自動控制原理+課后答案

..>自控原理課后習(xí)題精選2-5試分別列寫圖2-3中各無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程〔設(shè)電容上的電壓為，電容上的電壓為，以此類推〕。圖2-3習(xí)題2-5無源網(wǎng)絡(luò)示意圖解：〔a〕設(shè)電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為〔b〕設(shè)電容、上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為〔c〕設(shè)電阻上電壓為，兩電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔2〕代入〔4〕并整理得〔5〕〔1〕、〔2〕代入〔3〕并整理得兩端取微分，并將〔5〕代入，整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為2-6求圖2-4中各無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。圖2-4習(xí)題2-6示意圖解：〔a〕由圖得〔1〕〔2〕〔2〕代入〔1〕，整理得傳遞函數(shù)為〔b〕由圖得〔1〕〔2〕整理得傳遞函數(shù)為〔c〕由圖得〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕整理得傳遞函數(shù)為2-8試簡化圖2-6中所示系統(tǒng)構(gòu)造圖，并求傳遞函數(shù)和。解：〔a〕⑴求傳遞函數(shù)，按以下步驟簡化構(gòu)造圖：圖2-6習(xí)題2-8系統(tǒng)構(gòu)造圖示意圖令，利用反響運算簡化如圖2-8a所示圖2-6習(xí)題2-8系統(tǒng)構(gòu)造圖示意圖圖2圖2-8a②串聯(lián)等效如圖2-8b所示圖2-8b圖2-8b③根據(jù)反響運算可得傳遞函數(shù)⑵求傳遞函數(shù)，按以下步驟簡化構(gòu)造圖：①令，重畫系統(tǒng)構(gòu)造圖如圖2-8c所示圖2圖2-8c將輸出端的端子前移，并將反響運算合并如圖2-8d所示圖2-9d圖2-9d③和串聯(lián)合并，并將單位比較點前移如圖2-8e所示圖2-8e圖2-8e④串并聯(lián)合并如圖2-8f所示圖2圖2-8f⑤根據(jù)反響和串聯(lián)運算，得傳遞函數(shù)〔b〕求傳遞函數(shù)，按以下步驟簡化構(gòu)造圖：①將的引出端前移如圖2-8g所示圖2圖2-8g②合并反響、串聯(lián)如圖2-8h所示圖2-8h圖2-8h將的引出端前移如圖2-8i所示圖2-8i圖2-8i合并反響及串聯(lián)如圖2-8j所示圖2-8j圖2-8j⑤根據(jù)反響運算得傳遞函數(shù)2-10根據(jù)圖2-6給出的系統(tǒng)構(gòu)造圖，畫出該系統(tǒng)的信號流圖，并用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)和。解：〔a〕根據(jù)構(gòu)造圖與信號流圖的對應(yīng)關(guān)系，用節(jié)點代替構(gòu)造圖中信號線上傳遞的信號，用標(biāo)有傳遞函數(shù)的之路代替構(gòu)造圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對應(yīng)的信號流圖。如圖2-10a所示。圖2圖2-10a〔1〕令，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由信號流圖2-10a可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，，與互不接觸流圖特征式由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為〔2〕令，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由信號流圖2-10a可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有兩條前向通路，其增益為，有兩個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，沒有互不接觸的回路，所以流圖特征式為由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式，根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為〔b〕根據(jù)構(gòu)造圖與信號流圖的對應(yīng)關(guān)系，用節(jié)點代替構(gòu)造圖中信號線上傳遞的信號，用標(biāo)有傳遞函數(shù)的之路代替構(gòu)造圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對應(yīng)的信號流圖。如圖2-10b所示。圖2-10b圖2-10b求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由信號流圖2-10b可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，，與互不接觸流圖特征式為由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為3-3二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為，試求系統(tǒng)的超調(diào)量，峰值時間和調(diào)節(jié)時間。解：＝由上式可知，此二階系統(tǒng)的放大系數(shù)是10，但放大系數(shù)并不影響系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。由于標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達式為所以有解上述方程組，得所以，此系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)，其動態(tài)性能指標(biāo)如下超調(diào)量峰值時間調(diào)節(jié)時間3-4設(shè)單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求系統(tǒng)在單位階躍輸入下的動態(tài)性能。解題過程：由題意可得系統(tǒng)得閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中。這是一個比例－微分控制二階系統(tǒng)。比例－微分控制二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為故顯然有此系統(tǒng)得動態(tài)性能指標(biāo)為峰值時間超調(diào)量調(diào)節(jié)時間3-7設(shè)單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定義為多大值時，特使系統(tǒng)振蕩，并求出振蕩頻率。解：由題得，特征方程是列勞斯表由題意，令所在行為零得由行得解之得，所以振蕩角頻率為3-8單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的值范圍。解：由題可知系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表如下由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可得解上述方程組可得3-9系統(tǒng)構(gòu)造如圖3-1所示，，定義誤差，(1)假設(shè)希望圖a中，系統(tǒng)所有的特征根位于平面上的左側(cè)，且阻尼比為0.5，求滿足條件的的取值范圍。求圖a系統(tǒng)的單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。為了使穩(wěn)態(tài)誤差為零，讓斜坡輸入先通過一個比例微分環(huán)節(jié)，如圖b所示，試求出適宜的值。(a)(b)(a)(b)圖3-1習(xí)題3-9示意圖解：〔1〕閉環(huán)傳遞函數(shù)為即，代入上式得，列出勞斯表，，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)∴并沒有改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3-10單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：〔2〕試求輸入分別為和時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：〔2〕由上式可知，該系統(tǒng)是型系統(tǒng)，且。型系統(tǒng)在信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：。根據(jù)線性疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為，該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為4-2單位反響控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)為：(4)，畫出各系統(tǒng)的根軌跡圖。解：〔4〕按以下步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)開環(huán)有限零點為；開環(huán)有限極點為，，②實軸上根軌跡區(qū)間為③根軌跡的漸近線條數(shù)為，，④別離點方程為解得別離點根軌跡如以下列圖4-2d所示：圖4-2d圖4-2d4-6單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定時K的取值范圍。解：由題得開環(huán)極點：和開環(huán)零點：別離、會合點：從平面的零點、極點分布可知在區(qū)間內(nèi)可能有別離、會合點。記由，可得經(jīng)整理后得到用試探法或程序算得區(qū)間內(nèi)的一個根為，它就是實軸上的別離點。根軌跡自復(fù)數(shù)極點的出射角：根軌跡趨向復(fù)數(shù)零點的入射角：根軌跡與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程為令，可得由第二式得，代入第一式，得解得根據(jù)以上數(shù)據(jù)畫根軌跡圖，如圖4-6a所示。圖4圖4-6a根軌跡圖再分析系統(tǒng)得穩(wěn)定情況：根軌跡與虛軸第一個交點的頻率為，利用幅值條件可以計算出對應(yīng)的增益同樣可以算得與和對應(yīng)的增益參看根軌跡圖可知：系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍為：或5-2假設(shè)系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：試確定系統(tǒng)頻率特性解：單位階躍輸入信號的拉氏變換為系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為將代入傳遞函數(shù)可得5-4系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；試分析并繪制和情況下的概略幅相曲線。解：由題可知，系統(tǒng)的頻率特性如下由于系統(tǒng)，所以開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧當(dāng)時，當(dāng)時，又由于，所以有當(dāng)時，開環(huán)幅相曲線始終處于第三象限，如圖5-4a所示；當(dāng)時，開環(huán)幅相曲線始終處于第二象限，如圖5-4b所示。圖5-4a開環(huán)幅相曲線圖5-4b開環(huán)幅相曲線5-5系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試分別繪制時系統(tǒng)的概略開環(huán)幅相曲線。解：由題目可知，系統(tǒng)的頻率特性如下當(dāng)時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。假設(shè)，則假設(shè)，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當(dāng)時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。假設(shè)，則假設(shè)，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當(dāng)時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。假設(shè)，則假設(shè)，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當(dāng)時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。假設(shè)，則假設(shè)，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。圖5圖5-5a系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線5-8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制的對數(shù)頻率特性曲線，并算出截止頻率。解：由題可得則因此對數(shù)頻率特性曲線如圖5-8a所示圖5圖5-8a對數(shù)頻率特性曲線又，可得，即計算可得5-9系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：=1\*alphabetica．計算截止頻率。=2\*alphabeticb．確定對數(shù)幅頻漸進特性曲線的低頻漸進線的斜率。=3\*alphabeticc．繪制對數(shù)幅頻特性曲線。解：計算可得當(dāng)時，斜率為；當(dāng)時，斜率為；當(dāng)時，斜率為；當(dāng)時，斜率為；繪制對數(shù)幅頻特性曲線，如圖5-9a所示。圖5-9a對數(shù)幅頻特性曲線5-10利用奈氏判據(jù)分別判斷題5-4，5-5系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：對于題5-4的系統(tǒng)，分和的兩種情況來討論系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。當(dāng)時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖5-4a所示，由圖可知，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不包圍，根據(jù)奈奎斯特判據(jù)可得又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無極點，時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖5-4b所示，由圖可知，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個極點，時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)對于題5-5的系統(tǒng)，其開環(huán)幅相曲線如下列圖，由圖5-5a可知當(dāng)時，，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無極點，時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)時，，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個極點，時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-11用勞斯判斷據(jù)驗證題5-10的結(jié)果。解：〔1〕對于題5-4的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為列勞斯表則當(dāng)時，，即第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)時，，即第一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?〕對于題5-5的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為，即當(dāng)時，列勞斯表第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)時，列勞斯表第一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)時，情況與一樣，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-13系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；試根據(jù)奈氏判據(jù)，確定其閉環(huán)穩(wěn)定條件：=1\*alphabetica．時，值的范圍；=2\*alphabeticb．時，值的范圍；=3\*alphabeticc．，值的范圍。解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)的開環(huán)曲線圖如圖5-13a所示圖5圖5-13a系統(tǒng)開環(huán)曲線由于，故想要閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，必有，即幅相曲線不包圍點。系統(tǒng)的頻率特性表達式如下、時，對于開環(huán)幅相曲線與實軸的交點有由上式可得，則交點的實軸坐標(biāo)為由上式可得、時，對于開環(huán)幅相曲線與實軸的交點有由上式可得，則交點的實軸坐標(biāo)為由上式可得、對于開環(huán)幅相曲線與實軸的交點有由上式可得，則交點的實軸坐標(biāo)為由上式可得5-17*最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5-4所示。=1\*alphabetica．寫出其開環(huán)傳遞函數(shù)；=2\*alphabeticb．畫出其相頻特性草圖，并從圖上求出和標(biāo)明相角裕度和幅值裕度；=3\*alphabeticc．求出該系統(tǒng)到達臨界穩(wěn)定時的開環(huán)比例系數(shù)值；圖5-4習(xí)題5-17控制系統(tǒng)構(gòu)造圖=4\*alphabeticd．在復(fù)數(shù)平面上畫出其奈奎斯特曲線，并標(biāo)明點的位置。圖5-4習(xí)題5-17控制系統(tǒng)構(gòu)造圖解：〔1〕確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)。因?qū)?shù)幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為，由圖，低頻漸近斜率為，故，系統(tǒng)含有2個積分環(huán)節(jié)?！?〕確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)構(gòu)造形式。由于對數(shù)幅頻漸近特性曲線為分段折線，其各轉(zhuǎn)折點對應(yīng)的頻率為所含一階或二階環(huán)節(jié)的交接頻率，每個交接頻率處斜率的變化取決于環(huán)節(jié)的種類。處，斜率變化，對應(yīng)微分環(huán)節(jié)；處，斜率變化，對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)；處，斜率變化，對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)。因此，所測系統(tǒng)具有下述傳遞函數(shù)其中待定?！?〕低頻漸近線方程為由給定點，得故所測系統(tǒng)傳遞函數(shù)為5-25假設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值。解：系統(tǒng)的頻率特性表達式為由上式可得，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時開環(huán)幅相曲線穿過點，此時由上式可得，顯然，當(dāng)時，由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。故的取值范圍為5-26設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，延遲時間的范圍。解：系統(tǒng)的頻率特性表達式為由上式可得，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時開環(huán)幅相曲線穿過點，此時由幅頻特性可得解之可得〔舍去〕又即顯然，當(dāng)時，由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。故的取值范圍為6-1設(shè)單位反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計一無源校正網(wǎng)絡(luò)，使已校正系統(tǒng)的相角裕度不小于，截止頻率不低于。解：作待校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性，如圖6-1a所示，得，故應(yīng)選擇超前網(wǎng)絡(luò)。圖6-1a系統(tǒng)特性取，量得，由，求得取無源超前網(wǎng)絡(luò)將放大增益提高4倍，作校正后系統(tǒng)，見圖6-1a，得滿足設(shè)計要求得如下指標(biāo)：6-2設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：試設(shè)計一串聯(lián)超前校正裝置，使系統(tǒng)滿足如下指標(biāo)：相角裕度；在單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；(3)截止頻率。解：首先確定開環(huán)增益得，取則開環(huán)傳遞函數(shù)為由，得未校正前的截止頻率對應(yīng)得相角裕度不符合要求，進展串級超前校正。取計算由，得，所以所以設(shè)計得超前網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為最終校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為驗算滿足性能指標(biāo)要求，設(shè)計合理。6-3單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計串聯(lián)校正裝置，使校正后系統(tǒng)的相位裕度，幅值裕度，靜態(tài)速度誤差系數(shù)。解：給定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量時宜采用頻率響應(yīng)校正設(shè)計方法。確定期望的開環(huán)增益。因為，所以取。分析增益校正后的系統(tǒng)。圖6-2中的虛線為的對數(shù)幅頻特性和相頻特性。圖6-3a中的對數(shù)幅頻特性采用的是漸近線，漸近線的拐點處的分貝數(shù)用數(shù)字表示，相頻特性為示意圖。從圖6-3a虛線所示的對數(shù)幅頻特性可以測算出增益穿越頻率圖6-3a系統(tǒng)校正前后的伯德圖相位裕量。校正的任務(wù)是增加相位裕量。由圖可以看出，采用超前校正，可以提高相位裕量。因為增益已經(jīng)確定，所以超前校正裝置采用的形式。在時，，因此校正裝置不會影響低頻增益，故而不會改變已獲得的靜態(tài)誤差系數(shù)。圖6-3a系統(tǒng)校正前后的伯德圖由可得，并進而取。超前校正裝置的最大相角頻率為，而且在該頻率的增益為。要使增益穿越頻率等于，曲線必須在處穿過軸，即所以由圖6-2可以算出。進而取可得故校正裝置的傳遞函數(shù)為6-4設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試用比例—微分裝置進展校正，使系統(tǒng)，，并確定校正參數(shù)。解：首先確定開環(huán)增益，取所以未校正開環(huán)傳遞函數(shù)為計算校正前截止頻率為計算相角裕度為相角裕度低于性能指標(biāo)，可用比例微分裝置進展校正。設(shè)比例微分校正裝置傳遞函數(shù)為需要補償?shù)鲁敖菫槿?，又因為可得比例微分裝置的時間常數(shù)所以比例微分校正裝置的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為驗算符合要求。6-9設(shè)單位反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：要求設(shè)計—串聯(lián)校正裝置，使系統(tǒng)滿足：輸入速度為時，穩(wěn)態(tài)速度誤差不大于；許可的放大器增益不變；相角裕度不小于，截止頻率為。解：繪待校正系統(tǒng)，由圖6-9a得，算出。說明待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，且要求，宜采用串聯(lián)滯后－超前校正。圖6-9a系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性由圖知，，則，于是在時，