2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國 II卷)理科數(shù)學

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國II卷）理科數(shù)學一、選擇題1.設集合A={x|x'_5x+6>0},B={x|x-l<0},則4c3=()(-8,1)(-2,1)(-3,-1)(3,+oo)答案：A解答：A={x\x<2或x>3},B={x\x<]}9An5=(-qoJ).2?設z=-3+2八則在復平面內z對應的點位于（）第一彖限第二彖限第三彖限第四彖限答案：C解析：z=-3-2/\對應的點坐標為（-3,-2）,故選C.3.己知恥=(2,3),AC=(\t),3.己知恥=(2,3),TOC\o"1-5"\h\z-3-223答案:C解答:BC=AC-AB=(l,t-3)9:.\BC|=y]l2+(t-3)2=1,解得r=3,5C=(L0),

:.AB?就=2.2019年1月3口嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重人成就。實現(xiàn)月球背面軟著路需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系。為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著闈繞地球月拉格朗口錯誤!未找到引用源。點的軌道運行，錯誤!未找到引用源。點是平衡點，位于地月連線的延長線上。設地球的質量為錯誤!未找到引用源。，月球質量為錯誤味找到引用源。，地月距離為乙點到月球的距離為廣，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，，?滿足方程MMMr亦+云=（“?卞。設r。由★的值很小，因此在近似計算中進滬?，則「的近似值為（）A.C.A.C.D解答:嶺m魯n「+罕(1+Q)%(R+ryrR斤(1+&)?r/?"所以有3&+3&，+&'所以有(1+疔可得r=化簡可得=竺二x3—血[/=M3/=>a可得r=?(i+zr演講比賽共有9位評委分別給出某位選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分。7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）中位數(shù)平均數(shù)方差極差答案：A解答：由于共9個評委，將評委所給分數(shù)從小到人排列，中位數(shù)是第5個，假設為d,去掉一頭一尾的最低和最高分后，中位數(shù)還是a,所以不變的是數(shù)字特征是中位數(shù)。其它的數(shù)字特征都會改變。若a>b,則（）111（6/-b）>03“<3bcF-b‘>0|a|>|b|答案：C解答：由函數(shù)y=x3在上是增函數(shù)，且a>b,可得/>戻，即/—b‘>0.設a,0為兩個平面，則a//0的充要條件是（）&內有無數(shù)條直線與0平行&內有兩條相交直線與0平行c.a,0平行于同一條直線D.a,0垂直于同一平面答案：B解析：根據(jù)面面平行的判定定理易得答案?選B.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓二+丄=1的一個焦點，則〃=（）3pPTOC\o"1-5"\h\z2348答案：

D解答:拋物線y2=2px(p>0)的焦點是(厶0),橢圓—+^-=1的焦點是(土J帀,0),23pp/?—=』2p,:?p=8.2下列函數(shù)中，以蘭為周期且在區(qū)間(-,-"1單調遞增的是()2U2丿/(x)=|cos2x|/(x)=|sin2x|/(x)=cos|x\D?/(x)=sui|x|答案：A解答：/\對于A,函數(shù)/(x)=|cos2x|的周期7=—,在區(qū)間單調遞增，符合題意;242j多單調遞減,不符合題意;對于B,函數(shù)/(x)=|siii2x|的周期7=蘭,在區(qū)間-多單調遞減,不符合題意;2U對于C,函數(shù)/(x)=cos|x|=cosx,周期T=2廠不符合題意:對于D函數(shù)/(x)=sm|x|的周期7=Q不符合題意.已知aw(0、一)，2sin2a=cos2a+l,則sina=()2B.C.

B.C.2荷—^―5答案：B解析：ae(0,—),2sin2a=cos2a+1=>4siiicosa=2cos2a,則2sina=cos=>tana=—,所以cosa=2所以sina=J1-cos'a=11.設F為雙曲線C:二—賽=l（a>02〉0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的（TTOC\o"1-5"\h\z圓與圓x2+y2=a2交于EQ兩點，若冃OF|,則C的離心率為()5/2羽2y/5答案：A解答：???|PQ冃OF\=c,???ZPOQ=90,,又|OP冃OQ\=a.:.a2+a2=c2解得-=解得-=>/2,即e=y[2.a33己知函數(shù)的定義域為xwR,/(x+l)=2/(x),且當xg(0,1］時,/(x)=x(x-l),Q若對任意的XW(yo,〃7］,都有則加的取值范圍是()9(-8，匚］47(Y\亍］u(-°°,~］2d.答案：B解答：由當xeR,/(x+l)=2/(x),且當xg(0,1］時，f(x)=x(x-V)可知當xg(1,2］時,TOC\o"1-5"\h\z315f(x)=2(%——)2——,當XG(2,3］時，/(X)=4(X——)2-1,……當XG(71,71+1］,/?gZ2時，/(x)=2”(x—〃一丄)'-2”7,函數(shù)值域隨變量的增大而逐漸減小，對任意的qa857xg(-co,/;?］,都有/(x)>-一有4(m--)2-l>--(m<-)解得的取值范圍是m<-.923二、填空題我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進。經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.答案：0.98解答：經(jīng)停該站的列出共有40個車次，所有車次的平均正點率的估計值為門10x0.97+20x0.98+10x0.99ni==U.9o°40已知/(x)是奇函數(shù)，且當xvO時，/(x)=—嚴.若/(1112)=8,貝也=.答案：-3解答：???/(In2)=-/(-In2)=_(—礦"3)=(￡“)-“=2-“=8,?°?a=-3.AABC的內角人5C的對邊分別為abc,若b=6,a=2c.B=-.則MFC的面積

TOC\o"1-5"\h\z為?答案：6VI解析：口兀cr+c2-b24c2+c2-361cosd=cos—==；=一32ac4c"21^^=1x473x273x^=673中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一?印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）?半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形闈成的多面體?半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美?圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1?則該半正多面體共有個面，其棱長為?（本題第一空2分，第二空3分?）該半正多面體共有2圖答案:262圖答案:26解析：由圖2結合空間想彖即可得到該正多面體有26個面：將該半正多面體補成正方體后，根據(jù)對稱性列方程求解.三、解答題如圖，長方體ABCD—AgU的底面ABCD是正方形，點E在棱上，BE丄EC、（1）證明：BE丄平面EBC；（2）若AE=AtE,求二面角B-EC-C,的正弦值.答案：(1)見解析解析:(1)證明:???BG丄平面ABB"BEu平面ABB^???dG1BE,又BE丄EC、,ECQBC嚴G，???BE丄平面EBG.(2)設底面邊長為1,高為2x,???BF=〒+1,^E2=x2+1,???BE丄平面EBG,???ABEB{=90。即BE2+B.E2=BB；,2x2+2=4x2解得x=l.VBC丄平面???BC丄B￡,又QE丄BE,：?B、E丄平面BCE,故瓦E為平面BCE的一個法向量.???平面C&E與平面A.ACC,為同一平面，故瓦瓦為平面C.CE的一個法向量，在ABPE中，丁BQ嚴DE=B￡=忑故乖與麗成60。角，/i???二面角B-EC-C,的正弦值為sin60。=亍.18.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.求P(X=2)；求事件“X=4且甲獲勝”的概率.答案：(1)0.5；(2)0.06

解析：（1）X=2時，有兩種口］■能：甲連贏兩局結束比賽，此時75=0.5x0.4=0.2：乙連贏兩局結束比賽，此時P,=0.5x0.6=03,???P（X=2）=￡+￡=0.5；（2）X=4且甲獲勝，即只有第二局乙獲勝，其他都是甲獲勝,此時P=0.5X0.6X0.5X0.4=0.06?己知數(shù)列仏｝和｛乞｝滿足勺=1,"=0,4an^=3an-bn+4,4bn^=3bn-an-4.（1）證明：｛an+bH｝是等比數(shù)列，伉一?｝是等差數(shù)列：（2）求仏｝和血｝的通項公式.答案：（1）見解析⑵°”=($+_*,⑵°”=($+_*,仇=($1-H+-.2解析:⑴將4匕出=3%—仇+4,4b卄嚴3仇—匕—4相加可得4。申+4切出=3%+3化—勺一?,整理可得o”+】+b申=+（陽+化），又勺+人=1,故｛an+bH｝是首項為1,公比為+的等比數(shù)列.將4%=3%-仇+4,4b卄嚴3b“-ci“-4作差可得4陽+廠%=3an-3億+an一?+8,整理可得a”+】—b”+|=%—化+2,又?-$=1,故｛an-blt｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.（2）由｛?！?仇｝是首項為1,公比為扌的等比數(shù)列可得陽+化=（分1①;由｛①-?｝是首項為1，公差為2的等差數(shù)列可得an-bt=ln-\②；①(§)相加化簡得cin=(―)?z+fi――,①②相減化簡得btl=(―)n—/?+—oX+1己知函數(shù)f(x)=hix--一X-1

討論函數(shù)/(X)的單調性，并證明函數(shù)/(X)有且只有兩個零點；設兀是/a)的一個零點，證明曲線y=hix在點A(x0,inx0)處的切線也是曲線，二⑴的切線。答案：略解答：2°以函數(shù)在(CM),(1,+s)上單調遞增，又f(e'2)=^—<0J^)=——>0,所以在區(qū)間◎一1e-1R—3(0,1)存在一個零點，且/(2)=lii2-3<0J(e2)=-一>0,所以在區(qū)間(l、+s)上也存在一個零點，所以函數(shù)有且只有2個零點；(2)因為X。是函數(shù)的一個零點，所以有11】兀=丸二=1+二一。曲線y=hix在兀一1兀一1112A(X0.hlX0)處的切線方程為y=—x+hlX0-l=—X+——,曲線曲線)匸『當切線斜率為丄時，切點坐標為(-hix0,—),切線方程為y—丄=丄(x+hix0),化簡為兀x0兀x0-l所以曲線y=lnx在A(x0.hix0)處的切線也是曲線y=的切線。21.已知點4(-2,0),敢2,0)，動點M(x,y)滿足直線AW和BM的斜率之積為-扌，記M的軌跡為曲線C.求C的方程，并說明C什么曲線；過坐標原點的直線交C于只0兩點，點P在第一彖限，PE丄x軸，垂足為E,連結QE并延長交C于點G.①證明：APQG是直角三角形;

②求△PQG的面枳的最人值.答案：見解析解答：vV1「V"由題意得：—=—,化簡得：一+二=1(xh±2)?表示焦點在X軸上的a*+2X—2242橢圓(不含與X軸的交點).①依題意設心―兒)“(心兒)，直線P0的斜率為R伙＞0),則APG丄P0即APQG是直角三角形.y=kx②直線PQAPG丄P0即APQG是直角三角形.y=kx②直線PQ的方程為y=也(x＞0),聯(lián)立＜扌V2—+—=1U2A.=~J2/+12k則直線PG】y=_*(x_xj+”k11kxY聯(lián)立直線PG和橢圓C,可得(賓+1)宀嘩2+空a_4=0,lclclc4x.(k2+1)S'PQG4x.(k2+1)S'PQG4?；?+1)k'+28(k2+l)k(f+2)(2f+l)8狀疋+1)_&8(k2+l)k(f+2)(2f+l)2kkOM=V3,則直線/的斜率k=斗,由點斜式可得直線/：y=—f(x—4),化成極坐標方程為psin(O+—)=2kOM=V3,則直線/的斜率k=斗,由點斜式可得直線/：y=—f(x—4),化成極坐標方程為psin(O+—)=2；P點軌跡的極坐標方程為Q=4cos0(8w—.2解答：(1)當％=彳時，Qo=4sinq=4sin彳=2>/1,以0為原點，極軸為X軸建立直角坐標系，在直角坐標系中有M(E),A(4,0),Ic令/二R+丄，則t>2,k2r+-St_St2(尸一2)+5一2尸+12r+-???⑵+九二!，??丿max—~?四、選做題(2選1)22.選修4-4(極坐標與參數(shù)方程)在極坐標系中，0為極點，點M(Qo