二分法求解單變量非線性方程及其應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)

1、二分法求解單變量非線性方程及其應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)論文關(guān)鍵詞：二分法單變量非線性方程收斂性誤差論文摘要：本文主要通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)研究單變量非線性方程fx=0的二分法求解及此方法的收斂性，根據(jù)誤差估計(jì)確定二分次數(shù)并進(jìn)展求解。同時(shí)實(shí)現(xiàn)atlab和語(yǔ)言程序編寫。從而掌握過(guò)程的根本形式和二分法的根本思想，在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中得以應(yīng)用。1.引言在科學(xué)研究與工程技術(shù)中常會(huì)遇到求解非線性方程f(x)=0的問(wèn)題。而方程f(x)是多項(xiàng)式或超越函數(shù)又分為代數(shù)方程或超越方程。對(duì)于不高于四次的代數(shù)方程已有求根公式，而高于四次的代數(shù)方程那么無(wú)準(zhǔn)確的求根公式，至于超越方程就更無(wú)法求其準(zhǔn)確解了。因此，如何求得滿足一定精度要求的方程的近似

2、根也就成為了我們迫切需要解決的問(wèn)題。近年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)科學(xué)研究的不斷進(jìn)展，又更新了許多方程求解的方法。我們知道，對(duì)于單變量非線性方程fx=0，一般都可采用迭代法求根，由此產(chǎn)生了二分法。2.二分法一般地，對(duì)于函數(shù)f(x),假如存在實(shí)數(shù),當(dāng)x=時(shí)f()=0,那么把x=叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。解方程即要求f(x)的所有零點(diǎn)。先找到a、b，使f(a)，f(b)異號(hào)，說(shuō)明在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)，然后求f(a+b)/2,如今假設(shè)f(a)0,f(b)0,ab假如f(a+b)/2=0，該點(diǎn)就是零點(diǎn)，假如f(a+b)/20,那么在區(qū)間(a+b)/2，b)內(nèi)有零點(diǎn)，(a+b)/2=a，從開(kāi)場(chǎng)繼續(xù)使用中點(diǎn)函數(shù)值

3、判斷。假如f(a+b)/20，那么在區(qū)間(a,(a+b)/2)內(nèi)有零點(diǎn)，(a+b)/2=b，從開(kāi)場(chǎng)繼續(xù)使用中點(diǎn)函數(shù)值判斷。這樣就可以不斷接近零點(diǎn)。通過(guò)每次把f(x)的零點(diǎn)所在小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步迫近函數(shù)的零點(diǎn)，以求得零點(diǎn)的近似值，這種方法叫做二分法。給定準(zhǔn)確度,用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下:1.確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證f(a)f(b)0,給定準(zhǔn)確度.2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn).3.計(jì)算f().(1)假設(shè)f()=0,那么就是函數(shù)的零點(diǎn);(2)假設(shè)f(a)f()0,那么令b=;(3)假設(shè)f()f(b)0,那么令a=.4.判斷是否到達(dá)準(zhǔn)確度:即假設(shè)a-b,那么得到零點(diǎn)

4、近似值a(或b),否那么重復(fù)2-4.由于計(jì)算過(guò)程的詳細(xì)運(yùn)算復(fù)雜，但每一步的方式一樣，所以可通過(guò)編寫程序來(lái)運(yùn)算。3.實(shí)例引入二分法求解單變量非線性方程的例子很多，僅以此例進(jìn)展分析：求方程fx=x-x-1=0在區(qū)間1.0，1.5內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。4.問(wèn)題分析對(duì)于以上單變量非線性方程，a=1.0，b=1.5，采用二分法求解。首先我們根據(jù)二分法所允許的誤差范圍求得應(yīng)迭代次數(shù)。二分法允許的誤差公式：|x*-|(-)/2=b-a/0.005，其中k為二分次數(shù)。所以求得此題應(yīng)二分6次到達(dá)預(yù)定的精度。5.解題過(guò)程這里a=1.0，b=1.5，而fa0，fb0。a,b的中點(diǎn)x0=1.25，將

5、區(qū)間二等分。由于fx00,即fx0與fa同號(hào)，故所求根x*必在x0右側(cè)，這是應(yīng)令a1=1.25，b1=1.5，得到新的有根區(qū)間a1，b1.如此反復(fù)二分6次，結(jié)果如下：k/二分次數(shù)/區(qū)間左邊界值/右邊界值f()的符號(hào)1234561.01.251.31251.32031.51.3751.34381.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242+6.根本二分法的atlab實(shí)現(xiàn)與語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)6.1%二分法的算法及atlab實(shí)現(xiàn)funtin,err,y=biset(f,a,b,delta)%f是所要求解的函數(shù)%a和b分別是有根區(qū)間的左右限%delta是允許的誤差界%

6、為所求的近似解%y為函數(shù)f在上的值%err是的誤差估計(jì)ifnargin4delta=1e-5;endya=feval(f,a);yb=feval(f,b);ifyb=0,=b,returnendifya*yb0disp(a,b)不是有根區(qū)間);returnendax1=1+rund(lg(b-a)-lg(delta)/lg(2);frk=1:ax1=(a+b)/2;y=fevel(f,);ify=0a=;b=;break,elseifyb*y0b=;yb=y;elsea=;ya=;endif(b-a)delta,breakendendk,=(a+b)/2,err=abs(b-a),y=feva

7、l(f,)6.2%根本二分法的語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)方程式為：f(x)=0，例如中f(x)=1+x-x3使用例如：inputabe:121e-5slutin:1.32472源碼如下：#inludestdi.h#inludestdlib.h#inludeath.h#inludeassert.hdublef(dublex)return1+x-x*x*x;intain()dublea=0,b=0,e=1e-5;printf(inputabe:);sanf(%lf%lf%lf,a,b,e);e=fabs(e);if(fabs(f(a)=e)printf(slutin:%lgn,a);elseif(fabs(f(b)

8、=e)printf(slutin:%lgn,b);elseif(f(a)*f(b)0)printf(f(%lg)*f(%lg)0!need=0!n,a,b);elsehile(fabs(b-a)e)duble=(a+b)/2.0;if(f(a)*f()0)b=;elsea=;printf(slutin:%lgn,(a+b)/2.0);return0;7.方法總結(jié)7.1二分法解題的根本步驟：1計(jì)算fx的有根區(qū)間a,b端點(diǎn)處的值fa，fb。2計(jì)算f(x)的區(qū)間中點(diǎn)的值fa+b/2。3進(jìn)展函數(shù)值的符號(hào)比擬。4根據(jù)誤差估計(jì)二分到一定次數(shù)到達(dá)精度，從而求得近似值。7.2二分法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：算法簡(jiǎn)單，容

9、易理解，且總是收斂的缺點(diǎn)：收斂速度太慢，浪費(fèi)時(shí)間所以，在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們將根據(jù)方程的形式和二分法的優(yōu)缺點(diǎn)不單獨(dú)將其用于求根，只用其為根求得一個(gè)較好的近似值，方便其他方法的運(yùn)算。8.結(jié)論(1)針對(duì)現(xiàn)實(shí)中的許多剖面設(shè)計(jì)、軌道設(shè)計(jì)等關(guān)鍵參數(shù)方程中三角函數(shù)多、計(jì)算工作量較大、迭代收斂條件強(qiáng)等問(wèn)題，采取數(shù)學(xué)變化的方法將該方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)只包含對(duì)數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)的新方程，并提出了尋找求解區(qū)間的步長(zhǎng)搜索算法和自適應(yīng)步長(zhǎng)搜索算法，進(jìn)而使用二分法求新方程的數(shù)值解。(2)數(shù)學(xué)分析和數(shù)值理論說(shuō)明，該算法不僅可以正確判斷設(shè)計(jì)方程是否有解，而且在有解的情況下可以正確求出該解，計(jì)算量小，計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定。參考文獻(xiàn)【1】曾毅;改良的遺傳算法在非線性方程組求解中的應(yīng)用j;華東交通大學(xué)學(xué)報(bào);2022年04期;136-138【2】許小勇,宋昔芳;一種求解非線性方程全部實(shí)根的算法與實(shí)現(xiàn)j;科技廣場(chǎng);2022年01期;15-17【3】王興華,郭學(xué)萍;