高中數(shù)學中對稱性問題

高中數(shù)學中對稱性問題高中數(shù)學中對稱性問題高中數(shù)學中對稱性問題合用標準對稱性與周期性函數(shù)對稱性、周期性的判斷1.函數(shù)yf(x)有f(ax)f(bx)（若等式兩端的兩自變量相加為常數(shù)，如(ax)(bx)ab），則f(x)的圖像對于xabb時，若2軸對稱；當af(ax)f(ax)(或f(x)f(2ax))，則f(x)對于xa軸對稱；2.函數(shù)yf(x)有f(xa)f(xb)（若等式兩端的兩自變量相減為常數(shù)，如(xa)(xb)ab），則f(x)是周期函數(shù)，其周期Tab；當ab時，若f(xa)f(xa)，則f(x)是周期函數(shù)，其周期T2a；3.函數(shù)yf(x)的圖像對于點P(a,b)對稱f(x)f(2ax)2b(或f(x)=2bf(2ax))；函數(shù)yf(x)的圖像對于點P(a,0)對稱f(x)=f(2ax)(或f(ax)=f(ax))；奇函數(shù)yf(x)偶函數(shù)yf(x)

的圖像對于點P(a,0)的圖像對于點P(a,0)

對稱yf(x)是周期函數(shù)，且T2a是函數(shù)的一個周期；對稱yf(x)是周期函數(shù)，且T4a是函數(shù)的一個周期；5.奇函數(shù)yf(x)的圖像對于直線xa對稱yf(x)是周期函數(shù)，且T4a是函數(shù)的一個周期；偶函數(shù)yf(x)的圖像對于直線xa對稱yf(x)是周期函數(shù)，且T2a是函數(shù)的一個周期；6.函數(shù)yf(x)的圖像對于點M(a,0)和點N(b,0)對稱函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2(ab)是函數(shù)的一個周期；7.函數(shù)yf(x)的圖像對于直線xa和直線xb對稱函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2(ab)是函數(shù)的一個周期。文檔合用標準關(guān)系圖像特色f(x)f(x)對于y軸對稱f(x)f(x)對于原點對稱f(ax)f(xa)對于y軸對稱f(ax)f(ax)，或f(x)f(2ax)對于直線xa對稱f(x)f(ax)a對于直線x軸對稱2f(ax)f(bx)ab對于直線x對稱2f(x)f(xa)周期函數(shù)，周期為a對點稱、點直對(直線P(a,b)l:AxByC0C:f(x,y)0稱線軸)(對稱中心)原點（0，0）(a,b)A(x)B(y)C0f(x,y)0M(x0,y0)(2x0a,2y0b)A(2x0x)B(2y0y)C0f(2x0x,2y0y)0x軸(a,b)AxB(y)C0f(x,y)0y軸(a,b)A(x)ByC0f(x,y)0直線xy(b,a)BxAyC0f(x,y)0直線xy(b,a)B(x)A(y)C0f(y,x)0xym0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0xym0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0點對于點的對稱中心對稱問題（點對稱問題）直線對于點的對稱曲線對于點的對稱對稱問題點對于直線的對稱軸對稱問題（線對稱問題）直線對于直線的對稱曲線對于直線的對稱一、點對稱點對于點的對稱點問題文檔合用標準若點A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AB中點M的坐標是(x1x2,y1y2)；據(jù)此可以解求點與點的22中心對稱，即求點M(x0,y0)對于點P(a,b)的對稱點M'的坐標(x,y)，利用中點坐標公式可得ax0x,by0y，解算的M'的坐標為(2ax0,2by0)。22比方點M(6,-3)對于點P(1,-2)的對稱點M'的坐標是(4,1).①點M(x0,y0)對于點P(a,b)的對稱點M'的坐標(2ax0,2by0);②點M(x0,y0)對于原點的對稱點M'的坐標(2ax0,2by0)=(x0,y0).直線對于點對稱①直線L：AxByC0對于原點的對稱直線設所求直線上一點為M(x,y)，則它對于原點的對稱點為M'(x,y)，因為M'點在直線L上，故有A(x)B(y)C0，即AxByC0；②直線l1：AxByC0對于某一點P(a,b)的對稱直線l2它的求法分兩種情況：1)、當P(a,b)在l1上時，它的對稱直線為過P點的任一條直線。、當P點不在l1上時，對稱直線的求法為：解法（一）：在直線l2上任取一點M(x,y)，則它對于P的對稱點為M'(2ax,2by)，因為M'點在l1上，把文檔合用標準M'點坐標代入直線在l1中，便獲取l2的方程即為A(2ax)B(2by)C0，簡化為：AxByC2aA2bB0.解法（二）：在l1上取一點M(x1,y1)，求出M對于P點的對稱點M'(2ax1,2by1)的坐標。再由Kl1Kl2A，可求出直線l2的方程。B解法（三）：由Kl1Kl2，可設l1:AxByC0對于點P(a,b)的對稱直線為AxByC'0AaBbCAaBbC'且A2B2A2求設C'進而可求的及對稱直線方程。B2(3)曲線對于點對稱曲線C1:f(x,y)0對于P(a,b)的對稱曲線的求法：設M(x,y)是所求曲線的任一點，則M點關(guān)于P(a,b)的對稱點為(2ax,2by)在曲線f(x,y)0上。故對稱曲線方程為f(2ax,2by)0。二、直線的對稱點對于直線的對稱1)點P(a,b)對于x軸的對稱點為P'(a,b)2)點P(a,b)對于y軸的對稱點為P'(a,b)對于直線對于直線

xm的對稱點是P'(2ma,b)yn的對稱點是P'(a,2nb)5)點P(a,b)對于直線yx的對稱點為P'(b,a)6)點P(a,b)對于直線yx的對稱點為P'(b,a)7)點P(a,b)對于某直線L:AxByC0的對稱點P'的坐標BB(xAxByC0解法（一）：由PP'⊥L知，KPP'直線PP'的方程→yba)，由bB(xa)AAyA可求得交點坐標，再由中點坐標公式求得對稱點P'的坐標。文檔合用標準解法（二）：設對稱點為P'(x,y)，由中點坐標公式求得中點坐標為(ax,by)把中點坐標代入22L中獲取AaxBbyC0①；再由KPP'B得byB②，聯(lián)立①、②可獲取P'點坐標。22AaxA解法（三）：設對稱點為P'(x,y)，由點到直線的距離公式有AaBbCAxByCA2B2A2①，再B2由KPP'BbyBP'點坐標。A得x②，由①、②可獲取aA(2)直線l1對于直線l的對稱直線l2設直線l:AxByC0，則l對于x軸對稱的直線是AxB(y)C0對于y軸對稱的直線是A(x)ByC0對于yx對稱的直線是BxAyC0關(guān)于yx對稱的直線是A(y)B(x)C01)當l1與l不訂交時，則l1∥l∥l2在l1上取一點M(x0,y0)求出它對于l的對稱點M'的坐標。再利用Kl1Kl2可求出l2的方程。2)當l1與l訂交時，l1、l、l2三線交于一點。解法（一）：先解l1與l組成的方程組，求出交點A的坐標。則交點必在對稱直線l2上。再在l1上找一點B，點B的對稱點B'也在l2上，由A、B'兩點可求出直線l2的方程。解法（二）：在l1上任取一點P(x1,y1)，則P點關(guān)于直線l的對稱點Q在直線l2上，再由PQ⊥l，KPQgKL1。又PQ的中點在l上，由此解得xf(x,y),yg(x,y)，把點(x,y)代入直線l的11111文檔合用標準方程中可求出l2的方程。解法（三）：設l1對于l的對稱直線為l2，則l2必過l1與l的交點，且l2到l的角等于l到l1的角，進而求出l2的斜率，進而求出l2的方程。例：求直線l1:2xy30對于直線l:xy10對稱的直線l２的方程l解：設Mx,y為所求直線l２上任意一點，則其對于l對稱的點M'x1,y1.在直線１上yy111(MM'l,即KMM'gKl=-1)xxx11y1xx1yy110(MM'的中在l上)y11x22又Q2x1y13021y1x30故所求直線方程為x2y40曲線對于直線對稱曲線C1對于直線l的對稱曲線C2的方程，在C2上任取一點M(x,y)，可求出它對于l的對稱點坐標，再代入C1中，即可求得C2的方程。例：求圓x2y21對于直線l：xy10的對稱圓的方程解法（一）：設Mx,y為所求圓上任意一點，則其對于l對稱的點M'x1,y1在x2y21上.yy111(MM'l,即Kgxx1MM'Kl=-1)x11yxx1yy110(MM'的中在l上)y11x22Qx12y121y2x21--即為對稱圓的方程11解法（二）：求圓心（0，0）對于l對稱點C（1，1）所求圓方程為y2x2111例：求橢圓x2y21對于直線l：xy10對稱橢圓的方程2y2解：設Mx,y為所求橢圓上任意一點，則其對于l對稱的點M'x1,y1在x21上.2x11y121y2x1Q1x2y1綜合上述，求對稱問題平時采用變量代替、數(shù)形結(jié)合等解題思想。求對稱問題的通法是：⑴求對文檔合用標準稱點一般采用，先設對稱點P(x,y)，再利用中點坐標公式或垂直、均分等條件，列出x,y的方程組，解方程組所得的解就是對稱點的坐標，⑵求對稱直線一般是：先設對稱曲線上任一點M(x,y)，再利用求對稱點的方程求出M點的對稱點M'點坐標，將M'點坐標代入已知曲線方程中，所得的對于x,y的關(guān)系式，就是所求對稱曲線的方程。經(jīng)過上述研究，剖析幾何中的各種對稱點，對稱曲線（包括直線）列表以下：對點稱、點(直直P(a,b)l:AxByC0C:f(x,y)0對線線稱軸)(對稱中心)原點（0，0）(x0,y0)軸軸直線xy直線xyxym0xym0

(a,b)A(x)B(y)C0f(x,y)0(2x0a,2y0b)A(2x0x)B(2y0y)C0f(2x0x,2y0y)0(a,b)AxB(y)C0f(x,y)0(a,b)A(x)ByC0f(x,y)0(b,a)BxAyC0f(x,y)0(b,a)B(x)A(y)C0f(y,x)0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0三、函數(shù)圖像自己的對稱(1)一般地，函數(shù)yf(x)的圖象對于xabyf(x)滿足f(ax)f(bx)對稱2證明:1)若yf(x)滿足f(ax)f(bx),設P(x0,y0)是yf(x)的圖象上的任意一點,則abbx0,y0)y0f(x0),P(x0,y0)對于直線x2的對稱點是Q(a由條件知f(abx0)f(b(bx0))f(x0)y0文檔合用標準所以Q(abx0,y0)在yf(x)的圖象上,故函數(shù)yab對稱.f(x)的圖象對于x22)若函數(shù)yabf(x)的圖象上的任意一點，則f(x)的圖象對于x對稱.設P(x0,y0)是yab2P(x0,y0)對于xQ(abx0,y0)也在yf(x)的圖象上。進而有2對稱點y0f(x0)f(abx0)。令bx0x則有f(ax)f(bx)特例：①當b=a時，函數(shù)yf(x)的圖象對于xa對稱yf(x)滿足f(ax)f(ax)②當a=0,b=2m時，函數(shù)yf(x)的圖象對于xm對稱yf(x)滿足f(x)f(2mx)③當a+b=0時，函數(shù)yf(x)的圖象對于x0對稱yf(x)滿足f(ax)f(ax)或f(ax)f(ax)(2)函數(shù)yf(x)對于點(a,b)對稱f(ax)f(ax)2b，或f(2ax)f(x)2b或f(2ax)f(x)2b簡證：設點(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，經(jīng)過f(2ax)f(x)2b可知，f(2ax1)f(x1)2b，所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以點(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而點(2ax1,2by1)與(x1,y1)對于(a,b)對稱。得證。關(guān)系圖像特色f(x)f(x)對于y軸對稱f(x)f(x)對于原點對稱f(ax)f(xa)對于y軸對稱f(ax)f(ax)，或f(x)f(2ax)對于直線xa對稱f(x)f(ax)a對于直線x軸對稱2f(ax)f(bx)ab對于直線x對稱2f(x)f(xa)周期函數(shù)，周期為a文檔合用標準四、兩個函數(shù)圖像的對稱關(guān)系yf(x)與yf(x)換種說法：yf(x)與yg(x)若滿足f(x)g(x)yf(x)與yf(x)yf(x)與yf(x)yf(x)與yf1(x)yf(ax)與yf(bx)yf(ax)與yf(ax)或yf(x)與yf(2ax)yf(x)與y2af(x)換種說法：yf(x)與yg(x)若滿足f(x)g(x)2ayf(x)與y2bf(2ax)換種說法：yf(x)與yg(x)若滿足f(x)g(2ax)2b五、周期性

圖像特色對于y軸對稱對于x軸對稱對于原點對稱對于直線yx對稱對于直線xab對稱2對于直線xa對稱對于直線ya對稱對于點(a,b)對稱1、一般地，對于函數(shù)f(x)，若是存在一個非零常數(shù)T，使適合x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。說明：周期函數(shù)定義域必是無界的。實行：若f(xa)f(xb)，則f(x)是周期函數(shù)，ba是它的一個周期2.若T是周期，則kT(k0,kZ)也是周期，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說的周期文檔合用標準是指函數(shù)的最小正周期。說明：周期函數(shù)其實不是都有最小正周期。如常函數(shù)f(x)C；3、對于非零常數(shù)A，若函數(shù)yf(x)滿足f(xA)f(x)，則函數(shù)yf(x)必有一個周期為2A。證明：f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)∴函數(shù)yf(x)的一個周期為2A。4、對于非零常數(shù)A，函數(shù)yf(x)滿足f(xA)1yf(x)的一個周期為2A。，則函數(shù)f(x)證明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。f(xA)5、對于非零常數(shù)A，函數(shù)yf(x)滿足f(xA)1，則函數(shù)yf(x)的一個周期為2A。f(x)證明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。f(xA)6、已知函數(shù)f(x)的定義域為N，且對任意正整數(shù)x都有f(x)f(xa)f(xa)(a0)則函數(shù)的一個周期為6a證明：f(x)f(xa)f(xa)（1）f(xa)f(x)f(x2a)（2）兩式相加得：f(xa)f(x2a)f(x)f(x3a)f(x6a)六、對稱性和周期性之間的聯(lián)系性質(zhì)1：函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)(ab)，求證：函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)。證明：∵f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)∴f(2ax)f(2bx)文檔合用標準∴f(x)f(2b2ax)∴函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2b2a是一個周期。性質(zhì)2：函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)時，函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)。（函數(shù)yf(x)圖象有兩個對稱中心（a，ccf(x)是周期函數(shù)，且）、（b，）時，函數(shù)y22對稱中心距離的兩倍，是函數(shù)的一個周期）證明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax