域（-，+ ）0,第20頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)第21頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四作圖第22頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是可疑極值點(diǎn).判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)第23頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四思

7、考與練習(xí)1. 設(shè)則在點(diǎn) a 處( ).的導(dǎo)數(shù)存在 ,取得極大值 ;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示: 利用極限的保號(hào)性 .第24頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四在的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且則在點(diǎn)處(A) 不可導(dǎo) ;(B) 可導(dǎo), 且(C) 取得極大值 ;(D) 取得極小值 .D提示: 利用極限的保號(hào)性 .2. 設(shè)第25頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四是方程的一個(gè)解,若且則在(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示:A3. 設(shè)第26頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四

8、設(shè) f ( x )連續(xù)，且 f ( a )是 f ( x )的極值，問 f 2( a )是否是 f 2( x )的極值 .證則得 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的極小值; 不妨設(shè) f ( a )是 f ( x )的極小值 ,有第27頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四由 f ( x )在 x = a 處連續(xù)，得f 2( a )是 f 2( x )的極大值.同理可討論f ( a ) 是f ( x )的極大值的情況.由極限的保號(hào)性 , 知由得第28頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四試問 為何值時(shí),在時(shí)取得極值 ,還是極小.解: 由題意應(yīng)有又取得極大值為備用題 求出該極值,并指出它是極大第29頁，共32頁，2022年，