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曲線的凹凸性一、曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的凹凸性一、曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)及其求法一、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?凹(上凹)凸(下凹)一、曲線的凹凸性問題:定義
如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線的下方,則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的(或稱上凹);
如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線的上方,則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸的(或稱下凹).定義如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線x1x2xyo12凹(上凹)x1x2xyo12凹(上凹)凸(下凹)xyo12x2x1凸(下凹)xyo12x2x1定理2.12定理2.12例1例1解解例2例2例2解注意到,例2解注意到,例3例3例3解例3解定義:
連續(xù)曲線凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。定義:說明:拐點(diǎn)是曲線凹凸的轉(zhuǎn)折點(diǎn),那么曲線的二階導(dǎo)數(shù)f(x)由大于零變成小于零,或由小于零變成大于零,這時(shí)拐點(diǎn)上的二階導(dǎo)數(shù)f
"(x)一定等于零或者不存在.說明:的凹凸性.例4.判斷函數(shù)的凹凸性.例4.判斷函數(shù)解:故曲線在上是凹的.說明:
若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),則曲線的凹凸性不變..解:故曲線在上是凹的.說明:若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)判定曲線y=f(x)的凹凸及拐點(diǎn)的步驟:1、確定函數(shù)的定義域;2、求出函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)f(x);并求出二階導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);3、由上述特殊點(diǎn)把所討論的區(qū)間分成幾個(gè)子區(qū)間,在各個(gè)子區(qū)間及分界點(diǎn)處,根據(jù)定理結(jié)論來判斷函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn),并寫出凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)坐標(biāo)。判定曲線y=f(x)的凹凸及拐點(diǎn)的步驟:1、確定函數(shù)的定例5.例5.解拐點(diǎn)凸凹凹非拐點(diǎn)不存在解拐點(diǎn)凸凹凹非拐點(diǎn)不存在例6例6例6解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例6解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上思考題1.思考題1.2.
2.
.曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及
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;.曲線的凹區(qū)練習(xí)題練習(xí)題練習(xí)題答案練習(xí)題答案曲線的凹凸性一、曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的凹凸性一、曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)及其求法一、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?凹(上凹)凸(下凹)一、曲線的凹凸性問題:定義
如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線的下方,則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的(或稱上凹);
如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線的上方,則稱此曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸的(或稱下凹).定義如果在某區(qū)間內(nèi)曲線每一點(diǎn)的切線都位于曲線x1x2xyo12凹(上凹)x1x2xyo12凹(上凹)凸(下凹)xyo12x2x1凸(下凹)xyo12x2x1定理2.12定理2.12例1例1解解例2例2例2解注意到,例2解注意到,例3例3例3解例3解定義:
連續(xù)曲線凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。定義:說明:拐點(diǎn)是曲線凹凸的轉(zhuǎn)折點(diǎn),那么曲線的二階導(dǎo)數(shù)f(x)由大于零變成小于零,或由小于零變成大于零,這時(shí)拐點(diǎn)上的二階導(dǎo)數(shù)f
"(x)一定等于零或者不存在.說明:的凹凸性.例4.判斷函數(shù)的凹凸性.例4.判斷函數(shù)解:故曲線在上是凹的.說明:
若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),則曲線的凹凸性不變..解:故曲線在上是凹的.說明:若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)判定曲線y=f(x)的凹凸及拐點(diǎn)的步驟:1、確定函數(shù)的定義域;2、求出函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)f(x);并求出二階導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);3、由上述特殊點(diǎn)把所討論的區(qū)間分成幾個(gè)子區(qū)間,在各個(gè)子區(qū)間及分界點(diǎn)處,根據(jù)定理結(jié)論來判斷函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn),并寫出凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)坐標(biāo)。判定曲線y=f(x)的凹凸及拐點(diǎn)的步驟:1、確定函數(shù)的定例5.例5.解拐點(diǎn)凸凹凹非拐點(diǎn)不存在解拐點(diǎn)凸凹凹非拐點(diǎn)不存在例6例6例6解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例6解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上思考題1.思考題1.2.
2.
.曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間
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