多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)基本理論

121/122第2章多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)差不多理論本章要緊介紹多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的差不多理論，包括多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模、多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模、多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程求解及多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中的剛性（Stiff）問(wèn)題。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)能夠?qū)Χ囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的差不多理論有較深入的了解，為具體軟件的學(xué)習(xí)打下良好的理論基礎(chǔ)。2.1多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究狀況 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的核心問(wèn)題是建模和求解問(wèn)題，其系統(tǒng)研究開(kāi)始于20世紀(jì)60年代。從60年代到80年代，側(cè)重于多剛體系統(tǒng)的研究，要緊是研究多剛體系統(tǒng)的自動(dòng)建模和數(shù)值求解；到了80年代中期，多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究差不多取得一系列成果，尤其是建模理論趨于成熟，但更穩(wěn)定、更有效的數(shù)值求解方法仍然是研究的熱點(diǎn)；80年代之后，多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究更偏重于多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，那個(gè)領(lǐng)域也正式被稱(chēng)為計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，它至今仍然是力學(xué)研究中最有活力的分支之一，但差不多遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過(guò)一般力學(xué)的涵義。本節(jié)將敘述多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)展的歷史和目前國(guó)內(nèi)外研究的現(xiàn)狀。2.1.1多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的進(jìn)展 機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析與仿真是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)展而不斷成熟的，多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是其理論基礎(chǔ)。計(jì)算機(jī)技術(shù)自其誕生以來(lái)，滲透到了科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用的幾乎每一個(gè)領(lǐng)域。數(shù)值分析技術(shù)與傳統(tǒng)力學(xué)的結(jié)合曾在結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域取得了輝煌的成就，出現(xiàn)了以ANSYS、NASTRAN等為代表的應(yīng)用極為廣泛的結(jié)構(gòu)有限元分析軟件。計(jì)算機(jī)技術(shù)在機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)分析以及操縱系統(tǒng)分析上的應(yīng)用，則在二十世紀(jì)八十年代形成了計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，并產(chǎn)生了以ADAMS和DADS為代表的動(dòng)力學(xué)分析軟件。兩者共同構(gòu)成計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）技術(shù)的重要內(nèi)容。多體系統(tǒng)是指由多個(gè)物體通過(guò)運(yùn)動(dòng)副連接的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)。多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的全然目的是應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析與仿真。它是在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的新學(xué)科分支，在經(jīng)典剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)上的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷了多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)和計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)兩個(gè)進(jìn)展時(shí)期，目前已趨于成熟。多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是基于經(jīng)典力學(xué)理論的，多體系統(tǒng)中最簡(jiǎn)單的情況——自由質(zhì)點(diǎn)和一般簡(jiǎn)單的情況——少數(shù)多個(gè)剛體，是經(jīng)典力學(xué)的研究?jī)?nèi)容。多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)確實(shí)是為多個(gè)剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析建立適宜于計(jì)算機(jī)程序求解的數(shù)學(xué)模型，并尋求高效、穩(wěn)定的數(shù)值求解方法。由經(jīng)典力學(xué)逐步進(jìn)展形成了多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，在進(jìn)展過(guò)程中形成了各具特色的多個(gè)流派。早在1687年，牛頓就建立起牛頓方程解決了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題；剛體的概念最早由歐拉于1775年提出，他采納反作用力的概念隔離剛體以描述鉸鏈等約束，并建立了經(jīng)典力學(xué)中的牛頓-歐拉方程。1743年，達(dá)朗貝爾研究了約束剛體系統(tǒng)，區(qū)分了作用力和反作用力，達(dá)朗貝爾將約束反力稱(chēng)為“丟失力”，并形成了虛功原理的初步概念。1788年，拉格朗日發(fā)表了《分析力學(xué)》，系統(tǒng)地研究了約束機(jī)械系統(tǒng)，他系統(tǒng)地考慮了約束，并提出了廣義坐標(biāo)的概念，利用變分原理考慮系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，得出第二類(lèi)拉格朗日方程——最少數(shù)量坐標(biāo)的二階常微分方程（ODE）；并利用約束方程與牛頓定律得出帶拉格朗日乘子的第一類(lèi)拉格朗日方程——最大數(shù)量坐標(biāo)的微分代數(shù)方程（DAE）。虛功形式的動(dòng)力學(xué)普遍方程尚不能解決具有非完整約束的機(jī)械系統(tǒng)問(wèn)題，1908年若丹給出了若丹原理——虛功率形式的動(dòng)力學(xué)普遍方程，利用若丹原理能夠方便地討論碰撞問(wèn)題和非完整系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。關(guān)于由多個(gè)剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)，理論上能夠采納經(jīng)典力學(xué)的方法，即以牛頓-歐拉方法為代表的矢量力學(xué)方法和以拉格朗日方程為代表的分析力學(xué)方法。這種方法關(guān)于單剛體或者少數(shù)幾個(gè)剛體組成的系統(tǒng)是可行的，但隨著剛體數(shù)目的增加，方程復(fù)雜度成倍增長(zhǎng)，尋求其解析解往往是不可能的。后來(lái)由于計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算方法的出現(xiàn)，使得面向具體問(wèn)題的程序數(shù)值方法成為求解復(fù)雜問(wèn)題的一條可行道路，即針對(duì)具體的多剛體問(wèn)題列出其數(shù)學(xué)方程，再編制數(shù)值計(jì)算程序進(jìn)行求解。關(guān)于每一個(gè)具體的問(wèn)題都要編制相應(yīng)的程序進(jìn)行求解，盡管能夠得到合理的結(jié)果，然而那個(gè)過(guò)程長(zhǎng)期的重復(fù)是讓人不可忍受的，因此尋求一種適合計(jì)算機(jī)操作的程式化的建模和求解方法變得迫切需要了。在那個(gè)時(shí)候，也確實(shí)是20世紀(jì)60年代初期，在航天領(lǐng)域和機(jī)械領(lǐng)域，分不展開(kāi)了關(guān)于多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究，同時(shí)形成了不同派不的研究方法。最具代表性的幾種方法是羅伯森-維滕堡（Roberson-Wittenburg）方法、凱恩（Kane）方法、旋量方法和變分方法。羅伯森與維滕堡于1966年提出一種分析多剛體系統(tǒng)的普遍性方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為R/W方法，這種方法的要緊特點(diǎn)是利用圖論的概念及數(shù)學(xué)工具描述多剛體系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，以鄰接剛體之間的相對(duì)位移作為廣義坐標(biāo)，導(dǎo)出適合于任意多剛體系統(tǒng)的普遍形式動(dòng)力學(xué)方程，并利用增廣體概念對(duì)方程的系數(shù)矩陣作出物理解釋。R/W方法以十分優(yōu)美的風(fēng)格處理了樹(shù)結(jié)構(gòu)多剛體系統(tǒng)，關(guān)于非樹(shù)系統(tǒng)，通過(guò)鉸切割或剛體分割方法將非樹(shù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成樹(shù)系統(tǒng)進(jìn)行處理。凱恩方法是在1965年左右形成的分析復(fù)雜系統(tǒng)的一種方法，其利用廣義速率代替廣義坐標(biāo)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，直接利用達(dá)朗伯原理建立動(dòng)力學(xué)方程，并將矢量形式的力與達(dá)朗伯慣性力直接向特定的基矢量方向投影以消除理想約束力，兼有矢量力學(xué)和分析力學(xué)的特點(diǎn)，既適用完整系統(tǒng)，也適用于非完整系統(tǒng)。旋量方法是一種專(zhuān)門(mén)的矢量力學(xué)方法（或牛頓-歐拉方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為N/E方法），其特點(diǎn)是將矢量與矢量矩合為一體，采納旋量的概念，利用對(duì)偶數(shù)作為數(shù)學(xué)工具，使N/E方程具有極其簡(jiǎn)明的表達(dá)形式，在開(kāi)鏈和閉鏈空間機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析得到廣泛運(yùn)用。變分方法是不同于矢量力學(xué)或分析力學(xué)的另一類(lèi)分析方法，高斯最小拘束原理是變分方法的差不多原理，保保夫和里洛夫從這一原理動(dòng)身進(jìn)展了兩種不同風(fēng)格的計(jì)算方法。該方法有利于結(jié)合操縱系統(tǒng)的優(yōu)化進(jìn)行綜合分析，而且由于其不受鉸的約束數(shù)目的阻礙，適用于帶多個(gè)閉環(huán)的復(fù)雜系統(tǒng)。這幾種方法構(gòu)成了早期多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的要緊內(nèi)容，借助計(jì)算機(jī)數(shù)值分析技術(shù)，能夠解決由多個(gè)物體組成的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析問(wèn)題。然而多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在建模與求解方面的自動(dòng)化程度，相關(guān)于結(jié)構(gòu)有限元分析的成熟來(lái)講相差甚遠(yuǎn)。正是為了解決多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與求解的自動(dòng)化問(wèn)題，美國(guó)Chace和Haug于80年代提出了適宜于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模與求解的多剛體系統(tǒng)笛卡爾建模方法，這種方法不同于以羅伯森-維滕堡方法為代表的拉格朗日方法，它是為以系統(tǒng)中每個(gè)物體為單元，建立固結(jié)在剛體上的坐標(biāo)系，剛體的位置相關(guān)于一個(gè)公共參考基進(jìn)行定義，其位置坐標(biāo)統(tǒng)一為剛體坐標(biāo)系基點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)與坐標(biāo)系的方位坐標(biāo)，再依照鉸約束和動(dòng)力學(xué)原理建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。20世紀(jì)80年代，Haug等人確立了“計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)”這門(mén)新的學(xué)科，多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究重點(diǎn)由多剛體系統(tǒng)走向側(cè)重多柔體系統(tǒng)，柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)成為計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的重要內(nèi)容。柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在20世紀(jì)70年代逐漸引起人們的注意，一些系統(tǒng)如高速車(chē)輛、機(jī)器人、航天器、高速機(jī)構(gòu)、周密機(jī)械等其中柔性體的變形對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生專(zhuān)門(mén)大阻礙。二十多年來(lái)柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)一直是研究熱點(diǎn)，這期間產(chǎn)生了許多新的概念和方法，有浮動(dòng)標(biāo)架法、運(yùn)動(dòng)-彈性動(dòng)力學(xué)方法、有限段方法以及最新提出的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法等，其中浮動(dòng)標(biāo)架法最早是在航天領(lǐng)域研究中提出來(lái)的。計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是指用計(jì)算機(jī)數(shù)值手段來(lái)研究復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的靜力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)分析以及操縱系統(tǒng)分析的理論和方法。相比于多剛體系統(tǒng)，關(guān)于柔性體和多體與操縱混合問(wèn)題的考慮是其重要特征。其具體任務(wù)為：1．建立復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)程式化的數(shù)學(xué)模型，開(kāi)發(fā)實(shí)現(xiàn)那個(gè)數(shù)學(xué)模型的軟件系統(tǒng)，用戶只需輸入描述系統(tǒng)的最差不多數(shù)據(jù)，借助計(jì)算機(jī)就能自動(dòng)進(jìn)行程式化處理。2．開(kāi)發(fā)和實(shí)現(xiàn)有效的處理數(shù)學(xué)模型的計(jì)算方法與數(shù)值積分方法，自動(dòng)得到運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。3．實(shí)現(xiàn)有效的數(shù)據(jù)后處理，采納動(dòng)畫(huà)顯示、圖表或其他方式提供數(shù)據(jù)處理結(jié)果。計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的產(chǎn)生極大地改變了傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的面貌，使工程師從傳統(tǒng)的手工計(jì)算中解放了出來(lái)，只需依照實(shí)際情況建立合適的模型，就可由計(jì)算機(jī)自動(dòng)求解，并可提供豐富的結(jié)果分析和利用手段；關(guān)于原來(lái)不可能求解或求解極為困難的大型復(fù)雜問(wèn)題，現(xiàn)可利用計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算功能順利求解；而且現(xiàn)在的動(dòng)力學(xué)分析軟件提供了與其它工程輔助設(shè)計(jì)或分析軟件的強(qiáng)大接口功能，它與其它工程輔助設(shè)計(jì)和分析軟件一起提供了完整的計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）技術(shù)。2.1.2多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究活動(dòng)自20世紀(jì)60年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外在多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面多次召開(kāi)了深具意義的會(huì)議。國(guó)際范圍內(nèi)的會(huì)議要緊有：1977年國(guó)際理論和應(yīng)用力學(xué)學(xué)會(huì)（InternationalUnionofTheoreticalandAppliedMechanics-IUTAM）發(fā)起在德國(guó)慕尼黑由Magnus主持召開(kāi)第一次多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)討論會(huì)；。1983年北大西洋公約組織與美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金委等（NATO-NSF-ARD）聯(lián)合組織在美國(guó)愛(ài)阿華由Haug主持召開(kāi)“機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算機(jī)輔助分析與優(yōu)化高級(jí)研討會(huì)”；。1985年第八屆國(guó)際車(chē)輛動(dòng)力學(xué)協(xié)會(huì)（InternationalAssociationofVehicleSystemDynamics-IAVSD）會(huì)議，Kortum和Schiehlen發(fā)表了用于車(chē)輛動(dòng)力學(xué)仿確實(shí)多體軟件。1985年IUTAM與國(guó)際機(jī)器及機(jī)構(gòu)理論聯(lián)合會(huì)（IFTOMM）聯(lián)合在意大利Udine由Bianchi和Schiehlen主持進(jìn)行了第二屆國(guó)際多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)討論會(huì)，這次會(huì)議總結(jié)了該領(lǐng)域的進(jìn)展，標(biāo)志多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)已趨于成熟。1989年由德國(guó)斯圖加特大學(xué)主持對(duì)當(dāng)時(shí)比較先進(jìn)的大型軟件進(jìn)行測(cè)試，編輯出版了“多體系統(tǒng)手冊(cè)”；以后幾乎每年都有國(guó)際的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的會(huì)議，并出現(xiàn)了多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的專(zhuān)門(mén)的刊物。在國(guó)內(nèi)召開(kāi)的關(guān)于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面的重要會(huì)議要緊有：1986年由中國(guó)力學(xué)學(xué)會(huì)一般力學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)在北京主持召開(kāi)“多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)”研討會(huì)。1988年在長(zhǎng)春召開(kāi)“柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研討會(huì)”。1992年在上海召開(kāi)“全國(guó)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)—理論、計(jì)算方法與應(yīng)用學(xué)術(shù)會(huì)議”。1996年由中國(guó)力學(xué)學(xué)會(huì)一般力學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)與中國(guó)空間學(xué)會(huì)空間機(jī)械委員會(huì)聯(lián)合在山東長(zhǎng)島召開(kāi)“全國(guó)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與操縱學(xué)術(shù)會(huì)議”。除了國(guó)內(nèi)外重要的會(huì)議之外，國(guó)內(nèi)外還出版了多種關(guān)于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的優(yōu)秀教材或?qū)Ｖ?guó)外的優(yōu)秀教材和專(zhuān)著要緊有：1977年，Witenburg出版了“DynamicsofSystemsofRigidBodies”，這是第一本關(guān)于多體系統(tǒng)的教材，其奠定了多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)拉朗日方法的基礎(chǔ)，并將圖論方法引入到多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中。1986年，Schiehlen出版了“TechnischeDynamik”（德語(yǔ)），其將多體系統(tǒng)作為與有限元系統(tǒng)及連續(xù)系統(tǒng)相當(dāng)?shù)南到y(tǒng)來(lái)統(tǒng)一考慮。1988年，Nikravesh出版了“Computer-AidedAnalysisofMechanicalSystems”。1988年，Roberson和Schwertassek出版了“DynamicsofMultibodySystem”。1989年，Haug出版了“Computer-AidedKinematicsandDynamicsofMechanicalSystems”，提出了多剛體系統(tǒng)建模的笛卡爾方法。1989年，Shabana出版了“DynamicsofMultibodySystems”，這是一本關(guān)于多柔體動(dòng)力學(xué)的專(zhuān)著。1990年，Huston出版了“MultibodyDynamics”，其討論了多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、數(shù)值方法以及柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。1992年，Bremer和Pfeiffer出版了“ElastischeMehrkorpersystem”（德語(yǔ)），其要緊討論了柔性體，并給出了諸多工程實(shí)例。1992年，Amirouche出版了“ComputationalMethodsforMultibodyDynamics”，重點(diǎn)討論了矩陣方法。1994年，Garcia和Bayo出版了“KinematicandDynamicSimulationofMultibodySystems”，提出了完全笛卡爾坐標(biāo)方法，并給出了一種求解效率高的計(jì)算方法用于實(shí)時(shí)仿確實(shí)需要。1994年，Shabana出版了“ComputationalDynamics”，要緊是有關(guān)多剛體系統(tǒng)。1996年，Stejskal和Valasek出版了“KinematicsandDynamicsofMachinery”，從空間機(jī)構(gòu)的CAD設(shè)計(jì)入手，討論了自由剛體問(wèn)題，給出了高副和低副運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的描述，并討論了動(dòng)力學(xué)分析以及數(shù)值計(jì)算方面的問(wèn)題。國(guó)內(nèi)有阻礙的教材和專(zhuān)著要緊有：劉延柱，洪嘉振，楊海興.多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué).北京：高等教育出版社，1989黃文虎邵成勛等.多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué).北京：科學(xué)出版社，1996陸佑方.柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué).北京：高等教育出版社，1996洪嘉振.計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué).北京：高等教育出版社，19992.1.3多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究現(xiàn)狀計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中所研究的多體系統(tǒng)，依照系統(tǒng)中物體的力學(xué)特性可分為多剛體系統(tǒng)、柔性多體系統(tǒng)和剛?cè)峄旌隙囿w系統(tǒng)。多剛體系統(tǒng)是指能夠忽略系統(tǒng)中物體的彈性變形而將其當(dāng)作剛體來(lái)處理的系統(tǒng)，該類(lèi)系統(tǒng)常處于低速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；柔性多體系統(tǒng)是指系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)物體的大范圍運(yùn)動(dòng)與物體的彈性變形的耦合，從而必須把物體當(dāng)作柔性體處理的系統(tǒng)，大型、輕質(zhì)而高速運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)常屬此類(lèi)；假如柔性多體系統(tǒng)中有部分物體能夠當(dāng)作剛體來(lái)處理，那么該系統(tǒng)確實(shí)是剛?cè)峄旌隙囿w系統(tǒng)，這是多體系統(tǒng)中最一般的模型。1．2.1.3.1多體系統(tǒng)建模理論關(guān)于多剛體系統(tǒng)，從20世紀(jì)60年代到80年代，在航天和機(jī)械兩個(gè)領(lǐng)域形成了兩類(lèi)不同的數(shù)學(xué)建模方法，分不稱(chēng)為拉格朗日方法和笛卡爾方法；20世紀(jì)90年代，在笛卡爾方法的基礎(chǔ)上又形成了完全笛卡爾方法。這幾種建模方法的要緊區(qū)不在于對(duì)剛體位形描述的不同。航天領(lǐng)域形成的拉格朗日方法，是一種相對(duì)坐標(biāo)方法，以Roberson-Wittenburg方法為代表，是以系統(tǒng)每個(gè)鉸的一對(duì)鄰接剛體為單元，以一個(gè)剛體為參考物，另一個(gè)剛體相對(duì)該剛體的位置由鉸的廣義坐標(biāo)（又稱(chēng)拉格朗日坐標(biāo)）來(lái)描述，廣義坐標(biāo)通常為鄰接剛體之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角或位移。如此開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的位置完全可由所有鉸的拉格朗日坐標(biāo)陣所確定。其動(dòng)力學(xué)方程的形式為拉格朗日坐標(biāo)陣的二階微分方程組，即…………………(2.1-1)這種形式首先在解決拓?fù)錇闃?shù)的航天器問(wèn)題時(shí)推出。其優(yōu)點(diǎn)是方程個(gè)數(shù)最少，樹(shù)系統(tǒng)的坐標(biāo)數(shù)等于系統(tǒng)自由度，而且動(dòng)力學(xué)方程易轉(zhuǎn)化為常微分方程組（ODEs-OrdinaryDifferentialEquations）。但方程呈嚴(yán)峻非線性，為使方程具有程式化與通用性，在矩陣與中常常包含描述系統(tǒng)拓?fù)涞男畔ⅲ湫问较喈?dāng)復(fù)雜，而且在選擇廣義坐標(biāo)時(shí)需人為干預(yù)，不利于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模。只是目前關(guān)于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究比較深入，現(xiàn)在有幾種應(yīng)用軟件采納拉格朗日的方法也取得了較好的效果。關(guān)于非樹(shù)系統(tǒng)，拉格朗日方法要采納切割鉸的方法以消除閉環(huán)，這引入了額外的約束，使得產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)方程為微分代數(shù)方程，不能直接采納常微分方程算法去求解，需要專(zhuān)門(mén)的求解技術(shù)。機(jī)械領(lǐng)域形成的笛卡爾方法是一種絕對(duì)坐標(biāo)方法，即Chace和Haug提出的方法，以系統(tǒng)中每一個(gè)物體為單元，建立固結(jié)在剛體上的坐標(biāo)系，剛體的位置相關(guān)于一個(gè)公共參考基進(jìn)行定義，其位置坐標(biāo)（也可稱(chēng)為廣義坐標(biāo)）統(tǒng)一為剛體坐標(biāo)系基點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)與坐標(biāo)系的方位坐標(biāo)，方位坐標(biāo)能夠選用歐拉角或歐拉參數(shù)。單個(gè)物體位置坐標(biāo)在二維系統(tǒng)中為3個(gè)，三維系統(tǒng)中為6個(gè)（假如采納歐拉參數(shù)為7個(gè)）。關(guān)于由N個(gè)剛體組成的系統(tǒng)，位置坐標(biāo)陣中的坐標(biāo)個(gè)數(shù)為3N（二維）或6N（或7N）（三維），由于鉸約束的存在，這些位置坐標(biāo)不獨(dú)立。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的一般形式可表示為………………….……(2.1-2)式中為位置坐標(biāo)陣的約束方程，為約束方程的雅可比矩陣，為拉格朗日乘子。這類(lèi)數(shù)學(xué)模型確實(shí)是微分-代數(shù)方程組（DAEs-DifferentialAlgebraicEquations），也稱(chēng)為歐拉-拉格朗日方程組（Euler-LagrangeEquations），其方程個(gè)數(shù)較多，但系數(shù)矩陣呈稀疏狀，適宜于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建立統(tǒng)一的模型進(jìn)行處理。笛卡爾方法關(guān)于多剛體系統(tǒng)的處理不區(qū)分開(kāi)環(huán)與閉環(huán)（即樹(shù)系統(tǒng)與非樹(shù)系統(tǒng)），統(tǒng)一處理。目前國(guó)際上最聞名的兩個(gè)動(dòng)力學(xué)分析商業(yè)軟件ADAMS和DADS差不多上采納這種建模方法。完全笛卡爾坐標(biāo)方法，由Garcia和Bayo于1994年提出，是另一種形式的絕對(duì)坐標(biāo)方法。這種方法的特點(diǎn)是幸免使用一般笛卡爾方法中的歐拉角或歐拉參數(shù)，而是利用與剛體固結(jié)的若干參考點(diǎn)和參考矢量的笛卡爾坐標(biāo)描述剛體的空間位置與姿態(tài)。參考點(diǎn)選擇在鉸的中心，參考矢量沿鉸的轉(zhuǎn)軸或滑移軸，通?？捎啥鄠€(gè)剛體共享而使未知變量減少。完全笛卡爾坐標(biāo)所形成的動(dòng)力學(xué)方程與一般笛卡爾方法本質(zhì)相同，只是其雅可比矩陣為坐標(biāo)線性函數(shù)，便于計(jì)算。至于柔性多體系統(tǒng)，從計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)角度看，柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型首先應(yīng)該和多剛體系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有—定的兼容性。當(dāng)系統(tǒng)中的柔性體變形能夠不計(jì)時(shí)，即退化為多剛體系統(tǒng)。當(dāng)部件間的大范圍運(yùn)動(dòng)不存在時(shí)，即退化為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。柔性多體系統(tǒng)不存在連體基，通常選定一浮動(dòng)坐標(biāo)系描述物體的大范圍運(yùn)動(dòng)，物體的彈性變形將相對(duì)該坐標(biāo)系定義。彈性體相關(guān)于浮動(dòng)坐標(biāo)系的離散將采納有限單元法與現(xiàn)代模態(tài)綜合分析方法。在用集中質(zhì)量有限單元法或一致質(zhì)量有限單元法處理彈性體時(shí)，用結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)描述彈性變形。在用正則模態(tài)或動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)等模態(tài)分析方法處理彈性體時(shí)用模態(tài)坐標(biāo)描述彈性變形。這確實(shí)是萊肯斯首先提出的描述柔性多體系統(tǒng)的混合坐標(biāo)方法。即用坐標(biāo)陣描述系統(tǒng)的位形，其中q為浮動(dòng)坐標(biāo)系的位形坐標(biāo)，a為變形坐標(biāo)?？紤]到多剛體系統(tǒng)的兩種流派，在柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中也相應(yīng)提出兩種混合坐標(biāo)，即浮動(dòng)坐標(biāo)系的拉格朗日坐標(biāo)加彈性坐標(biāo)與浮動(dòng)坐標(biāo)系的笛卡爾坐標(biāo)加彈性坐標(biāo)。依照動(dòng)力學(xué)差不多原理推導(dǎo)的柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，形式同式（2.1-1）和（2.1-2），只是將q用p代替。即，柔性多體系統(tǒng)具有與多剛體系統(tǒng)類(lèi)同的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型。2.1.3.22．.多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)值求解多剛體系統(tǒng)拉格朗日方法產(chǎn)生的形如式（2.1-1）的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，是形式復(fù)雜的二階常微分方程組（ODEs），系數(shù)矩陣包含描述系統(tǒng)拓?fù)涞男畔ⅰｊP(guān)于該類(lèi)問(wèn)題的求解，通常采納符號(hào)-數(shù)值相結(jié)合的方法或者全數(shù)值的方法。符號(hào)-數(shù)值方法是先采納基于計(jì)算代數(shù)的符號(hào)計(jì)算方法，進(jìn)行符號(hào)推導(dǎo)，得到多剛體系統(tǒng)拉格朗日模型系數(shù)矩陣簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)值方法求解ODE問(wèn)題。鑒于計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)展，目前全數(shù)值方法也較為流行，確實(shí)是將多剛體系統(tǒng)拉格朗日數(shù)學(xué)模型當(dāng)作一般ODE問(wèn)題進(jìn)行求解，這方面的技術(shù)差不多較為成熟。多剛體系統(tǒng)笛卡爾方法產(chǎn)生的形如式（2.1-2）的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，是聞名的微分-代數(shù)方程組（DAEs）。DAE問(wèn)題是計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題。柔性多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，其形式與多剛體系統(tǒng)相同，能夠借鑒多剛體系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的求解方法。只是混合坐標(biāo)中描述浮動(dòng)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的剛體坐標(biāo)q通常是慢變大幅值的變量，而描述相關(guān)于浮動(dòng)坐標(biāo)系彈性變形的坐標(biāo)a卻為快變微幅的變量，兩類(lèi)變量出現(xiàn)在嚴(yán)峻非線性與時(shí)變的耦合動(dòng)力學(xué)方程中，其數(shù)值計(jì)算呈病態(tài)，將出現(xiàn)多剛體系統(tǒng)中見(jiàn)不到的數(shù)值計(jì)算困難。綜上所述，多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解集中于微分-代數(shù)方程組的求解，下面將簡(jiǎn)要地介紹一下DAE問(wèn)題的求解方法，更具體的介紹，將在（2.5）節(jié)進(jìn)行。1、（1）微分-代數(shù)方程組的特性多剛體系統(tǒng)采納笛卡爾方法建模生成的微分-代數(shù)方程組為：…………(2.1-3)……………………..…(2.1-4)其中，、、分不是系統(tǒng)位置、速度、加速度向量，是拉格朗日乘子，是時(shí)刻，為機(jī)械系統(tǒng)慣性矩陣，為約束雅可比矩陣，為外力向量，為位置約束方程。將式(1.4)對(duì)時(shí)刻求一階和二階導(dǎo)數(shù)，得到速度和加速度約束方程：……………..(2.1-5)……………….……….(2.1-6)其中，稱(chēng)為速度右項(xiàng)，稱(chēng)為加速度右項(xiàng)。給定方程組初始條件：………..(2.1-7)微分-代數(shù)方程組的特性和需要注意的問(wèn)題有：微分-代數(shù)方程問(wèn)題不是常微分方程（ODE）問(wèn)題；由式(2.1-3)和(2.1-4)組成的微分-代數(shù)方程組是指標(biāo)3問(wèn)題，通過(guò)對(duì)約束方程求導(dǎo)化為由式(2.1-3)-(2.1-6)組成的微分-代數(shù)方程組后，其指標(biāo)降為1；微分-代數(shù)方程數(shù)值求解的關(guān)鍵在于幸免積分過(guò)程中代數(shù)方程的違約現(xiàn)象；初值式(2.1-7)與位置約束式(2.1-4)及速度約束式(2.1-5)的相容性；微分-代數(shù)方程組的剛性問(wèn)題。（2）2、微分-代數(shù)方程組積分技術(shù)自二十世紀(jì)七十年代以來(lái)，國(guó)際上對(duì)微分-代數(shù)方程問(wèn)題作了大量的研究，時(shí)至現(xiàn)在，新的算法仍不斷涌現(xiàn)。依照對(duì)位置坐標(biāo)陣和拉格朗日乘子處理技術(shù)的不同，能夠?qū)⑽⒎?代數(shù)方程組問(wèn)題的處理方法分為增廣法和縮并法。傳統(tǒng)的增廣法是把廣義坐標(biāo)加速度和拉格朗日乘子作為未知量同時(shí)求解，再對(duì)加速度進(jìn)行積分求出廣義坐標(biāo)速度及廣義坐標(biāo)位置，包括直接積分法和約束穩(wěn)定法。近十年來(lái)，在傳統(tǒng)增廣法的基礎(chǔ)上又進(jìn)展形成了超定微分-代數(shù)方程組（ODAEs）方法等新的一類(lèi)算法。直接積分法：將式(2.1-3)和(2.1-6)聯(lián)立在一起，同時(shí)求出與，然后對(duì)積分得和。該方法未考慮式(2.1-4)和(2.1-5)的坐標(biāo)和速度違約問(wèn)題，積分過(guò)程中誤差積存嚴(yán)峻，專(zhuān)門(mén)易發(fā)散。在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，并不直接采納直接積分法，但在直接積分法的基礎(chǔ)上進(jìn)展了一系列操縱違約現(xiàn)象的數(shù)值方法。約束穩(wěn)定法：將操縱反饋理論引入微分-代數(shù)方程組的數(shù)值積分過(guò)程以操縱違約現(xiàn)象。通過(guò)把式(2.1-6)右邊量替換為含位置約束和速度約束的參數(shù)式，保證位置約束和速度約束在式(2.1-3)和(2.1-6)聯(lián)立求解時(shí)恒滿足。該方法穩(wěn)定性好，響應(yīng)快，但如何選擇參數(shù)式中速度項(xiàng)和位置項(xiàng)適當(dāng)?shù)南禂?shù)是一個(gè)問(wèn)題。超定微分-代數(shù)方程組（ODAEs）法：將系統(tǒng)速度作為變量引入微分-代數(shù)方程組，從而將原來(lái)的二階DAE化為超定的一階DAE，再為所得方程組引入未知參數(shù)，依照模型的相容性消除系統(tǒng)的超定性，如此可使數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性明顯改變。或者將系統(tǒng)位置、速度、加速度向量和拉格朗日乘子向量聯(lián)立作為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，再將由式(2.1-3)、(2.1-4)、(2.1-5)和(2.1-6)組成的微分-代數(shù)方程組及速度與位置、加速度與速度的微分關(guān)系式作為約束，化二階DAE為超定的一階DAE，再依照系統(tǒng)相容性引入二個(gè)未知參數(shù)，消除超定性，如此所得的最終約化模型更為簡(jiǎn)單，但方程組要多n個(gè)。在ODAE方法的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了一系列新的更為有效的算法。解耦ODAE法：在ODAE方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)展形成了一類(lèi)解耦思想，確實(shí)是在ODAEs基礎(chǔ)上，對(duì)常用的隱式ODE方法采納預(yù)估式，再按加速度、速度和位置的順序進(jìn)行求解。后來(lái)進(jìn)一步進(jìn)展形成了無(wú)需對(duì)隱式ODE方法利用預(yù)估式的解耦思想，更一步地提高了效率?？s并法確實(shí)是通過(guò)各種矩陣分解方法將描述系統(tǒng)的n個(gè)廣義坐標(biāo)用p個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)表達(dá)，從而將微分-代數(shù)方程組從數(shù)值上化為與式(2.1-1)類(lèi)似的數(shù)學(xué)模型，如此易于用ODE方法進(jìn)行求解。傳統(tǒng)的縮并法包括LU分解法、QR分解法、SVD分解法以及零空間方法等，后來(lái)在傳統(tǒng)縮并法的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了局部參數(shù)化縮并方法等新的算法?？s并法中的這些具體方法，分不對(duì)應(yīng)著約束雅可比矩陣的不同分解。LU分解法：又稱(chēng)為廣義坐標(biāo)分塊法。把廣義位置坐標(biāo)用相關(guān)坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)分塊表示，再將約束雅可比矩陣用LU分解法分塊，得到廣義坐標(biāo)速度、加速度用獨(dú)立坐標(biāo)速度、加速度表達(dá)的式子。將這兩個(gè)表達(dá)式代入式(2.1-3)，就可得到形如式(2.1-1)的關(guān)于獨(dú)立坐標(biāo)加速度的二階微分方程。該算法可靠、精確，并可操縱誤差，但效率稍低。QR分解法：通過(guò)對(duì)約束雅可比矩陣正交分解的結(jié)果作微分流型分析，得到可選作受約束系統(tǒng)獨(dú)立速度的，并將微分-代數(shù)方程組化作形如式(2.1-1)的關(guān)于的二階微分方程，如此可保證在小時(shí)刻間隔內(nèi)由積分引起的廣義坐標(biāo)的變化可不能導(dǎo)致大的約束違約。SVD分解法：把約束雅可比矩陣作奇異值分解所得結(jié)果分不用于式(2.1-3)和(2.1-6)，得到縮并后的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。在該方法推導(dǎo)過(guò)程中沒(méi)有用到式(2.1-4)和(2.1-5)，因此也存在位置和速度違約問(wèn)題，可用約束穩(wěn)定法改善其數(shù)值性態(tài)?？晌⒘憧臻g法：通過(guò)Gram-Schmidt正交化過(guò)程自動(dòng)產(chǎn)生約束雅可比矩陣的可微、唯一的零空間基，來(lái)對(duì)系統(tǒng)方程降階。具體做法是對(duì)由和任意矩陣構(gòu)造的矩陣采納Gram-Schmidt正交化過(guò)程，將化為正交非奇異矩陣。再引入新的速度矢量，使?jié)M足，將新速度矢量和加速度矢量按正交化結(jié)果分塊，得到新的獨(dú)立速度矢量和加速度矢量。如此可將微分-代數(shù)方程組化為關(guān)于新的獨(dú)立加速度矢量的動(dòng)力學(xué)方程。局部參數(shù)化縮并方法：先將式(2.1-3)-()～(2.1-6)改寫(xiě)為等價(jià)的一階形式，再用微分流形理論的切空間局部參數(shù)化方法將等價(jià)的歐拉-拉格朗日方程降為參數(shù)空間上的常微分方程?？偟闹v來(lái)，微分-代數(shù)方程組數(shù)值求解的方法都可歸為增廣法或縮并法，除了上面所介紹的這些增廣法和縮并法所運(yùn)用的增廣和縮并技術(shù)外，近幾年來(lái)還出現(xiàn)了許多獨(dú)具特色的處理算法，它們或者是在數(shù)值求解算法中獨(dú)具匠心，或者針對(duì)某些具體情況作了專(zhuān)門(mén)研究。（3、）相容性問(wèn)題和剛性問(wèn)題初值相容性問(wèn)題：在微分-代數(shù)方程組的數(shù)值求解過(guò)程中，給定的位置和速度初始條件與微分-代數(shù)方程組中的位置和速度約束的相容性是值得注意的一個(gè)問(wèn)題。相容性是微分-代數(shù)方程組有解的必要條件。剛性問(wèn)題：由于現(xiàn)代機(jī)械系統(tǒng)的復(fù)雜性，會(huì)由于系統(tǒng)的耦合而使所得到的微分-代數(shù)方程組呈現(xiàn)剛性特性。關(guān)于剛性問(wèn)題的求解，目前最常用的方法是隱式方法，隱式方法不僅用于求解剛性問(wèn)題，而且相比于顯式方法具有更好的穩(wěn)定性和計(jì)算精度。近幾年來(lái)，不管是在LU分解法基礎(chǔ)上進(jìn)展起來(lái)的新縮并法，依舊基于ODAE方法的增廣法，或是基于多體系統(tǒng)正則方程的解法，應(yīng)用的無(wú)不是隱式方法。關(guān)于剛性問(wèn)題的進(jìn)一步介紹見(jiàn)2.5節(jié)。2.2多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析，首先在于提供一個(gè)友好方便的界面以利于建立多體系統(tǒng)的力學(xué)模型，并在系統(tǒng)內(nèi)部由多體系統(tǒng)力學(xué)模型得到動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型；再者需要有一個(gè)優(yōu)良的求解器對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，求解器要求效率高、穩(wěn)定性好，并具有廣泛的適應(yīng)性；最后還需要對(duì)求解結(jié)果提供豐富的顯示查詢手段。這其中的關(guān)鍵技術(shù)確實(shí)是自動(dòng)建模技術(shù)和求解器設(shè)計(jì)，所謂自動(dòng)建模確實(shí)是由多體系統(tǒng)力學(xué)模型自動(dòng)生成其動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，求解器的設(shè)計(jì)則必須結(jié)合系統(tǒng)的建模，以特定的動(dòng)力學(xué)算法對(duì)模型進(jìn)行求解。本節(jié)首先給出多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的一些差不多概念，再介紹計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與求解的一般過(guò)程，然后作為重點(diǎn)，按豪格（Haug）的笛卡爾方法給出多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，這是考慮到目前最負(fù)盛名的兩個(gè)多體系統(tǒng)軟件差不多上采納笛卡爾方法，最后簡(jiǎn)要敘述自動(dòng)建模技術(shù)。2.2.1多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)差不多概念 物理模型：那個(gè)地點(diǎn)也稱(chēng)力學(xué)模型，由物體、鉸、力元和外力等要素組成并具有一定拓?fù)錁?gòu)型的系統(tǒng)。拓?fù)錁?gòu)型：多體系統(tǒng)中各物體的聯(lián)系方式稱(chēng)為系統(tǒng)的拓?fù)錁?gòu)型，簡(jiǎn)稱(chēng)拓?fù)洹Ｒ勒障到y(tǒng)拓?fù)渲惺欠翊嬖诨芈?，可將多體系統(tǒng)分為樹(shù)系統(tǒng)與非樹(shù)系統(tǒng)。系統(tǒng)中任意兩個(gè)物體之間的通路唯一，不存在回路的，稱(chēng)為樹(shù)系統(tǒng)；系統(tǒng)中存在回路的稱(chēng)為非樹(shù)系統(tǒng)。物體：多體系統(tǒng)中的構(gòu)件定義為物體。在計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中，物體區(qū)分為剛性體（剛體）和柔性體（柔體）。剛體和柔體是對(duì)機(jī)構(gòu)零件的模型化，剛體定義為質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系，柔體定義為考慮質(zhì)點(diǎn)間距離變化的質(zhì)點(diǎn)系。約束：對(duì)系統(tǒng)中某構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)或構(gòu)件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)所施加的限制稱(chēng)為約束。約束分為運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和驅(qū)動(dòng)約束，運(yùn)動(dòng)學(xué)約束一般是系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)副約束的代數(shù)形式，而驅(qū)動(dòng)約束則是施加于構(gòu)件上或構(gòu)件之間的附加驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)條件。鉸：也稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)副，在多體系統(tǒng)中將物體間的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束定義為鉸。鉸約束是運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的一種物理形式。力元：在多體系統(tǒng)中物體間的相互作用定義為力元，也稱(chēng)為內(nèi)力。力元是對(duì)系統(tǒng)中彈簧、阻尼器、致動(dòng)器的抽象，理想的力元可抽象為統(tǒng)一形式的移動(dòng)彈簧-阻尼器-致動(dòng)器（TSDA），或扭轉(zhuǎn)彈簧-阻尼器-致動(dòng)器（RSDA）。外力（偶）：多體系統(tǒng)外的物體對(duì)系統(tǒng)中物體的作用定義為外力（偶）。數(shù)學(xué)模型：分為靜力學(xué)數(shù)學(xué)模型、運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，是指在相應(yīng)條件下對(duì)系統(tǒng)物理模型（力學(xué)模型）的數(shù)學(xué)描述。機(jī)構(gòu)：裝配在一起并同意作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的若干個(gè)剛體的組合。運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究組成機(jī)構(gòu)的相互聯(lián)接的構(gòu)件系統(tǒng)的位置、速度和加速度，其與產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的力無(wú)關(guān)。運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型是非線性和線性的代數(shù)方程。動(dòng)力學(xué)：研究外力（偶）作用下機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，包括構(gòu)件系統(tǒng)的加速度、速度和位置，以及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的約束反力。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是已知系統(tǒng)構(gòu)型、外力和初始條件求運(yùn)動(dòng)，也稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題。動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型是微分方程或者微分方程和代數(shù)方程的混合。靜平衡：在與時(shí)刻無(wú)關(guān)的力作用下系統(tǒng)的平衡，稱(chēng)為靜平衡。靜平衡分析一種專(zhuān)門(mén)的動(dòng)力學(xué)分析，在于確定系統(tǒng)的靜平衡位置。逆向動(dòng)力學(xué)：逆向動(dòng)力學(xué)分析是運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與動(dòng)力學(xué)分析的混合，是尋求運(yùn)動(dòng)學(xué)上確定系統(tǒng)的反力問(wèn)題，與動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題相對(duì)應(yīng)，逆向動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是已知系統(tǒng)構(gòu)型和運(yùn)動(dòng)求反力，也稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題。連體坐標(biāo)系：固定在剛體上并隨其運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，用以確定剛體的運(yùn)動(dòng)。剛體上每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置都可由其在連體坐標(biāo)系中的不變矢量來(lái)確定。廣義坐標(biāo)：唯一地確定機(jī)構(gòu)所有構(gòu)件位置和方位即機(jī)構(gòu)構(gòu)形的任意一組變量。廣義坐標(biāo)能夠是獨(dú)立的（即自由任意地變化）或不獨(dú)立的（即需要滿足約束方程）。關(guān)于運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)來(lái)講，廣義坐標(biāo)是時(shí)變量。自由度：確定一個(gè)物體或系統(tǒng)的位置所需要的最少的廣義坐標(biāo)數(shù)，稱(chēng)為該物體或系統(tǒng)的自由度。約束方程：對(duì)系統(tǒng)中某構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)或構(gòu)件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)所施加的約束用廣義坐標(biāo)表示的代數(shù)方程形式，稱(chēng)為約束方程。約束方程是約束的代數(shù)等價(jià)形式，是約束的數(shù)學(xué)模型。2.2.2計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與求解一般過(guò)程一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)，從初始的幾何模型，到動(dòng)力學(xué)模型的建立，通過(guò)對(duì)模型的數(shù)值求解，最后得到分析結(jié)果，其流程如圖2.1所示。計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的整個(gè)流程，要緊包括建模和求解兩個(gè)時(shí)期。建模分為物理建模和數(shù)學(xué)建模，物理建模是指由幾何模型建立物理模型，數(shù)學(xué)建模是指從物理模型生成數(shù)學(xué)模型。幾何模型能夠由動(dòng)力學(xué)分析系統(tǒng)幾何造型模塊所建筑，或者從通用幾何造型軟件導(dǎo)入。對(duì)幾何模型施加運(yùn)動(dòng)學(xué)約束、驅(qū)動(dòng)約束、力元和外力或外力矩等物理模型要素，形成表達(dá)系統(tǒng)力學(xué)特性的物理模型。物理建模過(guò)程中，有時(shí)候需要依照運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和初始位置條件對(duì)幾何模型進(jìn)行裝配。由物理模型，采納笛卡爾坐標(biāo)或拉格朗日坐標(biāo)建模方法，應(yīng)用自動(dòng)建模技術(shù)，組裝系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中的各系數(shù)矩陣，得到系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，依照情況應(yīng)用求解器中的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、靜平衡或逆向動(dòng)力學(xué)分析算法，迭代求解，得到所需的分析結(jié)果。聯(lián)系設(shè)計(jì)目標(biāo)，對(duì)求解結(jié)果再進(jìn)行分析，從而反饋到物理建模過(guò)程，或者幾何模型的選擇，如此反復(fù)，直到得到最優(yōu)的設(shè)計(jì)結(jié)果。在建模和求解過(guò)程中，涉及到幾種類(lèi)型的運(yùn)算和求解。首先是物理建模過(guò)程中的幾何模型裝配，圖2.1中稱(chēng)為“初始條件計(jì)算”，這是依照運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和初始位置條件進(jìn)行的，是非線性方程的求解問(wèn)題；再確實(shí)是數(shù)學(xué)建模，是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中的各系數(shù)矩陣自動(dòng)組裝過(guò)程，涉及大型矩陣的填充和組裝問(wèn)題；最后是數(shù)值求解，包括多種類(lèi)型的分析計(jì)算，如運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)分析、靜平衡分析、逆向動(dòng)力學(xué)分析等。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是非線性的位置方程和線性的速度、加速度方程的求解，動(dòng)力學(xué)分析是二階微分方程或二階微分方程和代數(shù)方程混合問(wèn)題的求解，靜平衡分析從理論上講是一個(gè)線性方程組的求解問(wèn)題，但實(shí)際上往往采納能量的方法，逆向動(dòng)力學(xué)分析是一個(gè)線性代數(shù)方程組求解問(wèn)題，那個(gè)地點(diǎn)面，最復(fù)雜的是動(dòng)力學(xué)微分代數(shù)方程的求解問(wèn)題，它是多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的核心問(wèn)題。在多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與求解過(guò)程中，還有一個(gè)問(wèn)題是值得注意的——初值相容性問(wèn)題，這是在任何正式求解之前必須首先解決的問(wèn)題，直接阻礙到問(wèn)題的可解性。初值相容性是要求系統(tǒng)中所有的位置、速度初始條件必須與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程相容。關(guān)于簡(jiǎn)單問(wèn)題，初值相容性是易于保證的，但關(guān)于大型復(fù)雜系統(tǒng)，必須有專(zhuān)門(mén)的初值相容性處理算法以推斷系統(tǒng)的相容性或由一部分初值計(jì)算相容的其它初值。在多體系統(tǒng)建模與求解過(guò)程，求解器是核心，這其中涉及的所有運(yùn)算和求解，如初始條件計(jì)算、方程自動(dòng)組裝、各種類(lèi)型的數(shù)值求解等等都由求解器所支持，它提供了所需的全部算法。實(shí)際上，結(jié)果分析是需要有專(zhuān)門(mén)的數(shù)值后處理器來(lái)支持的，以提供曲線和動(dòng)畫(huà)顯示以及其它各種輔助分析手段。但相比于多體系統(tǒng)建模與求解，數(shù)值后處理器相對(duì)簡(jiǎn)單，不存在什么理論上的重要問(wèn)題。圖2.1計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與求解一般過(guò)程2.2.3多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)于多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，傳統(tǒng)的理論力學(xué)是以剛體位置、速度和加速度的微分關(guān)系以及矢量合成原理為基礎(chǔ)進(jìn)行分析的，而計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析則是以系統(tǒng)中連接物體與物體的運(yùn)動(dòng)副為動(dòng)身點(diǎn)，所進(jìn)行的位置、速度和加速度分析差不多上基于與運(yùn)動(dòng)副對(duì)應(yīng)的約束方程來(lái)進(jìn)行的。基于約束的多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)，首先尋求與系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)副等價(jià)的位置約束代數(shù)方程，再由位置約束方程的導(dǎo)數(shù)得到速度、加速度的約束代數(shù)方程，對(duì)這些約束方程進(jìn)行數(shù)值求解，可得到廣義位置坐標(biāo)及相應(yīng)的速度和加速度坐標(biāo)，最后依照坐標(biāo)變換就能夠由系統(tǒng)廣義坐標(biāo)及相應(yīng)導(dǎo)數(shù)得到系統(tǒng)中任何一點(diǎn)的位置、速度和加速度。由于機(jī)械系統(tǒng)在二維空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，廣義坐標(biāo)、約束方程、問(wèn)題規(guī)模以及問(wèn)題求解都相對(duì)簡(jiǎn)單，故本節(jié)先討論二維多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)以解釋多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)差不多理論，在此基礎(chǔ)上再給出三維多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。1．2.2.3.1約束方程（位置方程）設(shè)一個(gè)平面機(jī)構(gòu)由個(gè)剛性構(gòu)件組成。在機(jī)構(gòu)所在平面上建立一個(gè)全局坐標(biāo)系，機(jī)構(gòu)在該坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)；再為機(jī)構(gòu)上每個(gè)構(gòu)件建立各自的連體坐標(biāo)系，可由連體坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)確定構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)。選定構(gòu)件連體坐標(biāo)系原點(diǎn)的全局坐標(biāo)和連體坐標(biāo)系相關(guān)于全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角組成構(gòu)件的笛卡爾廣義坐標(biāo)矢量，如圖2.2所示。由個(gè)剛性構(gòu)件組成的系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù)，則系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量可表示為。圖2.2平面笛卡爾廣義坐標(biāo)一個(gè)實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)，系統(tǒng)中構(gòu)件與支架或構(gòu)件與構(gòu)件之間存在運(yùn)動(dòng)副的聯(lián)接，這些運(yùn)動(dòng)副能夠用系統(tǒng)廣義坐標(biāo)表示為代數(shù)方程。設(shè)表示運(yùn)動(dòng)副的約束方程數(shù)為，則用系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程組為：………(2.2-1-8)那個(gè)地點(diǎn)給出的是定常完整約束情況。假如約束方程與時(shí)刻相關(guān)，則自變量中顯含時(shí)刻項(xiàng)，這種約束被稱(chēng)為非定常約束；更一般的約束方程含有不可積速度項(xiàng)的不等式或關(guān)系式，這種約束稱(chēng)為非完整約束。一般的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束是定常完整約束。關(guān)于一個(gè)有個(gè)廣義坐標(biāo)和個(gè)約束方程的機(jī)械系統(tǒng)，若，且那個(gè)約束方程是獨(dú)立、相容的，則系統(tǒng)自由度。為使系統(tǒng)具有確定運(yùn)動(dòng)，能夠有二種方法：（1）為系統(tǒng)添加與系統(tǒng)自由度DOF相等的附加驅(qū)動(dòng)約束；（2）對(duì)系統(tǒng)施加力的作用。在（1）情況下，系統(tǒng)實(shí)際自由度為零，被稱(chēng)為是在運(yùn)動(dòng)學(xué)上確定的，在此情況下求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置、速度和加速度的分析是運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析本身不涉及作用力或反作用力問(wèn)題。然而關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)上確定的系統(tǒng)，能夠求解系統(tǒng)中約束反力，即已知運(yùn)動(dòng)求作用力，這是動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題。在（2）情況下，系統(tǒng)有著大于零的自由度，然而在外力作用力，關(guān)于具有確定構(gòu)型和特定初始條件的系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)是確定的，這種情況下求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置、速度和加速度的分析，稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)分析。在這種情況下，專(zhuān)門(mén)地，假如外力與時(shí)刻無(wú)關(guān)，能夠求解系統(tǒng)的靜平衡位置，這確實(shí)是靜平衡分析問(wèn)題。考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，為使系統(tǒng)具有確定運(yùn)動(dòng)，也確實(shí)是要使系統(tǒng)實(shí)際自由度為零，為系統(tǒng)施加等于自由度（）的驅(qū)動(dòng)約束：…………(2.2-2-9)在一般情況下，驅(qū)動(dòng)約束是系統(tǒng)廣義坐標(biāo)和時(shí)刻的函數(shù)。驅(qū)動(dòng)約束在其集合內(nèi)部及其與運(yùn)動(dòng)學(xué)約束合集中必須是獨(dú)立和相容的，在這種條件下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)上是確定的，將作確定運(yùn)動(dòng)。由式（2.2-1-8）表示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和式（2.2-2-9）表示的驅(qū)動(dòng)約束組合成系統(tǒng)所受的全部約束：…………….………...(2.2-3-10)式（2.2-3-10）為nc個(gè)廣義坐標(biāo)的nc個(gè)非線性方程組，其構(gòu)成了系統(tǒng)位置方程。求解式（2.2-3-10），就可得到系統(tǒng)在任意時(shí)刻的廣義坐標(biāo)位置。2.2.3.2．2速度和加速度方程對(duì)式(2.2-3-10)運(yùn)用鏈?zhǔn)轿⒎址▌t求導(dǎo)，得到速度方程：………….…(2.2-4-11)若令，則速度方程為………...………..…(2.2-5-12)假如是非奇異的，能夠求解式(2.2-5-12)得到各離散時(shí)刻的廣義坐標(biāo)速度。對(duì)式(2-.2-411)運(yùn)用鏈?zhǔn)轿⒎址▌t求導(dǎo)，可得加速度方程…(2.2-6-13)若令，則加速度方程為…………(2.2-7-14)假如是非奇異的，能夠求解式(2.2-7-14)得到各離散時(shí)刻的廣義坐標(biāo)加速度。在速度方程(2.2-5-12)和加速度方程(2.2-7-14)中出現(xiàn)的矩陣，稱(chēng)為雅可比矩陣，雅可比矩陣是約束多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析中最重要的矩陣。假如的維數(shù)為m，q維數(shù)為n，那么維數(shù)為矩陣，其定義為。那個(gè)地點(diǎn)為的方陣。對(duì)式(2.2-5-12)中的和式(2.2-7-14)中的進(jìn)行計(jì)算時(shí)，會(huì)涉及到二階導(dǎo)數(shù)，在實(shí)際的數(shù)值求解中，并不是實(shí)時(shí)地調(diào)用求導(dǎo)算法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，而是先依照具體的約束類(lèi)型，導(dǎo)出二階導(dǎo)數(shù)以及雅可比矩陣的表示式，在計(jì)算中只需代入差不多的數(shù)據(jù)即可。2.2.3.3．3坐標(biāo)變換與任意點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在確定系統(tǒng)中構(gòu)件上任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，常要求將構(gòu)件上點(diǎn)從連體坐標(biāo)系變換到全局坐標(biāo)系中，現(xiàn)討論連體坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換及構(gòu)件上任意點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。設(shè)矢量在全局坐標(biāo)系和某連體坐標(biāo)系中分不表示為：….…………………(2.2-8-15)若任意點(diǎn)在全局坐標(biāo)系和連體坐標(biāo)系中坐標(biāo)如圖2.2-3所示，則存在如下坐標(biāo)變換關(guān)系：……………(2.2-9-16)其中，為點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為連體坐標(biāo)系原點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為矢量在全局坐標(biāo)系中坐標(biāo)，為矢量在連體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其形式為：…….(2.2-10-17)對(duì)時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)為：……(2.2-11-18)依照式(2.2-9-16)，我們能夠得到以連體坐標(biāo)系表示的構(gòu)件上的任一點(diǎn)的全局坐標(biāo)。圖2.3二維空間坐標(biāo)變換圖2.4三維空間坐標(biāo)變換式(2.2-9)對(duì)時(shí)刻求導(dǎo)數(shù)，可得任意點(diǎn)的速度變換公式：………..(2.2-12-19)式(2.2-12)對(duì)時(shí)刻求導(dǎo)數(shù)，可得任意點(diǎn)的加速度變換公式：……………..………….(2.2-13-20)關(guān)于一個(gè)平面機(jī)構(gòu)來(lái)講，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，先是選定最大集的廣義坐標(biāo)，再分不依照式(2.2-3-10)、(2.2-5-12)和(2.2-7)-14）求解機(jī)構(gòu)在各離散時(shí)刻的廣義坐標(biāo)位置、廣義坐標(biāo)速度和廣義坐標(biāo)加速度。關(guān)于任意一個(gè)由連體坐標(biāo)系確定的構(gòu)件上的點(diǎn)，能夠依照式(2.2-9-16)、(2.2-12-19)和(2.2-13-20)求解其位置、速度和加速度。2.2.34．.4三維多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)三維多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析與二維多體系統(tǒng)較為相似，只是廣義坐標(biāo)選取復(fù)雜一些，約束方程形式復(fù)雜一些，問(wèn)題規(guī)模要大一些。三維多體系統(tǒng)廣義坐標(biāo)與二維相似，也是由位置坐標(biāo)和方位（或稱(chēng)為姿態(tài)）坐標(biāo)組成，位置坐標(biāo)表示較為固定，差不多上由連體坐標(biāo)系基點(diǎn)坐標(biāo)確定，方位坐標(biāo)則具有多種形式，如方向余弦矩陣、歐拉角、卡爾丹角、有限轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)、歐拉參數(shù)等等，最常用的是歐拉角和歐拉參數(shù)。那個(gè)地點(diǎn)先給出三維機(jī)械系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的方向余弦與歐拉參數(shù)和歐拉角幾種形式及其之間的變換，再據(jù)此給出系統(tǒng)的約束方程、速度方程和加速度方程的形式。1、（1）坐標(biāo)變換、歐拉參數(shù)與歐拉角關(guān)于三維空間機(jī)構(gòu)，采納固聯(lián)在構(gòu)件上的連體坐標(biāo)系來(lái)確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。構(gòu)件的廣義坐標(biāo)，由兩個(gè)部分組成，一是連體坐標(biāo)系的原點(diǎn)坐標(biāo)，二是確定連體坐標(biāo)系相關(guān)于全局坐標(biāo)系的方位參數(shù)。如圖2.4所示，連體坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)為，相關(guān)于全局坐標(biāo)系的方位可用方向余弦矩陣表示，也可用歐拉參數(shù)或者歐拉角，這幾種具有相同幾何意義，但數(shù)值特性不同。方向余弦矩陣定義為：…………………(2.2-14-21)其中，、和分不為連體坐標(biāo)系坐標(biāo)軸、和的單位矢量。方向余弦矩陣為正交矩陣，因此，中9個(gè)變量受6個(gè)獨(dú)立方程的約束，方向余弦矩陣中只存在講明3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的獨(dú)立變量。假如連體坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，即，則矢量在連體坐標(biāo)系中的表示形式和在全局坐標(biāo)系中的表示形式存在如下變換關(guān)系：…………………….……(2.2-15-22)更一般的坐標(biāo)變換式為：……………………...(2.2-16-23)其中，為點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為坐標(biāo)系原點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為相關(guān)于的方向余弦矩陣。對(duì)式(2.2-16-23)求時(shí)刻導(dǎo)數(shù)，得速度變換式：…………(2.2-17-24)其中是的斜對(duì)稱(chēng)矩陣（斜對(duì)稱(chēng)矩陣定義見(jiàn)式2.2-31-38），稱(chēng)為連體坐標(biāo)系相關(guān)于全局坐標(biāo)系的角速度矢量，表示為：………………….………..(2.2-18-25)若將角速度矢量運(yùn)用式(2.2-15-22)的相關(guān)導(dǎo)出式變換到坐標(biāo)系并表示為，則存在：……….…(2.2-19-26)…………………….(2.2-20-27)對(duì)式(2.2-17-24)求時(shí)刻導(dǎo)數(shù)，得加速度變換式：……………………..(2.2-21-28)其中：……………………(2.2-22-29)假如定義與位移和角速度對(duì)應(yīng)的虛位移和虛轉(zhuǎn)動(dòng)，則式(2.2-17-24)、(2.2-18-25)、(2.2-19-26)和(2.2-20-27)存在相應(yīng)的變分形式：…………………...(2.2-23-30)…………………….…...(2.2-24-31)………..(2.2-25-32)…….…………..(2.2-26-33)角速度和虛轉(zhuǎn)動(dòng)是不可積的，因此角速度也被稱(chēng)為擬坐標(biāo)。依照剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉定理，確定剛體的方位還能夠采納歐拉定理中的轉(zhuǎn)動(dòng)軸和轉(zhuǎn)動(dòng)角。假如坐標(biāo)系與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，由歐拉定理知可設(shè)繞單位軸矢量轉(zhuǎn)動(dòng)角與重合，現(xiàn)可由和定義一個(gè)4歐拉參數(shù)組：………………(2.2-27-34)歐拉參數(shù)用列向量表示為：…………………..(2.2-28-35)歐拉參數(shù)要滿足歐拉參數(shù)歸一化約束：……...(2.2-29-36)故歐拉參數(shù)4個(gè)重量中存在3個(gè)獨(dú)立重量，描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)。歐拉參數(shù)和方向余弦矩陣差不多上描述物體方位的參數(shù)，它們是等價(jià)的，其間存在著變換關(guān)系，從歐拉參數(shù)到方向余弦矩陣的變換為：…………………..(2.2-30-37)其中為單位矩陣，為的斜對(duì)稱(chēng)矩陣，其表示為：…………..(2.2-31-38)從方向余弦矩陣到歐拉參數(shù)的變換為：…………..(2.2-32-39)上式中，，若由式(2.2-32-39)中第一式計(jì)算得，則由下列式子確定歐拉參數(shù)?！?.……………..(2.2-33-40)式中為矩陣的跡。為研究歐拉參數(shù)與角速度之間的關(guān)系，定義兩個(gè)輔助矩陣：………….………(2.2-34-41)……………….…..(2.2-35-42)可得到如下關(guān)系式：…………………….……..(2.2-36-43)………….(2.2-37-44)……………(2.2-38-45)………………….……….(2.2-39-46)……….…...(2.2-40-47)上述式(2.2-37-44)～(2.2-40-47)的變分形式為：…………….…(2.2-41-48)………….(2.2-42)-49(2.2-43-50)(2.2-44-51)關(guān)于上述各式中所涉及的角速度和虛轉(zhuǎn)動(dòng)，并不象歐拉參數(shù)的導(dǎo)數(shù)或變分一樣是可積的，因此在積分用角速度或虛轉(zhuǎn)動(dòng)表示的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，不可直接積分，需要利用上述公式將角速度或虛轉(zhuǎn)動(dòng)變換為歐拉參數(shù)的導(dǎo)數(shù)或變分，再作積分運(yùn)算。依照歐拉定理，能夠?qū)傮w的方位分解為連體坐標(biāo)系從與全局坐標(biāo)系重合的始點(diǎn)起，依次繞連體坐標(biāo)系自身的、和轉(zhuǎn)過(guò)有限角度、和來(lái)確定，即相對(duì)體313轉(zhuǎn)動(dòng)序列，三個(gè)角度坐標(biāo)、和即為歐拉角，其中為進(jìn)動(dòng)角，為章動(dòng)角，為自轉(zhuǎn)角。用歐拉角表示的方向余弦矩陣為：(2.2-45-52)從方向余弦矩陣到歐拉角的變換為：(2.2-46-53)當(dāng)章動(dòng)角時(shí)，式（2.2-46-53）失效，進(jìn)動(dòng)角和自轉(zhuǎn)角不能確定，稱(chēng)為歐拉角奇異點(diǎn)。歐拉角表示的歐拉參數(shù)為：(2.2-47-54)從歐拉參數(shù)到歐拉角的變換為：(2.2-48-55)（2）、位置、速度和加速度分析在一個(gè)三維多體系統(tǒng)中，構(gòu)件的廣義坐標(biāo)矢量由其連體坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)和歐位參數(shù)組成，表示為：(2.2-49-56)關(guān)于由個(gè)構(gòu)件組成的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)矢量組為：(2.2-50-57)系統(tǒng)廣義坐標(biāo)維數(shù)為。采納歐拉參數(shù)廣義坐標(biāo)，每個(gè)構(gòu)件的歐拉參數(shù)廣義坐標(biāo)必須滿足式(2.2-29-36)的歸一化約束，即：，(2.2-51-58)系統(tǒng)的歐拉參數(shù)歸一化約束方程的矢量形式為：(2.2-52-59)方程組維數(shù)為。與二維系統(tǒng)類(lèi)似，設(shè)與運(yùn)動(dòng)副等價(jià)的約束方程數(shù)為，則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程的矢量形式為：(2.2-53-60)為使系統(tǒng)具有確定運(yùn)動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)施加個(gè)獨(dú)立的驅(qū)動(dòng)約束，系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)約束方程的矢量形式為：(2.2-54-61)據(jù)此，由系統(tǒng)的歐拉參數(shù)歸一化約束方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程及驅(qū)動(dòng)約束方程組成的系統(tǒng)約束方程，或稱(chēng)位置方程為：(2.2-55-62)式(2.2-55)包含個(gè)廣義坐標(biāo)的個(gè)方程。為進(jìn)行速度和加速度分析，對(duì)式(2.2-51-58)求微分，并運(yùn)用式(2.2-44-51)，得到歐拉參數(shù)歸一化約束的變分為：(2.2-56-63)從而得到：(2.2-57-64)式（2.2-56-63）和式（2.2-57-64）利用了Gp=0這一事實(shí)。式(2-.2-5764)表明，與歐拉參數(shù)歸一化約束有關(guān)并以為變量的速度方程完全得到滿足，且以為變量的加速度方程也將完全得到滿足，故關(guān)于速度和加速度分析，當(dāng)以角速度和角加速度為變量時(shí)，不需要考慮歐拉參數(shù)歸一化約束，只考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)約束及驅(qū)動(dòng)約束即可。運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程和驅(qū)動(dòng)約束方程對(duì)時(shí)刻求導(dǎo)即得系統(tǒng)速度方程：(2.2-58-65)由于運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程不涉及時(shí)刻，故：(2.2-59-66)對(duì)式(2.2-58)微分可得到系統(tǒng)加速度方程：(2.2-60-67)同樣地，運(yùn)動(dòng)學(xué)約束中不涉及時(shí)刻，時(shí)刻僅可能出現(xiàn)在驅(qū)動(dòng)約束中，驅(qū)動(dòng)約束方程是僅依靠于廣義坐標(biāo)的函數(shù)之和或僅依靠于時(shí)刻的函數(shù)之和，故。在計(jì)算速度方程和加速度方程中的雅可比矩陣時(shí)，并不是進(jìn)行實(shí)時(shí)的數(shù)值計(jì)算，而是基于具體的約束類(lèi)型進(jìn)行計(jì)算。不管是運(yùn)動(dòng)學(xué)約束依舊驅(qū)動(dòng)約束，都可分為有限的幾種類(lèi)型，針對(duì)每一種類(lèi)型的運(yùn)動(dòng)副計(jì)算其雅可比矩陣的代數(shù)形式，如此，在速度分析和加速度分析時(shí)只要先進(jìn)行雅可比矩陣的組裝，然后在迭代的每一時(shí)刻代入具體的構(gòu)件特性值即可。2.2.4多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)關(guān)于受約束的多體系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程是先依照牛頓定理，給出自由物體的變分運(yùn)動(dòng)方程，再運(yùn)用拉格朗日乘子定理，導(dǎo)出基于約束的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析類(lèi)似，先考慮二維多體系統(tǒng)，再討論三維多體系統(tǒng)，并對(duì)動(dòng)力學(xué)三種類(lèi)型的分析：正向動(dòng)力學(xué)、逆向動(dòng)力學(xué)和靜平衡分析分不予以討論。1．2.2.4.1二維多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)先給出自由剛體的運(yùn)動(dòng)方程，再依照拉格朗日乘子定理給出約束多體系統(tǒng)帶乘子的運(yùn)動(dòng)方程，并討論系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的三種情況和約束反力問(wèn)題。（1）1、自由物體的變分運(yùn)動(dòng)方程任意一個(gè)剛體構(gòu)件，質(zhì)量為，對(duì)質(zhì)心的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，設(shè)作用于剛體的所有外力向質(zhì)心簡(jiǎn)化后得到外力矢量和力矩，若定義剛體連體坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于剛體質(zhì)心，則可依照牛頓定理導(dǎo)出該剛體帶質(zhì)心坐標(biāo)的變分運(yùn)動(dòng)方程：(2.2-61-68)其中，為固定于剛體質(zhì)心的連體坐標(biāo)系原點(diǎn)的代數(shù)矢量，為連體坐標(biāo)系相關(guān)于全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角，與分不為與的變分。取2.2.3節(jié)為構(gòu)件定義的廣義坐標(biāo)：(2.2-62-69)定義廣義力：(2.2-63-70)及質(zhì)量矩陣：(2.2-64-71)則可將式(2.2-61)寫(xiě)作虛功原理的形式：(2.2-65-72)式(2.2-65-72)是連體坐標(biāo)系原點(diǎn)固定于剛體質(zhì)心時(shí)用廣義力表示的剛體變分運(yùn)動(dòng)方程。其中廣義坐標(biāo)選取、廣義力及質(zhì)量矩陣計(jì)算分不按式(2.2-62-69)、(2.2-63-70)及(2.2-64-71)進(jìn)行。（2）2、約束多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程考慮由個(gè)構(gòu)件組成的機(jī)械系統(tǒng)，對(duì)每個(gè)構(gòu)件運(yùn)用式(2.2-65-72)，組合后可得到系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程為：(2.2-66-73)若組合所有構(gòu)件的廣義坐標(biāo)矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量，構(gòu)造系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量為：(2.2-67-74)(2.2-68-75)(2.2-69-76)系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程則可緊湊地寫(xiě)作寫(xiě)為：(2.2-70-77)關(guān)于單個(gè)構(gòu)件，運(yùn)動(dòng)方程中的廣義力同時(shí)包含作用力和約束力，但在一個(gè)系統(tǒng)中，若只考慮理想運(yùn)動(dòng)副約束，依照牛頓第三定律，可知作用在系統(tǒng)所有構(gòu)件上的約束力總虛功為零，若將作用于系統(tǒng)的廣義外力表示為：(2.2-71-78)其中：，(2.2-72-79)則理想約束情況下的系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程為：(2.2-73-80)式中虛位移與作用在系統(tǒng)上的約束是一致的。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和驅(qū)動(dòng)約束的組合如式(2.2-3-10)，為：(2.2-74-81)注意，在動(dòng)力學(xué)分析中系統(tǒng)約束方程的維數(shù)不需要與系統(tǒng)廣義坐標(biāo)維數(shù)相等。假如令，則，，且。對(duì)式(2.2-74-81)微分得到其變分形式為：(2.2-75-82)式(2.2-73-80)和(2.2-75-82)組成受約束的機(jī)械系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程，式(2.2-73-80)對(duì)所有滿足式(2.2-75)的虛位移均成立。為導(dǎo)出約束機(jī)械系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程易于應(yīng)用的形式，運(yùn)用拉格朗日乘子定理對(duì)式(2.2-73-80)和(2.2-75-82)進(jìn)行處理。拉格朗日乘子定理：設(shè)矢量，矢量，矩陣為常數(shù)矩陣，假如有：(2.2-76-83)關(guān)于所有滿足下式（2-84）的條件都成立，。(2.2-77-84)則存在滿足下式（2-85）的拉格朗日乘子矢量，。(2.2-78-85)其中為任意的。在式(2.2-73-80)和(2.2-75-82)中，，，，，運(yùn)用拉格朗日乘子定理于式(2.2-73-80)和(2.2-75-82)，則存在拉格朗日乘子矢量，關(guān)于任意的應(yīng)滿足：(2.2-79-86)由此得到運(yùn)動(dòng)方程的拉格朗日乘子形式：(2.2-80-87)式(2.2-80-87)還必須滿足式(2.2-3-10)、(2-12.2-5)和(2.2-7-14)表示的位置約束方程、速度約束方程及加速度約束方程，如下：(2.2-81-88)，(2.2-82-89)，(2.2-83-90)以上三式其維數(shù)同式(2.2-74-81)。式(2.2-80-87)、(2.2-81-88)、(2.2-82-89)和(2.2-83-90)組成約束機(jī)械系統(tǒng)的完整的運(yùn)動(dòng)方程。將式(2.2-80-87)與(2.2-83-90)聯(lián)立表示為矩陣形式：(2.2-84-91)式(2.2-84-91)即為多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中最重要的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，被稱(chēng)為歐拉-拉格朗日方程（Euler-LagrangeEquation），式(2.2-84-91)還必須滿足式(2.2-81-88)和(2.2-82-89)。它是一個(gè)微分-代數(shù)方程組（DifferentialAlgebraicEquations-DAEs），不同于單純的常微分方程組（OrdinaryDifferentialEquations-ODEs）問(wèn)題，其求解關(guān)鍵在于幸免積分過(guò)程中的違約現(xiàn)象，此外，還要注意DAE問(wèn)題的剛性問(wèn)題。顯然，式(2.2-84)有且僅有唯一解的充要條件是其系數(shù)矩陣非奇異，但這一條件不利于實(shí)際中的推斷，能夠給出更為有用的推斷。假如式(2.2-84)滿足如下條件：a.，；b.對(duì)任意且，。則式(2.2-84)中的系數(shù)矩陣是非奇異的，且和是唯一確定的。這是多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程解的存在定理。能夠據(jù)此推斷，假如系統(tǒng)質(zhì)量矩陣是正定的，同時(shí)約束獨(dú)立，那么運(yùn)動(dòng)方程就有唯一解。實(shí)際中的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣通常是正定的，只要保證約束是獨(dú)立的，運(yùn)動(dòng)方程就會(huì)有解。在實(shí)際數(shù)值迭代求解過(guò)程中，需要給定初始條件，包括位置初始條件和速度初始條件。現(xiàn)在，假如要使運(yùn)動(dòng)方程有解，還需要滿足初值相容條件，也確實(shí)是要使位置初始條件滿足位置約束方程，速度初始條件滿足速度約束方程。關(guān)于由式(2.2-84-91)及(2.2-81-88)、(2.2-82-89)確定的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，初值相容條件為：(2.2-85-92)(2.2-86-93)（3）正向動(dòng)力學(xué)分析、逆向動(dòng)力學(xué)分析與靜平衡分析關(guān)于一個(gè)確定的約束多體系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)分析不同于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并不需要系統(tǒng)約束方程的維數(shù)等于系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維數(shù)，。在給定外力的作用下，從初始的位置和速度，求解滿足位置約束式(2.2-81-88)及速度約束式(2.2-82-89)的運(yùn)動(dòng)方程式(2.2-84-91)，就可得到系統(tǒng)的加速度和相應(yīng)的速度、位置響應(yīng)，以及代表約束反力的拉格朗日乘子，這種已知外力求運(yùn)動(dòng)及約束反力的動(dòng)力學(xué)分析，稱(chēng)為正向動(dòng)力學(xué)分析。假如約束多體系統(tǒng)約束方程的維數(shù)與系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維數(shù)相等，，也確實(shí)是對(duì)系統(tǒng)施加與系統(tǒng)自由度相等的驅(qū)動(dòng)約束，那么該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上就被完全確定，由2.2.3節(jié)的約束方程、速度方程和加速度方程可求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。在此情況下，式(2.2-81-88)的雅可比矩陣是非奇異方陣，即：(2.2-87-94)展開(kāi)式(2.2-84-91)的運(yùn)動(dòng)方程，為：(2.2-88-95)(2.2-89-96)由式(2.2-89-96)可解得，再由式(2.2-88-95)可求得，拉格朗日乘子就唯一地確定了作用在系統(tǒng)上的約束力和力矩（要緊存在于運(yùn)動(dòng)副中