樣本及抽樣分布概述

1、第一章 樣本及抽樣分布本章轉(zhuǎn)入入課程的的第二部部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)的特點(diǎn)點(diǎn)是應(yīng)用用面廣，分支較較多。社社會(huì)的發(fā)發(fā)展不斷斷向統(tǒng)計(jì)計(jì)提出新新的問(wèn)題題。從歷史的的典籍中中，人們們不難發(fā)發(fā)現(xiàn)許多多關(guān)于錢(qián)錢(qián)糧、戶戶口、地地震、水水災(zāi)等等等的記載載，說(shuō)明明人們很很早就開(kāi)開(kāi)始了統(tǒng)統(tǒng)計(jì)的工工作。但但是當(dāng)時(shí)時(shí)的統(tǒng)計(jì)計(jì)，只是是對(duì)有關(guān)關(guān)事實(shí)的的簡(jiǎn)單記錄錄和整理理，而沒(méi)有有在一定定理論的的指導(dǎo)下下，作出出超越這這些數(shù)據(jù)據(jù)范圍之之外的推斷。到了十九九世紀(jì)末末二十世世紀(jì)初，隨著近近代數(shù)學(xué)學(xué)和概率率論的發(fā)發(fā)展，才才真正誕誕生了數(shù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)這門(mén)門(mén)學(xué)科。數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)是一一門(mén)應(yīng)用用性很強(qiáng)強(qiáng)的學(xué)科科。它是研究究怎樣以以有效的

2、方方式收集、整整理和和分析受隨機(jī)影影響的數(shù)數(shù)據(jù)，并對(duì)所所考察的的問(wèn)題作作出推斷和預(yù)測(cè)，直至為為采取決決策和行行動(dòng)提供供依據(jù)和建議。數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)不同于于一般的的資料統(tǒng)統(tǒng)計(jì)，它它更側(cè)重重于應(yīng)用用隨機(jī)現(xiàn)現(xiàn)象本身身的規(guī)律律性進(jìn)行行資料的的收集、整理和和分析。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的、局部的資料，對(duì)所研究問(wèn)題的整體, 盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論。在數(shù)理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)對(duì)所研究究的對(duì)象象全體(稱(chēng)為總體)進(jìn)行觀察察，而是是抽取其其中的部部分(稱(chēng)為樣本)進(jìn)行觀察察獲得數(shù)數(shù)據(jù)（抽樣），并通通過(guò)這些些數(shù)據(jù)對(duì)對(duì)總體進(jìn)進(jìn)行推斷斷。由于推斷斷是基于于抽樣數(shù)數(shù)據(jù)，抽抽樣數(shù)據(jù)據(jù)又不能能

3、包括研研究對(duì)象象的全部部信息。因而由由此獲得得的結(jié)論論必然包包含不肯定性性。所以，在數(shù)理理統(tǒng)計(jì)中中必然要要用到概概率論的的理論和和方法。由此也可可以說(shuō)：概率論是是數(shù)理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)的基基礎(chǔ)，而而數(shù)理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)是概概率論的的重要應(yīng)應(yīng)用。但但它們是是并列的的兩個(gè)學(xué)學(xué)科，并并無(wú)從屬屬關(guān)系。需要強(qiáng)調(diào)調(diào)說(shuō)明一一點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)方法法具有“部分推斷斷整體”的特征征 。因?yàn)槲覀儌兪菑囊灰恍〔糠址謽颖居^察值去去推斷該該全體對(duì)對(duì)象（總體）情況，即由部部分推斷斷全體。 這里里使用的的推理方方法是“歸納推理理”。這種歸納納推理不不同于數(shù)數(shù)學(xué)中的的“演繹推理理”。它在作出出結(jié)論時(shí)時(shí)，是根根據(jù)所觀觀察到的的大量個(gè)個(gè)別情況況，“歸納”起來(lái)所

4、所得，而而不是從從一些假假設(shè)、命命題、已已知的事事實(shí)等出出發(fā)，按按一定的的邏輯推理去得出來(lái)來(lái)的。如果這一一切都建建立在可可靠的科科學(xué)基礎(chǔ)礎(chǔ)上，則則對(duì)總體體下結(jié)論論是可能能的也是是可靠的的。因因?yàn)檫@這里存在在著樣品品（隨機(jī)機(jī)抽取的的一個(gè)個(gè)個(gè)體）個(gè)個(gè)性(特殊性)和總體共共性(普遍性)之間的一一種內(nèi)在在的、對(duì)對(duì)立統(tǒng)一一的辯證證關(guān)系。但此時(shí)還還應(yīng)記住住畢竟是是由“局部”推斷“整體”，因而而仍可能能犯錯(cuò)誤，結(jié)論往往往又是是在某個(gè)個(gè)“可靠性水水平”之下得得出的。1.1隨隨機(jī)樣樣本1.總體與個(gè)個(gè)體一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)問(wèn)題總有有它明確確的研究究對(duì)象。研究對(duì)象象的全體體稱(chēng)為總體(母母體)，總體中每每個(gè)成員員稱(chēng)為個(gè)體。然而

5、在統(tǒng)統(tǒng)計(jì)研究究中，人人們關(guān)心心總體僅僅僅是關(guān)關(guān)心其每每個(gè)個(gè)體體的一項(xiàng)項(xiàng)(或幾幾項(xiàng))數(shù)數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量量指標(biāo)在在總體中中的分布情況。這這時(shí)，每每個(gè)個(gè)體體具有的的數(shù)量指指標(biāo)的全全體就是是總體。該批燈泡泡壽命的的全體就就是總體某品牌轎轎車(chē)百公公里耗油油量的全全體就是是總體某批燈泡的壽命某品牌轎車(chē)百公里耗油量由于每個(gè)個(gè)個(gè)體的的出現(xiàn)是是隨機(jī)的的，所以以相應(yīng)的的數(shù)量指指標(biāo)的出出現(xiàn)也帶帶有隨機(jī)機(jī)性。從從而可以以把這種種數(shù)量指指標(biāo)看作作一個(gè)隨隨機(jī)變量量，因此此隨機(jī)變變量的分分布就是是該數(shù)量量指標(biāo)在在總體中中的分布布。這樣，總體就可可以用一一個(gè)隨機(jī)機(jī)變量及及其分布布來(lái)描述述。統(tǒng)計(jì)的任任務(wù),是根據(jù)從從總體中中抽取

6、的的樣本，去推斷總總體的性性質(zhì)。由于我們們關(guān)心的的是總體體中的個(gè)個(gè)體的某某項(xiàng)指標(biāo)標(biāo)(如人的身身高、體體重，燈燈泡的壽壽命,汽車(chē)的耗耗油量)，所謂總體體的性質(zhì)質(zhì)，無(wú)非就是是這些指標(biāo)值的的集體的的性質(zhì)。而概率分布布正是刻劃劃這種集集體性質(zhì)質(zhì)的適當(dāng)當(dāng)工具。因此在在理論上上可以把總體與與概率分分布等同同起來(lái)。在數(shù)理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)中，總體這這個(gè)概念念的要旨是：總體就是是一個(gè)概概率分布布。-500050010001500200005101520252.樣本為推斷總總體分布布及各種種特征，按一定定規(guī)則從從總體中中抽取若若干個(gè)體體進(jìn)行觀觀察試驗(yàn)驗(yàn)，以獲獲得有關(guān)關(guān)總體的的信息，這一抽抽取過(guò)程程稱(chēng)為“抽樣”，所抽抽取的部

7、部分個(gè)體體稱(chēng)為樣本。樣本中中所包含含的個(gè)體體數(shù)目稱(chēng)稱(chēng)為樣本容量量。從某品牌轎車(chē)中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)樣本容量量為5容量為 n 的樣本（也稱(chēng)為子樣）可以看作 n 維隨機(jī)變量：( X1 , X2 , , Xn )但是，一一旦取定定一組樣樣本，得得到的是是n個(gè)具體的的數(shù)(x1, x2, ,xn)，稱(chēng)為為樣本的的一次觀觀察值，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本觀察察值。由于抽樣樣的目的的是為了了對(duì)總體體進(jìn)行統(tǒng)統(tǒng)計(jì)推斷斷，為了了使抽取取的樣本本能很好好地反映映總體的的信息，必須考考慮抽樣樣方法。最常用的的一種抽抽樣方法法叫作“簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣”，它要要求抽取取的樣本本滿足下下面兩點(diǎn)點(diǎn):1.代表性：X1, X2, ,Xn中每一個(gè)個(gè)與

8、所考考察的總總體有相相同的分分布。2.獨(dú)立性：X1, X2, ,Xn是相互獨(dú)獨(dú)立的隨隨機(jī)變量量。由簡(jiǎn)單隨隨機(jī)抽樣樣得到的的樣本(子樣）稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)樣本（子樣）。用（ X1, X2, ,Xn）表示。簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)樣本是是應(yīng)用中中最常見(jiàn)見(jiàn)的情形形，今后后，當(dāng)說(shuō)說(shuō)到（ X1, X2, ,Xn）是取自某某總體的的樣本時(shí)時(shí)，若不不特別說(shuō)說(shuō)明，就就指簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)樣本。3.總體、樣樣本、樣樣本值的的關(guān)系總體（理理論分布布）樣本樣本值總體分布布決定了了樣本取取值的概概率規(guī)律律，也就就是樣本本取到樣樣本值的的規(guī)律，因而可可以由樣樣本值去去推斷總總體。2.2抽抽樣分分布1.統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量及及其抽樣樣分布由樣本值值去推斷斷總

9、體情情況，需需要對(duì)樣樣本值進(jìn)進(jìn)行“加工”，這就就要構(gòu)造造一些樣樣本的函函數(shù)，它它把樣本本中所含含的（某某一方面面）的信信息集中中起來(lái)。這種不含任何何未知參參數(shù)的樣樣本的函函數(shù)稱(chēng)為為統(tǒng)計(jì)量。它是完完全由樣樣本決定定的量。統(tǒng)計(jì)量量的分布布稱(chēng)為抽樣分布布。2.樣樣本均均值及其其抽樣分分布樣本均值值反映了總總體均值值的信息息分組樣本本場(chǎng)合：其中k為組數(shù)；xi為第i組的組中中值；fi為第i組的頻率率。定理: 設(shè) 是來(lái)自某總體的樣本, 為 樣本均值。若總體分布為 N( ,2), 則 的精確分布為 N(, 2/n ) ；若總體分布未知或不是正態(tài)分布，則 的漸近分布為 N(, 2/n ) ；樣本方差差與樣本本

10、標(biāo)準(zhǔn)差差它反映了了總體方方差的信息定理設(shè)總體X具有二二階矩，EX=,DX=22t分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)n充分大時(shí)時(shí)，其圖圖形類(lèi)似似于標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分分布密度度函數(shù)的的圖形。請(qǐng)看演示示t分布不難看到到，當(dāng)n充分大時(shí)時(shí)，t分布近似似N(0,1)分布布。但但對(duì)于于較小的的n，t分布與N(0,1)分布布相差很很大。3、F分布定義: 設(shè) X與Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n1及 n2 的F分布，n1稱(chēng)為第一自由度，n2稱(chēng)為第二自由度，記作 ： F F ( n1 , n2 ) .Fisher由定義可可見(jiàn)， F ( n2, n1)若XF(n1,n2)，X的概率密密度為X的數(shù)學(xué)期期望為:若n22即

11、它的數(shù)數(shù)學(xué)期望望并不依依賴(lài)于第第一自由由度n1.F分布演示分位數(shù)演演示例如：1.6452.326-2.3262.4469-2.446914.4491.237計(jì)算9.20 xy一般地，證：令：則xy=0.1605四、幾個(gè)個(gè)重要的的抽樣分分布定理理定理1(樣本均值值的分布布)設(shè)X1, X2, , Xn 是取自正態(tài)總體的樣本，則有： n取不同值時(shí)樣本均值 的分布定理2(樣本方差差的分布布)設(shè)X1, X2, , Xn 是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有：說(shuō)明：n取不同值時(shí) 的分布 定理3 設(shè) X1,X2,Xn 是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有：證明：獨(dú)立定理4(兩總體樣樣本均值值差